1、7 2 横截面上的应力,7 3 拉压杆的强度计算,7 4 斜截面应力,7 6 拉（压）杆内的应变能,7 8 简单的拉，压超静定问题,7 5 拉（压）杆的变形和位移, 77 低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能, 79 拉（压）杆接头的计算,7 1 轴力及轴力图,75 拉（压）杆的变形与位移,一、变形与线应变,杆件的纵向伸长为,纵向线应变为,伸长时纵向线应变为正，缩短时纵向线应变为负。,杆件在纵向变形的同时，将有横向变形。,杆件的横向线应变为,伸长时横向线应变为负，缩短时横向线应变为正。,二、泊松比,当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩 沿纵向缩短时，横向则伸长。,横向线应变与纵向
2、线应变之间的关系, 称为 泊松比 或 横向变形因数,横向线应变与纵向线应变之间的关系, 称为 泊松比 或 横向变形因数,三、胡克定律,实验表明工程上大多数材料都有一个 弹性阶段，在此范围内 轴向 拉、压 杆件的 伸长 或 缩短量 l ，与轴力 FN 和杆长 l 成正比，与横截面面积 A 成反比 。,式中 E 称为 弹性模量 ，EA 称为 抗拉（压）刚度 。,上式称 胡克定律,上式改写为,胡克定律：在线弹性范围，正应力与线应变成正比 。,或称单轴应力状态下的胡克定律。,例题：图示为一阶梯形钢杆。AB 段和 BC 段的横截面面积为A1 = A2 = 500 mm2 ，CD 段的横截面面积为 A3
3、= 200 mm2 ，已知钢 的弹性模量 E = 2.0 105 MPa。试求杆的纵向变形。,解：画轴力图,1,2,3,1,2,3,1,2,3,l 也是杆的两个端面 A 和 D 沿杆的轴线方向的相对线位移, 负号 表示两截面靠拢。,由于A 截面不动。 l 也是 D 截面沿杆轴方向的绝对位移 D 。负 号表示 D 截面向左移动。,1,2,3,BC段的纵向变形 l2= -0.01mm 也就是 B 截面和 C 截面的相对纵 向位移 lBC。,1,2,3,C 截面的相对纵向位移 C ，则应是 B 截面纵向位移 B 加上C 截面与 B 截面的相对纵向位移 lBC 。,例题： 图示杆系由两根钢杆 1 和
4、2 组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成 = 300 的角度， 长度均为 l = 2m，直径均为 d = 25mm，钢的弹性模量为 E = 210 GPa。设在点A处悬挂一重物 P =100 kN，试求 A 点的位移 A。,解：列平衡方程，求杆的轴力：,两杆的变形为,（伸长）,变形的几何相容条件是:变形后，两杆仍应铰结在一起。,画变形图求位移,以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A， 即为 A 点的新位置。AA 就是 A 点的位移。,A,1,2,B,C,A,1,2,B,C,1,2,A,C,B,因变形很小，故可过 A1、A2 分别做两杆的垂线，相交于 A,可认为,A,1,
5、2,B,C,1,2,A,C,B,所以,（单位 J ),根据能量守恒，积蓄在弹性体内的 应变能 在数值上等于外力所作的功，即：,7-6 拉 (压) 杆内的应变能,应变能 ：伴随 弹性变形 增减而改变的能量。,一、应变能,本节只讨论线弹性体,（单位 J/m3),应变能密度： 单位体积的应变能。记作 。,二、比能（应变能密度）,例题：杆系如图所示，求系统内的应变能和外力所作的功。已知各杆的长度 l = 2m ，直径 d = 25 mm ，弹性模量 E=2.1105MPa , 荷载 F = 100KN ，=300 。,解: 已求得,材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性称材料的力学性能，也称机
6、械性质。研究材料的力学性能的目的是确定材料的一些重要性能指标，以作为计算材料强度、 刚度和选用材料的依据。 材料的机械性质通过试验测定，通常为常温静载试验。试验方法应按照国家标准进行。,76 低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能,试件和试验设备,试件,l 标距,d 直径,一、低碳钢拉伸试验,1、试验方法,工程上常用的材料品种很多，材力中主要讨论,塑性材料,脆性材料, 典型代表: 低碳钢,金属材料。, 典型代表: 铸铁,先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为标距 l 。,l = 10d 或 l = 5d,设备主要有两类，一类称为 万能试验机 。另一类设备是用来 测试变形的 变形仪 。,2、
7、 低碳钢拉伸时的力学性质,（1）拉伸图 （F l 图 ）,试样的变形完全是弹性的。此阶段内的直线段材料满足胡克定律。,阶段1：弹性阶段,F,o,l,F,o,l,阶段11：屈服阶段,试样的荷载基本不变而试样却不断伸长。,屈服阶段出现的变形是不可恢复的塑性变形。,试样外表面有大约与轴线成 450 方向的条纹，称为滑移线 。,F,o,l,阶段111：强化阶段,在强化阶段试样的变形主要是塑性变形。在此阶段可以较明显 地看到整个试样的横向尺寸在缩小。,F,o,l,4,阶段1V：局部变形阶段,试样在某一段内的横截面面积显著地收缩，出现 颈缩 现象。一直到试样被拉断。,F,o,l,4,若到 强化阶段 的 某
8、一点 停止加载，并逐渐卸载，在卸载过程中， 荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律。,a,卸载定律,F,o,l,4,a,lC 是试样的弹性变形,lS 是试样的塑性变形,F,o,l,4,a,在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，当再次加载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大。,冷作硬化,F,o,l,3,4,a,若试样预拉到强化阶段然后卸载，经过一段时间后再受拉， 则弹性范围内所能承受的最大荷载还有所提高。,冷拉时效,A 点是应力与应变成正比的最高限。,（2）应力应变曲线,P 比例极限,B 点是弹性阶段的最高点。,e 弹性极限,D 点为屈服低限,S 屈服极限,b 强度极
9、限,G 点是强化阶段的 最高点,试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为 l1 ，横截面面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1 。,断面收缩率：,延伸率 ：, 和 均较高的材料，称作塑性材料。,5 的材料，称作脆性材料。,例题：一根材料为 Q235 钢的拉伸试件，其直径 d = 10 mm ，标 距 l = 100 mm 。当试验机上荷载读数达到 F = 10 KN 时，量得标 距范围内的伸长 l = 0.0607 mm，直径的缩小为 d = - 0.0017 mm 。试求材料的弹性模量E 和泊松比 v 。已知材料的比例极限 P = 200MPa 。,解：横截面的正应力,材料在线弹性范围内工作, 拉（压）杆变形计算胡克定律：,总 结, 拉 (压) 杆内的应变能,总 结,低碳钢的应力应变曲线及其主要力学性质（比例极限，弹性极限，屈服极限，强度极限，弹性模量，塑性指标）塑性材料与脆性材料材料在拉伸、压缩时力学性质的特性。,重点与难点,拉（压）杆的变形和（截面或结点）位移的计算方法： 1、计算杆件的轴力； 2、由胡克定律计算杆件的变形量； 3、根据变形相容条件作位移图或结构的变形图，由变形几何关系计算位移值。,重点、难点,1、低碳钢试样的拉伸图 2、低碳钢拉伸时的 曲线 比例极限 弹性极限 屈服极限 强度极限,
