1、1高中数学竞赛辅导第二讲 映射及映射法知识、方法、技能1映射的定义设 A，B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射，记作.:f（1）映射是特殊的对应，映射中的集合 A，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合 A 和集合 B，以及集合 A 到 B 的对应法则 f，三者缺一不可.（4）对于一个从集合 A 到集合 B 的映射来说，A
2、 中的每一个元素必有惟一的，但 B中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2一一映射一般地，设 A、B 是两个集合， 是集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射.:f下，对于集合 A 中的不同元素，在集合 B 中有不同的象，而且 B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射.3逆映射如果 f 是 A 与 B 之间的一一对应，那么可得 B 到 A 的一个映射 g：任给 ，规定Bb，其中 a 是 b 在 f 下的原象，称这个映射 g 是 f 的逆映射，并将 g 记为 f1.bg)(显然有（f 1） 1= f，即如果 f 是 A 与 B 之间的一一对应，
3、则 f1 是 B 与 A 之间的一一对应，并且 f1 的逆映射是 f.事实上，f 1 是 B 到 A 的映射，对于 B 中的不同元素 b1 和 b2，由于它们在 f 下的原象不同，所以 b1 和 b2 在 f1 下的像不同，所以 f1 是 11 的.任给 ，则 .这说明 A 中每个元素 a 在 f1 都有原象.因此，a)(,设 abf)(1f1 是映射上的.这样即得 f1 是 B 到 A 上的 11 映射，即 f1 是 B 与 A 之间一一对应.从而 f1 有逆映射 由于任给 ，其中 b 是 a 在 f1 下的原象，即 f1(b)=a，所以，.:Ahh)(,设f(a)=b，从而 ，这即是 f1
4、 的逆映射是 f.fafb得)(赛题精讲映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.2例 1：设集合 映射 f：FZ.使,|),(,10| MdcbaFxxM集 合Z得 的值.vuyxvyuvucdabfff ,6,39),(.),( 求已 知 【思路分析】应从 入手，列方程组来解之.f),(【略解】由 f 的定义和已知数据，得).,(639Myxvuyv将两式相加，相减并分别分解因式，得 .27)(,105)( xuv显然， 的条件下，,10|, Zxyyxu在 ,10vu2)(,5)(5|)(,2105 1 yvvvv可 见但即对应可知 .5)(,7)(21x同理，由 .9)(
5、,3)(23,210 21 xuxuuvy 又 有知对应地， 于是有以下两种可能：.3)(,9)(21（） （）;3,75vyxu.3,95vyxu由（）解出 x=1，y=9，u=8，v=6；由（）解出 y=12，它已超出集合 M 中元素的范围.因此， （）无解.【评述】在解此类问题时，估计 的可能值是关键，其中，对它们的xuvy,取值范围的讨论十分重要.例 2：已知集合 求一个 A 与 B 的一一.0|),(3|),( xyxyxA和 集 合对应 f，并写出其逆映射.3【略解】从已知集合 A，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图121）.集合 A 为直线 所夹角
6、内点的集合，集合 B 则是第一、三象限内点xy3和的集合.所要求的对应实际上可使 A 区域拓展成 B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合 A 和 B：,36,0|)sin,co( R.2| B令 在这个映射下，极径 没有)6(),sin,co()si,c( f 改变，辐角之间是一次函数 ，因而 之间是一一对应，其中3和 ),36(所以，映射 f 是 A 与 B 的一一对应.).2,0(逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例 3：设 X=1，2，100，对 X 的任一非空
7、子集 M，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为 求 X 的所有非空子集的特征的平均数.)(m【略解】设 .|10,:, XAaAfA 令于是 是 X 的非空子集的全体（子集组成的集） ，Y 到 X 自身的满射，记 X 的非f:空子集为 A1，A 2，A n（其中 n=21001） ，则特征的平均数为.)()(11 i iinii Amm由于 A 中的最大数与 A中的最小数的和为 101，A 中最小数与 A中的最大数的和也为 101，故 从而特征平均数为 ,20)(ii .102n图1214如果 A，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为 对于映射).(,BcardA来说，如果 f
8、是单射，则有 ；如果 f 是满射，则有f: )()(card；如果 f 是双射，则有 .这在计算集合 A 的元素的个)()(card数时，有着重要的应用.即当 比较难求时，我们就找另一个集合 B，建立一一对应)(Acard，把 B 的个数数清，就有 .这是我们解某些题时常用的方法.请Af: )(Bcard看下述两例.例 4：把ABC 的各边 n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图122 所示，我们由对称性，先考虑边不行于 BC 的小平行四边形.把 AB 边和AC 边各延长一等分，分别到 B，C ，连接B
9、C.将 A B的 n 条平行线分别延长，与 BC相交，连同 B，C共有 n+2 个分点，从 B至 C依次记为 1，2，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交BC于 i，j ，k，l .记A=边不平行于 BC 的小平行四边形 ，.|),( nlkjilji把小平行四边形的四条边延长且交 边于四点的过程定义为一个映射： .CB BAf:下面我们证明 f 是 A 与 B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于 的四点亦不全同.所以，四点组 亦不相同，从而 f 是 A 到 BC ),(lkji的 11 的映射.任给一个四点组 ，过 i，j 点作 AB 的平行线，过2
10、1),( nlkjilkjik，l 作 AC 的平行线，必交出一个边不平行于 BC 的小平行四边形，所以，映射 f 是 A 到 B的满射. 总之 f 是 A 与 B 的一一对应，于是有 .)()(42nCBcardAr加上边不平行于 AB 和 AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是 .342n例 5：在一个 66 的棋盘上，已经摆好了一些 12 的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有 14 个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有 14 个空格，说明已经摆好了11 块骨牌，如果已经摆好的骨牌是 12 块，5图123 所示的摆法就说明不能再放入
11、骨牌.所以，有 14 个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有 14 个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面 56 个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于 3 个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是 3 个，则有 ，另一方面全部的骨牌14)(Xc
12、ard数为 11，即 所以必有 事实上这是一个一一映射，这时，.1)(Ycard,Y将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例 6：设 N=1，2，3，论证是否存一个函数 使得 ，Nf:2)1(f对一切 成立， 格，即除去第一行后的方格中的空nff)(N)1()nf格.对每一个这样的空
13、格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖；（iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii）和（iii）时，我们记 X 为下面 56 个方格中的空格集合，Y 为上面 56 个方格中的骨牌集合，作映射 ，由于每个空格（X 中的）上Y:方都有骨牌（Y 中的） ，且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有，对一切
14、成立.)()(YcardXrNn【解法 1】存在，首先有一条链.123581321 6链上每一个数 n 的后继是 ，f 满足)(nff)(即每个数是它产面两个数的和，这种链称为 f 链.对于中的数 mn，由递增易知有nmff)(我们证明自然数集 N 可以分析为若干条 f 链，并且对任意自然数 mn，成立（从而） ，并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著数)(1(fnf学竞赛研究教程江苏教育出版社）设已有若干条 f 链，满足，而 k+1 是第一个不在已有链中出现的数，定义1)(kf这链中其余的数由逐一确定.对于 mn，如果 m、n 同属于新链，显然成立，设 m、n 中恰有一个
15、属于新链.若 m属于新链，在 m=k+1 时， ,1)(1)()( nkfkfnff 设对于 m，成立，则 f)(由易知 . 即对新链上一切 m，成立.)(2f若 n 属于新链，在 n=k+1 时， .1)()( nkkffff 设对于 n，成立，在 mn 时， m 不为原有链的链首。 记 ).()()()(,),( nsfmfsffnfxfm 时则 在而在 矛盾，所以 .0)(nss与 , fn即对新链上一切，成立. 因而添入一条新链后，仍成立.这样继续添加，直到所有自然数均在链中出现，所得函数 即为所求.Nf:【解法 2】令 表示 x 的整数部分.显然),15(2,)1()nnf 其 中
16、)(nf严格递增，并且 又由于 ，.2) )()(fff7.)(1()(1)()(2 nfnnfxxf 的 分 数 部 分为因此， 就是满足要求的函数.针对性训练题1设 A=B=R，取映射 ，使集合 B 中的元素 和集合 A 中的元素 对应，Af: 3xyx这个映射是否是 A 到 B 上的一一映射？2已知 的象以及 45,0,sin:,10|,90| 2求映 射 fxx，1 的原象.433从 A 到 B 的映射是 ，从 B 到 C 的映射是 ，试写13:xyf 12:yzg出从 A 到 C 的映射 h.4设 .,4321321 ba写出一个 ，使得 f 是单射，并求 A 到 B 的单射的个数；Bf:写出一个 ，使得 f 不是单射，并求所有这种映射的个数；AA 到 B 的映射能否是满射？5设集合 A=1，2，则从 A 到 A 的映射 f 中满足 的映射有几个？)(xff6某银行为管理保险柜，设 11 人管理，保险柜上加了若干把锁，这些锁的钥匙分发给 11人保管使用.问最少应为保险柜加多少把锁，才能使任何 6 人同时到场就能打开保险柜，而任何 5 人到场都不能打开？7由 83 个单位立方体砌成棱长为 8 的大立方体，问在大立方体中共可作多少条直线，使每条直线都穿过 8 个单位方体的中心？8在 1993 的方格板上画出主对角线，问它穿过多少个单位方格的内部？8
