1、1第七章 空间连杆机构运动分析第七章 空间连杆机构运动分析 17.1 空间机构运动分析矩阵法：刚体空间位移矩阵 27.1.1 绕直角坐标轴的旋转 27.1.2 空间旋转矩阵 37.1.2.1 按右手规则绕三维直角坐标轴的一系列旋转表示空间旋转 37.1.2.2 绕空间任意轴 u 旋转 角表示空间旋转 37.1.2.3 用欧拉角 ， 和 来描述空间旋转 47.1.3 刚体位移矩阵及其逆 47.1.4 旋转矩阵与位移矩阵的微分 57.1.4.1 旋转矩阵的微分 57.1.4.2 位移矩阵的微分 67.2 空间四杆机构运动分析 77.2.1 空间四杆机构 RSSR 运动分析 77.2.2 习题 87
2、.3 空间串联机器人运动分析 87.3.1 3-RPR 运动分析 87.3.2 RRRRRR 机械手运动分析 .117.4 空间并联机器人运动分析 127.4.1 6-SPS 并联机构的位置分析 .127.5 参考文献 1327.1 空间机构运动分析矩阵法：刚体空间位移矩阵在三维空间中，刚体的总位移可以视为刚体的角位移和刚体上任何适当参考点的线位移这两个基本位移分量的总和。描述刚体位移有好几种方法，其中较常用的是绕三角坐标轴的一组旋转矩阵、绕空间任意一轴的旋转矩阵和欧拉角旋转矩阵。下面分别讨论这三种旋转矩阵。7.1.1 绕直角坐标轴的旋转zxyov2v1v1 yv1 xv2 yv2 x图表示固
3、连在旋转刚体上的一个定长向量绕 z 轴的旋转向量 在位移前后的所v有分量都是以相对固定的 x-y 轴参考系来度量。当向量 绕 z 轴旋转 角，到达1处时，有下列方程（参见邹老师的教材 P62）2v* MERGEFORMAT (7.4)21121cosinixyyzvv把上式写成矩阵的形式，有* MERGEFORMAT (7.5)12cosin0i0x xy yz zvv上式可缩写成如下的形式，即* MERGEFORMAT (7.6)2,1()()zvR式中 为绕 z 轴转 角的旋转矩阵，有,zR* MERGEFORMAT (7.7),cosin0i01z同理，可写出分别绕 y 轴和 x 轴旋转
4、的矩阵* MERGEFORMAT (7.8),cosini0csyR* MERGEFORMAT (7.9),1oinsiz37.1.2 空间旋转矩阵空间旋转矩阵可用若干个基本旋转矩阵来表示，其主要有以下三种形式。7.1.2.1 按右手规则绕三维直角坐标轴的一系列旋转表示空间旋转固连于刚体上的矢量在三维空间内旋转的每个分量是 3x3 矩阵，空间旋转矩阵可把每个矢量矩阵逐次相乘来求得，即当三个旋转顺序为绕 z 旋转 角，绕 y轴转 角，然后在绕 x 轴转 ，则始末位置 1 与 2 处矢量 的关系可用下式描述： v* MERGEFORMAT (7.10)2, 1()()xyzvRvR式中空间旋转矩阵
5、 为* csscss c MERGEFORMAT (7.11)式中 ， 。cosin7.1.2.2 绕空间任意轴 u 旋转 角表示空间旋转zxyo1uyuwu uxuz2345在图中， 是单位向量。绕 u 轴旋转 角的运动，可按下列步骤来(,)Txyzu 描述：首先转动刚体，使 u 轴平行于 z 轴，再以 u 的这一暂时位置为转轴旋转角，然后把 u 轴旋回它原来的位置。这一完整的旋转过程可用矩阵描述：* 2,1,1()()()yxzxyuvRRvRMERGEFORMAT (7.12)式中， 称为轴旋转矩阵，它是描述刚体空间有限旋转的最常用的形式之一。,uR当形成 时，单位向量 u 的方向余弦有
6、下列代换：,* MERGEFORMAT (7.13)222sin,ico,cossin,xyzxzxyzuuu把式* MERGEFORMAT (7.13)代入式* MERGEFORMAT (7.12)，有4* 22, 2xxyzxzyuyz yxxzyyzxzVCuSuVSRSC MERGEFORMAT (7.14)式中， ， ， 。经过适当的分解，式* 1cosVsincosMERGEFORMAT (7.14)可得如下形式：* MERGEFORMAT ,inuuuuRPQ (7.15)式中* MERGEFORMAT (7.16)uuI* MERGEFORMAT (7.17)0zyuzxyP*
7、 MERGEFORMAT (7.18)22xxzuyyxzzuQ7.1.2.3 用欧拉角 ， 和 来描述空间旋转xyz z x y x y z 1234坐标系 XYZ 固定在参考构件 1 上；固连于参考构件 2 上的坐标系 XYZ是绕轴 z转角 而得到；固连于构件 3 上的坐标系 XYZ是经过两个有序的相对旋转即先绕轴 z 转角 ，再绕轴 X转 角而得；最后再绕 Z轴转角 ，完成了刚体的运动。把上述过程用下列方程表示，有（可证一下，下式是否成立）* MERGEFORMAT (7.19)2,1,1()()()zxzvRv式中* ,CSCSSR C MERGEFORMAT (7.20)7.1.3
8、刚体位移矩阵及其逆空间旋转矩阵描述了任何一个固连在刚体上的向量的旋转，而这个向量，通常5可用刚体上的两个点来表示，其中一个参考点 p 位于向量的尾端，而另一个要求解的点 q 位于向量的头端。这样刚体的第一个位置（q 1p 1）与任意位置（qp）之间的关系可用下式来描述：* MERGEFORMAT (7.21),1()()uqpRq式中， ， ，11(),)Txyzpp11(,Txyz,Txyzp(),)Txyzq为空间旋转矩阵，可用三种不同形式表示。,uRxpyq1p1uzqo把式* MERGEFORMAT (7.21)进一步整理，可得* MERGEFORMAT (7.22),1()uqRp或
9、* MERGEFORMAT (7.23), ,11, 0uuuqqD式中 D 即为 44 位移矩阵。,u在刚体空间运动方程* MERGEFORMAT (7.23)中，有时用某特殊点 p 做为参考点，即该点在一个固定轴 u 上有两个位置，而刚体就沿着该轴做螺旋运动，也就是说，刚体以线位移 沿 滑动，同时又以角 绕 轴旋转，式* MERGEFORMAT du(7.23)可写成* MERGEFORMAT ,1,11()0uqRpdRpqS (7.24)式中， 即为有限螺旋位移矩阵。S位移矩阵的逆，用下式很容易求得，设位移矩阵为* MERGEFORMAT (7.25)()01RbD式中 为旋转矩阵，
10、为向量，则有R()b* MERGEFORMAT (7.26)1()TT67.1.4 旋转矩阵与位移矩阵的微分7.1.4.1 旋转矩阵的微分一个向量 的旋转可用矩阵方程式描述为()v* MERGEFORMAT (7.27)1()vR式中， 是以下几种可能形式之一表示的平面或空间旋转矩阵，如式* RMERGEFORMAT (7.7)、 * MERGEFORMAT (7.8)、 * MERGEFORMAT (7.9)、 * MERGEFORMAT (7.11)、* MERGEFORMAT (7.14)等。向量 的位置对时间的变化率可通过对式* MERGEFORMAT (7.27)微分而得()v* M
11、ERGEFORMAT (7.28)111()()TvRvW式中， 是空间角速度矩阵。TWR把式* MERGEFORMAT (7.28)对时间求二阶导数，有* MERGEFORMAT 111111()()()()2TvRvRvW(7.29)式中， 是空间角加速度矩阵。TWR当旋转矩阵 时，可用下述方法求 和 。由式* MERGEFORMAT ,u W(7.15)，可确定 为* MERGEFORMAT (7.30),0udRPt式中 由式* MERGEFORMAT (7.17)确定。同样，有uP* MERGEFORMAT 2 2,0uuudWt(7.31)即* MERGEFORMAT (7.32)
12、0zyzxyu* 222(1)()() 11xxzxzyyz yyxxzyzxzu uWu MERGEFORMAT (7.33)77.1.4.2 位移矩阵的微分用刚体上一参考点 和欲求点 所确定的向量 ，其在运动位置 和任意位置pqv1v之间的关系，可用式* MERGEFORMAT (7.21)表示v若 1()0qp由式* MERGEFORMAT (7.28)，可得速度矩阵 v* MERGEFORMAT (7.34)()()W由此得* MERGEFORMAT 0 01qpqv(7.35)式中 就是速度矩阵。v由式* MERGEFORMAT (7.29)，同样可求得空间加速度矩阵，即* MERG
13、EFORMAT ()01 0qqWAp(7.36)式中 就是空间加速度矩阵。A7.2 空间四杆机构运动分析7.2.1 空间四杆机构 RSSR 运动分析xyzoa1b112ubb0a0ua3 , , , , ”图为空间 RSSR 四杆机构。在坐标系 中，已知xz00()Tyzaaxbb11Tyz()xTaayzuubxb另外，已知原动件 2 的运动 。,1 位置分析8在图中，构件 3 的长度与机构运动无关，因此可写出机构的位移约束方程，即* MERGEFORMAT (7.44)11()()()TTabab式中， 可根据给定的输入角 来确定，即()a* MERGEFORMAT (7.45),0au
14、R而 则为未知输出角 的函数，即b* MERGEFORMAT (7.46),1()()(b式中* MERGEFORMAT ,cosinbb bbuuuuppQ (7.47)把式* MERGEFORMAT (7.46)、* MERGEFORMAT (7.47)代入式* MERGEFORMAT (7.44)，经整理可得：* MERGEFORMAT (7.48)cosinEFG式中 010()()bTuEaIQFp001010110101()()()()()()()2 bTTTTuGbabaQ解三角方程式* MERGEFORMAT (7.48)，可得* MERGEFORMAT (7.49)2212F
15、EGtg2 速度分析将式* MERGEFORMAT (7.44)对时间求一阶导数，可得速度约束方程式* MERGEFORMAT (7.50)()0Tab式中* MERGEFORMAT (7.51),00()()aauuWp* MERGEFORMAT (7.52),()bb把式* MERGEFORMAT (7.52)代入* MERGEFORMAT (7.50)，可得* MERGEFORMAT (7.53)0()()bTuap求得 后，可由式* MERGEFORMAT (7.52)求得 。 3 加速度分析把式* MERGEFORMAT (7.44)对时间求二阶导数，有加速度约束方程为* MERGE
16、FORMAT (7.54)()()0TTabab式中* 2,0 0()()a aauuuWppMERGEFORMAT (7.55)* 20 0,()bbbuuu9MERGEFORMAT (7.56)上式代入式* MERGEFORMAT (7.54)，经整理可得* 20() ()()bbT TuTabpab MERGEFORMAT (7.57)7.2.2 习题空间 RRSS 机构（高老师高等空间机构学教材 103 页，矩阵法）空间 RCCC 机构（高老师高等空间机构学教材 106 页，矩阵法）7.3 空间串联机器人运动分析7.3.1 3-RPR 运动分析1. 空间相对运动在对空间机构进行运动分析
17、之前，我们必须考虑两个既相互独立，而又相连接的刚体在运动副的约束下做相对运动的情形。uj - 1a0uj - 1Pj - 1PjujjqjS为了描述运动刚体上某点的绝对运动（而该刚体本身又相对于动参考构件运动） ，如图所示，设运动链中的构件 上的一点 ，在空间运动链中常见的圆柱副的约jq束下，相对于前一构件 而运动。假定在相对运动的轴线 上的参考点 随1ju1jP构件 一起运动。我们用 和 分别表示该两构件的绝对角位移。绕 轴的1jj1j u相对角位移则用 表示，旋转的同时还伴随有沿 轴的滑移 。每一个绝对角位juS移 和 都有一根相关的有限旋转轴 和 。j1j j1j2. 相对位移构件 上某
18、点 的绝对位移，如图所示，可描述为参考构件 上起初与 相jjq 1jjq重合的点 的位移加上 对构件 的相对位移。这个相对位移可用旋转矩阵1jj1j式* MERGEFORMAT (7.22)或* MERGEFORMAT (7.24)来描述。点 的运动为构1jP件 的绝对运动所确定，而构件 本身又可以对运动链中的构件 有相j j 210对运动。3. RPR 机构位置分析1u0p0u23q1p1u1qp1 q1 p1q1s首先计算 点的位置，设构件 2 绕固定轴 转 角，则1q 0* MERGEFORMAT (7.63)01,10()()(uqRp由下式确定 点的位置1p* MERGEFORMAT
19、 (7.64)01,10up轴 与 的方向为u1* MERGEFORMAT (7.65)0,1()()uR沿轴 移动的 和 点的位置为1pq* MERGEFORMAT (7.66)1()()pSq最后，可求出 点的位置* MERGEFORMAT (7.67),11uRp把式* MERGEFORMAT (7.66)代入式* MERGEFORMAT (7.67)，有* MERGEFORMAT ,1,1()()10 uuqpSq (7.68)上式是以螺旋矩阵方程的形式来表示总运动。要注意， 必须有式* 1pMERGEFORMAT (7.64)中的 、 和 来计算。0,uR1p04. RPR 机构相对
20、速度分析1u0p0 , 23up ( a t 3 )p ( a t 2 )s,s , q ( a t 3 )q ( a t 2 )在图中， 点的速度可按下述过程来求。首先求出参考构件 2 上与构件 3 上q点相重合的 点的速度，即* MERGEFORMAT (7.69)000,()()uqWqp11构件 2 上参考点 的速度为p* MERGEFORMAT (7.70)000,()()upWp由于 点在构件 3 上，故圆柱副的相对速度（假定构件 2 暂时固定）为p* MERGEFORMAT (7.71),ruqq式中， 是相对速度，而 ，由此得()rq()S* MERGEFORMAT (7.72
21、),()(rupS所以，构件 3 上 点的绝对速度便为* 00, ,()()(ruuqWqWqpSu MERGEFORMAT (7.73)在机构运动分析时，往往 是固定点，即 ，故有p0()p* MERGEFORMAT 00, ,()uu (7.74)5. RPR 机构相对加速度分析构件 3 上 点， （如图所示）的加速度可用向量方程式来描述，即q* MERGEFORMAT (7.75)()()relcorqa式中 参考构件 2 上与构件 3 上与 点相重合的 点的加速度；() q 点对参考构件的相对加速度，其相对运动参数为 ；rela ,S附加的科式加速度，它由参考构件以 旋转而产生。co
22、所以，可导出各加速度分量为 00,()()(uqWqp,relaSu00, , ,()22)corluuvqp这样，有* MERGEFORMAT 0, , ,()(u uuqpSq (7.76)若 轴为固定的，参考构件只绕 轴转动时，上式中 ，这是式* 0u0 0()pMERGEFORMAT (7.76)使用时常见的情况。7.3.2 RRRRRR 机械手运动分析图所示 RRRRRR 机械手是有 6 个转动副和 6 个自由度的多用途机械手。按照图中所取坐标系，已知结构参数为： , , , , 0ABls2BClh3CDlsDPlp, 。设给定各转动副中的转角参数 ，012345901256 1，
23、 ， ， ， ，要求确定手部夹持器在固定坐标系 中的位置和姿6 0Axyz态。12夹持器位置和姿态矩阵方程式： 0123456010luxmvyRRnwz p 其中 l, m, n: z 轴的方向余弦， u, v, w: x 轴的方向余弦， ，110 0csR2212c01shcsR3323c010s， ，4434c010sR5545c01sR556c01sR由此可得： 542352321541s()()()xpcspchcpsy c0z s1354235231541s()()slccscmcn654642345231654641()()()()usscssvcccsc6w7.4 空间并联机器
24、人运动分析7.4.1 6-SPS 并联机构的位置分析1. 位置分析反解6-SPS 并联机构上、下平台以 6 个分支相连，每个分支两端是两个球铰，中间是一个移动副。驱动器推动移动副作相对移动，改变各杆的长度，使上平台在空间的位置和姿态发生变化。若给定上平台在空间的位置和姿态，求各个杆长，即各移动副的位移，这就是该机构的位置反解。B2B1B3B4B5B6b2b3b4b5b6b1xyzoxyzp在机构的上、下平台各建立一坐标系，如图所示，动坐标系 建立在上平PXYZ台上，定坐标系 固定于下平台上。动坐标系 是由定坐标系 经OXYZ O过平移和旋转得到的。在动坐标系中的任一向量 可以通过平移和旋转变换
25、方v法变换到固定坐标系中* MERGEFORMAT (7.77)1vRp式中的 为上平台姿态相对下平台的旋转矩阵， 为上平台原点位置矢量，即R动坐标系的原点在固定坐标系中的坐标。当给定机构的各个结构尺寸后，利用几何关系，可以很容易写出上下平台各铰链点（ ）在各自坐标系,1,2.6ibB中的坐标值，再由公式* MERGEFORMAT (7.77)可求出上下平台铰链点在固定坐标系 中的坐标值。这时 6 个驱动器杆长矢量 （ ）可在固定坐标OXYZ il,.系中表示为* MERGEFORMAT (7.78),12,.6iilb或14* MERGEFORMAT (7.79)123ixiyPixi yi
26、xiydbXBlYZ从而得到机构的位置反解计算方程* MERGEFORMAT (7.80)22iixiyizll上式是 6 个独立的显式方程，当已知机构的基本尺寸和上平台的位置和姿态后，就可以利用上式求出 6 个驱动器的位移。这里讨论的方法不但适用于 6SPS 机构，而且普遍适用于从 6SPS 机构演化出来的许多其他平台机构。从上面的讨论可以看出，6SPS 类型的并联机构的位置反解是十分简单的，这正是这类机构的优点之一。7.5 参考文献1. Craig, J. J. (1986). Introduction to Robotics: Mechanics & Control. Addison-W
27、esley.2. Jazar, R. N. (2007). Theory of Applied Robotics: Kinematics, Dynamics, and Control. Riverdale, NY: Springer. 3. Manseur, R. (2006). Robot Modeling and Kinematics. Boston: Da Vinci Engineering Press.4. Niku, S. B. (2001). Introduction to Robotics: Analysis, Systems, Applications. Upper Saddl
28、e River, NJ: Prentice Hall.5. Tsai, L. W. (1999). Robot Analysis: The Mechanics of Serial and Parallel Manipulators. New York: John Wiley & Sons. 6. Uicker, J. J., Pennock, G. R., & Shigley, J. E. (2003). Theory of Machines and Mechanisms. New York, Oxford: Oxford University Press.7. 高峰. (1987). 高等机构学. 东北重型机械学院印(研究生用教材).8. 黄真, 赵永生, 赵铁石. (2006). 高等空间机构学. 北京: 高等教育出版社.9. 楼鸿棣, 邹慧君. (1987). 高等机械原理. 北京: 高等教育出版社.
