1、1第十二章 压 杆 稳 定同济大学航空航天与力学学院 顾志荣一、教学目标深入理解弹性平衡稳定性的概念熟练应用压杆的临界力公式，掌握杆端约束对临界力的影响压杆的分类与临界应力曲线掌握压杆稳定性计算的方法二、教学内容稳定的概念两端铰支细长压杆的欧拉临界力杆端约束的影响临界应力总图压杆稳定性计算三、重点难点重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。五、计划学时3 学时六、实施学时2七、讲课提纲压杆稳定问题的提出钢尺：(a) (b) (c) 图 12-1图 12-1(a),钢尺，杆
2、 长 ，属于强度问题cml2621AMPa40skgNFs 62401266 图 14-1(b),钢尺,杆长 ，按欧拉公式计算临界力。cml30kgNlEIFcr 1.809.162).2.)(12 312（图 14-1(c), 钢尺,杆长 ，按欧拉公式计算临界力。mlkgFcr 1.5)16.212 （若 ，则l kgNcr 28.1.)06.212 （3(一) 稳 定平衡与不 稳定平衡的概念1、稳定平衡(a) (b) (c) 图 12-2压杆在力 F 的作用下，其轴线与 F 的作用线重合，这种状态称为压杆的直线形状的平衡状态，如图 12-2(a)所示。在图 12-2(a)的基础上，在横向施
3、加一个微小的干扰力，使压杆脱离原来直线形状的平衡状态，（见图 12-2(b)虚线所示）从图 12-2(b)上除去横向干扰力，如果 压杆能恢复到原有 图 12-2(a)的直线形状的平衡状态，则压杆原来直线形状的平衡（图 12-2(a)）称为稳定平衡。2、不稳定平衡见图 12-2(c)，即：在 图 12-2(b)上除去干扰力，压杆不能恢复到原来图12-2(a)的直 线形状的平衡状态（虚线位置），即在弯曲状态下保持平衡，则原来的直线形状的平衡 12-2(c)称为不稳定平衡。(二) 压 杆的失 稳与临界力41、当压杆所承受的压力 F 小于某一确定的值 Fcr。即 F Fcr时，压杆不再维持原有直线形状
4、的平衡状态，即直线形状下的平衡状态丧失了稳定性,称为压杆失稳。3、显然，上述这一确定的值 Fcr，是压杆从稳定过度到失稳的临界力。注意：临界力是一个数值，它既不是外力，也不是内力，它是压杆保持直线形状稳定平衡所能承受的最大的压力（再大一点压杆就失稳）；或者说，它是压杆丧失直线形状稳定平衡所需要的最小压力（再小一点就不再失稳）。在小变形和材料服从虎克定律的条件下，计算压杆临界压力的欧拉公式为： (A)2)lEIFcr（式中 I 为丧失稳定方向压杆横截面的惯性矩， 为压杆的长度，长度系l数 与 压杆两端的约束条件有关：两端固定： 一端固定，另一端铰支：5.0 7.0两端铰支： 一端固定，另一端自由
5、：1 2(三) 临 界应 力与临界应力总图1、临界应力在临界力作用下，压杆横截面上的平均应力称为临界应力。欧拉临界应力计算式: AIlEFcr2)( 称为截面的惯性半径。iI5 2iAI令 称为压杆的柔度，它反映：2)(ilEil2注意：只有当压杆内的应力不超过材料的比例极限时，用欧拉公式计算临界力才是正确的，即 pcrE2则 压杆材料的柔度极限 值；pE钢： ， ，3AGPa20Ma20p10p2、临界应力总图何谓临界应力总图？根据压杆临界应力在比例极限内的欧拉公式，以及超过比例极限的经验公式，将临 界应力 与柔度 的函数关系用曲 线表示，得到的函数曲线称为cr临界应力总图。临界应力总图图
6、12-3由图 12-3 可见：临界应力总图就是表示 随 变化的规律，对于不同范cr围的 ，其 计 算 的公式也不同。cr压杆的长度 ； l支承形式 ； 截面几何性质 i。6图 12-3 中：AD 段属于强度问题。CD 段是以经验公式 绘制的bacr斜直线；CB 段是以欧拉公式 绘出的曲 线。2Ecr这三段曲线：D 点是强度问题和稳定问题的分界点， C 点是求临界应力的欧拉公式与经验公式的分界点。 的 压杆p这类杆件称为大柔度杆或细长杆，其失稳为弹性稳定问题。临界应力由欧拉公式计算；(B)2Ecr 的压杆po这类杆件称为中柔度杆，其失稳为超过比例极限的稳定问题。临界应力由直线形式的经验公式计算：
7、(C)bacr式中的 a、b 是与材料有关的常数。注意： 是应用直线公式时的 最低值。 所对应的临界应力等于材料o o的极限应力 。 bos脆塑即： ocrba则 A3 钢oMPao2351.04sba6.1o 的 压杆0这类杆件称为小柔度杆，主要为强度问题。其临界应力等于材料的极限7应力 。o对于塑性材料： socr对于脆性材料： br例题 12-1： 长度为 的压杆如图示，由 钢制成，横截面有四种，面ml33A积均为 。已知：2310.A， ， ， , 。试计算图 12-4 所GPa20EMa5s12.04cr 0p4.61o示截面压杆的临界荷载。图 12-4解：1、矩形截面： 3102.
8、bAmb4惯性半径 Ii 5.2min压杆的柔度 pil 130.0则 kN37522 EAFcrcr2、正方形截面： 310.ama5.68maAIi3.1624 923.1605ilpo kN402.)9.1304()12.304( 3AFcr3、圆形截面 3210.4dAmd8.695.Ii 945.103il kN602.3)41.30(AFcr4、空心圆截面 3210.4)7.（mdmD.892.7).01(46.24DAIi.5273.。il属小柔度杆，其 临界荷载应按强度计算：o kN75210.356AFcr可见，在面积相同情况下，空心圆截面压杆的临界荷载最高，即承载能力最强。
9、(四) 压 杆的 稳定计算91、安全系数法压杆的稳定条件： 规定的稳定安全系数scrrnFsn上式用应力形式表示为： scrrc工程上常用的稳定条件： n压杆工作时的实际安全系数srFn关键：临界力 的计算crF例题 12-2 图 12-5 所示压杆，若在绕 y 轴失稳时，两端可视为铰支；若在绕 z 轴失 稳时， 则两端可看作为固定支座。 压杆的材料为 A3 钢，E=200MPa, , , 。截面为： 。已知MPa20pPa240sml2mht6540， ， 。试校核压 杆的稳定性。sn34a1.b解：1、计算立柱在绕 y 轴失稳时的临界力在绕 y 轴失稳时，可视为两端铰支； 1y471233
10、 05.9065412mthIy 23.0tAIiy 237108.16.25908.2yil图 12-5916ppE 属大柔度杆，用欧拉公式 计算 ：y ycrF)(10kN51.4)21(0.90)()( 7622 lEIFycr2、计算立柱在绕 z 轴失稳时的临界力在绕 z 轴失稳时，可视为两端固定， 5.0z471233 .046512mhtIz 4237Aizz 861025zil57.43basso pz该杆在在绕 z 轴失稳时属于中柔度杆，其临界力由经验公式计算： MPa20861.304) bazcr（ KN54.28( 3 AFzcrzr（3、结论该杆的临界力 ，41)(yc
11、rrF则其工作安全系数 25.80sprnn故压杆的稳定性符合规定要求。2、折减系数法11压杆的稳定条件： rc工作应力， 许用压应力，是一个小于 1 的系数，称 为折减系数，其数值与压杆的材料及柔度有关。注意：若给定 ，则按安全系数法对压杆进 行稳定校核；sn若给定 而未给出 时，则按折减系数法对压杆进行稳定校核。s例题 12-3 图 12-6 所示托架，撑杆 AB 为圆木杆。两端铰支，试求 AB 杆的直径 dMPa1解：1、求 ？ABlmxtg4.230 8lAB7.2.3.122、求 ?NF0cM图 12-606.1234.3sinqNABK21F3、求 ?d设 ，则5.01 24631
12、 10875.012 mFANB423874dmd.i2105. 501.72il12查 表， 与假设相距甚远。76.01设 63.02.52 24632 171.0 mFANB 242 08.97dB mi 2215.408.19 56109.472il查 表，7.2设 67.08.6303 2463 1917. mFANB dB 243 0.0289 mi 221.4.1 5810.472il查 表，68.03设 .27.4185mAmd2109i207. 583.644则 d192(五) 极限荷载、容许荷载的概念。13图 12-7例题 12-4 钢结构受力如图 12-8 所示， AB 杆
13、为刚杆，杆件 和杆件材料的弹性模量 ，比例极限 ，屈服极限 ，GPa210EMPa210pMPa210s， ，杆长 ，容 许应力 ，试：MPa304.b 71、求结构所能承受的极限荷载 及其作用位置。maxF2、求结构所能承受的最大的容许荷载 及其作用位置。注：只需考虑纸平面内的稳定问题。解：1、计算 ， ，p123.906ppE杆： ；;1.41mcdi 1，即杆 为细长杆。 图 12-8 pil50.1杆： ； mcai 01512424 7.0214，3.9105.72il 6.12.3504bass 杆为中长杆。ps2、求 及其作用位置maxF杆： KN6.15)5.1()04(602
14、)( 242921 lEIcr或 MPa950221cr K6.154(9261 ）AFcrr杆： a03.9.322bar N2(1062）crr，0yFK6.48.52max crF，得A m476.383、求 及其作用位置杆 ： =150， =0.306 =0.306170=52.02MPa1crkN)(42-121 AFcrcr杆： ， .92.MPa7063cr 180kN)(42-622107.AFcrcr,0yFKN63.451803.521crcrpF,得Ammx4.8例题 12-5 试求图 12-9 所示结构的极限荷 载。已知 AB、AC 两杆均为圆形截面，其直径 。材料为
15、A3 钢，其： ， ，0D20MPap20GaE， ， 。260MPas34a1.2MPab15图 12-9 解：1、压杆长度及材料的极限柔度计算：联立此两方程，解出：mllACAB460cos3cs mlACB246.33.9126ppE034bass2、计算临界力均为细长杆，则1084127346.3ililACpAB KN31)46.31(082)( 2292 ABcrlEIF）（ 9)2(0)( 12922ACcrlI）（3、计算 、 与 之间的关系：NBF16， 联立此两方程，解出：0x FFACNABN30cos60cos63ACN8.24、计算极限荷载 ：maxF若 AB 杆先失稳： KN31)(ABcrABN代入式，则得 622maxr若 AC 杆先失稳： 9)(ACcrANF代入式，则得 KN1486.0.max
