1、分享智慧泉源 智爱学习 传扬爱心喜乐Wisdom&Love 第 页（共 6 页） 1高中数学教程双曲线的几何性质（1）目标：1能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2掌握双曲线的渐近线的概念和证明；3明确双曲线方程中 的几何意义；,abc4能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。 （一）复习：1双曲线的定义和标准方程； 2椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程 为例进行说明。12byax1范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 的外侧。ax注意：从双曲线的方程如何
2、验证？从标准方程 可知 ，由此双曲线上点的坐标都适合不等式12byax22yx 12即 ， 即双曲线在两条直线 的外侧。2a2对称性：双曲线 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原2点是双曲线 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。12byax3顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 的方程里，对称轴是 轴，所以令 得 ，因此双曲线和 轴有两个交点2 ,xy0yaxx，他们是双曲线 的顶点。)0,(,(aA12ba令 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。x1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的顶点分别
3、是实轴的两个端点。2）实轴：线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 叫做双曲线的实半轴长。2 ,a虚轴：线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 叫做双曲线的虚半轴长。B2b在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线） ，但要注意他们并非是双曲线的顶点。4渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。12byax在初中学习反比例函数 时提到 x 轴 y 轴都是它的渐近线。k高中三角函数 ，渐近线是 。tny )(2Zk所谓渐近，既是无限接近但永不相交。那么如何证明这个无限接近但永不相交？思考：
4、从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？距离。只要证明什么？距离趋向于 0.下面证明，取第一象限内的部分进行证明。 （见课本 ）109P求 法 ： 求 已 知 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 ： 令 右 端 的 1 为 0， 解 出 的 直 线 方 程 即 为 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 。5等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 定义式： ab2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。 xy注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。分享智慧泉源 智爱学习 传扬爱心喜乐W
5、isdom&Love 第 页（共 6 页） 2OxyACBB3）注意到等轴双曲线的特征 ，则等轴双曲线可以设为： ab )0(2yx当 时交点在 轴，当 时焦点在 轴上。0x0y6注意 与 的区别：三个量 中 不同（互换） 相同，还有焦点所在的坐192yx216,abc,c标轴也变了。共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将 1 变为 。3）共用同一对渐近线 的双曲线的方程具有什么样
6、的特征？可设为 ，kxy )0(12kyx当 时交点在 x 轴，当 时焦点在 y 轴上。004）与双曲线有同一对渐近线的双曲线的方程可设为 ，当 时交点在 x2(0)xab轴，当 时焦点在 y 轴上。（三） 例题分析：例 1求双曲线 的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。29164yx解：把方程化标准方程： ，由此可知，实半轴长 ，虚半轴长 ；234a3b，焦点的坐标是225cab(0,5),渐近线方程为 ，即 。4xy4x例 2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如左图） ，它的最小半径为 ，上口半径为 ，12m13下口半径为 ，高 ，选择适当的坐标系，求出
7、此双曲线的5m方程（精确到 ） 。1解：如图（右图） ，建立坐标系 ，使小圆的直径 在 轴上，xOyAx圆心与原点重合；这时，上、下口的直径 平行于 轴，且,CB， ；设曲线的方程为：|32()C|25()B210,xyab令点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，()y(25,)y因为点 在双曲线上，所以 ,BC22113()b化简，得 解得2197580b5m所求双曲线的方程为： 。146xy例 3求与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线的方程。2 (2,)M解：与双曲线 有共同渐近线故设所求双曲线的方程为 2(0)xyk又过点 (,)M41分享智慧泉源 智爱学习 传扬爱心喜乐Wisdom&L
8、ove 第 页（共 6 页） 3所求双曲线的方程为 即 。241xy213xy补充：求与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线的方程。(2,)M2 课题：双曲线的几何性质（2）目标：1. 巩固双曲线的几何性质；2. 能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程。重、难点：几何性质的运用。教程：（一）复习：1双曲线的几何性质：范围；对称性；顶点；渐近线；离心率。2练习：双曲线 的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 251640xy，焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 （若方程改为 呢？）2y（二）新课讲解：例 1求证：双曲线 （ ）与双曲线 有共同的渐近线。2xab021xyab解：若
9、，则双曲线方程可化为 ，021xyab渐近线方程为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，ya2 byxa两双曲线渐近线相同；若 ，则双曲线方程可化为 ，021yxba渐近线方程为 ，即 ，axxb又双曲线 的渐近线方程为 ，21ybyxa两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立。说明：与双曲线 （ ）有共同渐近线的所有双曲线方程为 （ ） 2xmn02xymn0【练习】与双曲线 有共同的渐近线且经过点 的双曲线方程是 143y(3,)M2168例 2求中心在原点，一条渐近线方程为 ，且一焦点为 的双曲线标准方程。20xy4,0解：（方法一）设双曲线的标准方程为 ，1(,)ab双曲线准线方程为 3yx
10、， 又焦点 ，23ba(4,0)c ，由得 。2c22146,3ab双曲线方程为： 。21463xy分享智慧泉源 智爱学习 传扬爱心喜乐Wisdom&Love 第 页（共 6 页） 4方法二：由题意，可以设双曲线方程为：2(0)94xyk焦点为 ， ，(4,0)21613c ，双曲线方程为： 。163k2例 3已知双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为 12，求它的标准方程。3yx解：由题意，可以设双曲线方程为21(,0)49kR当 时， ， ；0k436k当 时， ， 。9所求双曲线方程为： 或 。218yx2136y五小结： 用双曲线的性质求双曲线方程。补充：1已知双曲线的中心在坐标原点，焦点
11、在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，12,F2(4,10)（1）求双曲线方程；（2）若点 在双曲线上，求证： ；(3,)MmM（3）求 的面积。12F3 课题：双曲线的几何性质（3）目标：1能熟记双曲线的离心率、明确 的几何意义；e2知道双曲线的另一定义和准线的概念，能正确写出双曲线的准线方程。重、难点：双曲线的离心率和双曲线的第二定义。 教程：（一）复习：双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。（二）新课讲解：1离心率：1）概念：双曲线焦距与实轴长之比；2）定义式： ；ace3）范围： ；14）考察双曲线形状与 的关系： ，因此 越大，即渐近线的斜率的绝对122eacbke值就大，这是
12、双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。2双曲线的第二定义：例 1点 与定点 的距离与到 的距离之比为常数 ，求 的轨迹方程。(,)Mxy(,0)Fccxl2:)0(acM解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，所求点轨迹是集合由此得：cPa2()|xcya化简得： .222()()cxyc分享智慧泉源 智爱学习 传扬爱心喜乐Wisdom&Love 第 页（共 6 页） 5设 ，就可化为：22cab021 (0,)xyab这是双曲线的标准方程，所以点 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为 的双曲线。M2,ab说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求
13、解曲线轨迹方程的一般步骤。双曲线的第二定义：平面上到定点 的距离与到定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹是双Fl )0(c曲线。说明：1）其中定点焦点，定直线准线。对于 来说，相对于左焦点 对应着左准线12byax )0,(1ccaxl21:相对于右焦点 对应着右准线,2F22对于 来说，相对于下焦点 对应着下准线12bxay ),0(1ccayl21:相对于上焦点 对应着上准线,222）位置关系： 02cx3）焦点到相应准线的距离： b练习：已知双曲线 上一点到其右焦点距离为 8，求其到左准线的距离。 （答案： ）13642xy 5963例题分析：例 2双曲线的中心在坐标原点，离心率为 ，一
14、条准线方程为 ，求双曲线的方程。412x解：设双曲线的方程为 ，由题意得 解得21(0,)xyab241ca2,8ac ，双曲线的方程为 。2264bca2460xy例 3双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为 4，且经过 ,求双曲线的方程。(263)A解：若焦点在 轴上，则双曲线的方程设为 ，x21(,)ab由已知，有 ， ， ，代入 ，2491abc2ac2bc2491整理得 ， 或 ， 或 ，24303126,3ab2,b双曲线的方程为 或 ，216xy29xy若焦点在 轴上，则设双曲线的方程为 ，y2(0,)ab分享智慧泉源 智爱学习 传扬爱心喜乐Wisdom&Love
15、第 页（共 6 页） 6由已知，得 ， 代入得 ，此方程无实数解2941ab2ac2bc21360c。双曲线的方程为 或 。(0)2163xy9xy说明：当双曲线的焦点位置不定时，必须进行分类讨论。五课堂小结：方 程 （ ）21xyab0,ab（ ）21yxab0,ab图 象关 系,abc 22abc范 围 |,xayR|,yaxR顶 点 (0)(0)对 称 性 关于 轴成轴对称、关于原点成中心对称,渐 近 线 bab离 心 率 (1)cea焦 点 (,0)Fc(0,)Fc准 线2ax2ay补充：1求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）离心率为 ，准线方程为 ；（答案： ）236x21486x（2）双曲线的一条渐近线经过点 ，两准线间距离为 。 （答案： 或 ）(1,2)P52146xy2x2已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，双曲线左支上有一点 ，设 到左23yx12,FP准线的距离为 ，且 恰成等比数列，试求 点的坐标。 （选做） （答案 ）d12,| 315(,)2
