力学量本征值问题的代数解法.doc-道客多多

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1、量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论1第九章力学量本征值问题的代数解法本征值问题的解法: 分析解法，代数解法9.1 一维谐振子的 Schrdinger 因式分解法升、降算符一、Hamilton 量的代数表示一维谐振子的 Hamilton 量可表为 221xpH采用自然单位（），1（此时能量以为单位，长度以为单位，动量以为单位）/则 21xpH而基本对易式是。ipx,令，)(21ia)(21ipxa其逆为，。)(x)(ai利用上述对易式，容易证明(请课后证明) 1,将两类算符的关系式，)(21ax)(2aip代入一维谐振子的 Hamilton 量，有1xH

2、2Na上式就是 Hamilton 量的因式分解法，其中。由于，而且在任何量子态下N0),(),(aa量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论2所以为正定厄米算符N二、Hamilton 量的本征值下面证明，若的本征值为，，则的本征值为（自然单位，n,210HnE），2En ,n证明：设|n 为的本征态( n 为正实数) ，即N nN利用及容易算出1,aa，a,a,因此。nN,但上式左边 nNa由此可得。)1(这说明，也是的本征态，相应本征值为。na| )1(如此类推，从的本征态出发，逐次用运算，可得出的一系列本征态Nn| aN，，，|n

3、|2相应的本征值为，，，n1因为为正定厄米算子，其本征值为非负实数。N若设最小本征值为，相应的本征态为，则00na此时 000nanN量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论3即是的本征值为 0 的本征态，或。此态记为，又称为真空态，亦即0nN 0n0|谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为。2/利用 aN,同样可以证明 nn)1(这说明也是的本征态，本征值为。naN利用上式及，0从出发，逐次用运算，可得出的全部本征态：0N利用，有。1,aa1已知是的本征态，本征值是 0N由可知nn)( 01aN即也是的本征

4、态，本征值是 1。0aN下面看是否也是的本征态，本征值是多少？2显然 02)1(000222aNaaa故也是的本征态，本征值是 2。02aN这样对本征态，，，|0|a|2本征值为，，，N1量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论4本征值为，，，H2/1/32/5所以，可以成为上升算符，可以称为下降算符。证毕。aa这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。利用归纳法可以证明（课下证）：（即）的归一化本征态可表为（为什么？）NH0)(!1na且满足，nH21n由得0)(!1na 0)(!11na所以 1|0|)(!| 1nanan从而有 a|而由得nanN

5、| na|1所以 nana|1|或 |量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论5上式作用任一左矢，有|m1| namna利用，有，代入上式，即1,a1|或 1| namnm利用，上式变为1|na nm|移项，得。nm|上式对任意 m 都成立，所以 a|1|或。1|na连同，|这就是下降和上升算符的定义,很有用处。三、升降算符的应用1. 坐标和动量算符的矩阵元计算利用 1|na|n以及，)(21ax)(2aip容易证明： )1(2,1nnnipx拿第一式的证明为例。量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论6因为，)(21ax所以 )1(2)1| |1|(

7、以 2412d!)( xnn exx上次课复习，)(21ipxa)(21ipxa，)()(ai，，21xpH21Na，nE,0，，1|a 1|na量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论80)(!1na升降算符的应用四、S-方程因式分解的条件上述的因式分解法是 Schrdinger 提出来的。可以证明，对于存在束缚态的一维势阱，只要基态能量有限, 存在,则可定xV0E0义相应的升降算符，并对 Hamilton 量进行因式分解。另外还可以证明，对于 r 幂函数形式的中心势，只当（Coulomb 势）)(rrV/1)(或 (各向同性谐振子势 )时，径向 S-方程才能因式分解

8、。2)rV总之，S -方程的因式分解与经典粒子束缚运动轨道的闭合性有某种关系。9.2 角动量算符的本征值和本征态前面我们学习了轨道角动量、自旋角动量的性质（本征值和本征态）以及它们之间的耦合问题。下面我们对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。一、一般角动量算符的对易关系如果算符，其三个分量满足下列对易关系jzyxj,，，zij, xzyji, yxzji,则以作为三个分量的矢量算符称为角动量算符。且式zyxj, j，，zyxjij, xzyji, yxzji,称为角动量的基本对易式。轨道角动量，自旋角动量以及总角动量的各分量都满足此基本对易式。lsjsl以下根据此基本对易

9、式及角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态。定义 22zyxjj利用角动量分量间的一般对易式容易证明：，0,2jz,量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论9定义 yxjji其逆表示为，)(21jjx )(i21jy同样可以证明： jjz,z2zjj)(22zj利用角动量的定义及分量的对易关系，上述几个式子是很容易证明的。利用，有yxjji)(2ii )(i()(2 222zyx yxyxyxyxj jjjjj所以。zjj二、角动量本征值和本征态的代数解法1. 声子的概念前面我们在粒子数表象时所用的对易关系式 1,a是针对玻色子体系而言的。我们知道，光是玻色子，在被量子

10、化后形成“光子”的概念。同样，晶体里的格波（其实就是一种声波）的能量也是量子化的。人们把量子化了的格波叫做“声子 ”。声子和光子一样都是玻色子。2. 角动量本征值和本征态的代数解法量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论10考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子产生和湮灭算符用，和，表示,1a2a并满足，，jijia, 0,jijia,ji定义正定厄米算符，1N2其本征值分别为和，1n2,20,1它们分别表示两类声子的数目。和的归一化共同本征态可表为1N2 0!)(2121nan定义算符 xx jaj)(121yyi )(2)(22121 Njaj zz 由此定义角

11、动量升降算符 21)i(ajjyx)(j利用对易式，，jijia, 0,jijia2,1ji容易证明，jij, zyx,这正是角动量的基本对易式（）。 1因为，，jijia, 0,jijia2,1ji所以量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论11212121 121221121,i,4 ,i )(i),(,aaaaajyx 即 zyxj aa aaaaji )(21i)(2100i ,21,i, 21 12 12221122 同理可证其它几个分量对易式。同样可证明关系式 1222Njjzyx其中，2121aN其本征值为。,0n这样，的本征值可表为，且2j )(j（？

12、） ,253,12j即角动量量子数只能取非负整数或半整数。j由前述可知，是、和的共同本征态，21n1N2但，22j )(212Njz量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论12故也是的共同本征态，且21n),(2zj 211212nnjz考虑到角动量本征态的习惯写法，不妨将改写为，并定义21jm，12nj21n现在的问题是，对于给定的，即，jm 可以取那些值？下面予以分析：，1，0nj2，，0j2而，jj,1,即 m 可以取这个值。)( )1(式，的逆可表示为21nj21n，1j因而 0!)(2121nan可改写为 0)!()21mjjajmjj相

13、应地，利用，，21nj21n21n式量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论13211212nnjz可改写为 jmjz)(2其中， ,253,10j jj,1,另外，请同学们课下证明一个非常重要的关系式 )(1( jmjjm提示：1.首先证明是的属于本征值的本征函数；jz2.利用本征值的非简并性，即z 1|jmj得出的值。请参阅陈鄂生量子力学习题与解答 p55作业：p260 2, 39.3 两个角动量的耦合与 CG 系数前面我们讨论过两个具体角动量的耦合自旋与轨道角动量的耦合 slj自旋与自旋角动量的耦合 21S下面讨论两个一般角动量的耦合一、两个角动量的耦合设与分

14、别表示第一和第二粒子的角动量，即（取）1j2 1，，11i,jj22,jij zyx,这两个角动量分别对不同粒子的态矢运算，属于不同的自由度，因而是彼此对易的：量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论14，0,21jzyx,定义两个角动量之和，j这就是两个角动量耦合的一般定义。利用两个角动量各分量满足的基本对易式，同上节介绍的方法可以证明 jji,或表成。jij设的共同本征态记为，即),(12z 1mj)(1112mjjzj类似地，的共同本征态记为),(2zj 2j222)(mjjz j对两个粒子组成的体系，如果只考虑角动量所涉及的自由度，其任何一个态必然可以用来展

15、开。)2(1mjj即可作为体系力学量完全集, 而是它们的共同本征态。,zz )2(1mjj1. 非耦合表象以共同本征态为基矢的表象称为非耦合表象。)2(1mjj在给定，的情况下，1j2222 11,jj所以有个，即它们张开维子空间。)(12mjj)(1j )1(21j2. 耦合表象考虑到，，，，0,21j0,2j0,21j0,2jzyx,量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论15也构成两粒子体系的一组力学量完全集，共同本征态记为，),(21zjj )2,1(jm即 jmjx jjj jmjmj2121 2121)()(2以共同本征态为基矢的表象称为耦合

16、表象，基矢简记为。),(21jm )2,1(jm问题：当给定，，可取哪些值？基矢与之间的关系如何？1j2j )2,1(jm)(21mjj二、两种耦合表象基矢之间的关系CG 系数1. Clebsch-Gordan 系数令 )2(1)2,1(212mjjmj j上式的物理意义是明显的。我们将展开系数称之为 Clebsch-Gordan 系数，简称 CG 系数。jj21显然 CG 系数是维子空间中耦合表象基矢与非耦合表象基矢之间的)(幺正变换矩阵元。考虑到，将上式两边分别作用到下式两边zzjj21 )2(1),(212mjjmj j有 21 21 2121 21 2121 2121

17、21 )()( )()()()(),( 2122m mjj mjjjmj jjzmjjzmjjzjz jjjj 对量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论1621 21)()(),( 212m mjjjz j因为，所以,2,1jjmz )()()( 2121 212 mjjmj j将代入上式左边，并移项得(),( 2121 mjjmj 0)()( 212121 mjj由于是正交归一完备基矢，上式要成立，展开系数必然要满足下列条件21mjj 0)(2121jjm而是不能为 0 的？jj21所以只有，即2121m故在式 )2()2,1( 1212mjjmj j的两个求和指标中

18、，只有一个是独立的，从而上式可以写成如下的形式 )()(),( 121112 mjjmj j 第一次课遗留的问题：如何由升算符的定义式导出降算符的定义式？上次课复习，，zyxjij, xzyji, yxzji,则以，，作为三个分量的矢量算符称为角动量算符。z 21)i(ajjyx)(j，0,2jzyx,jz量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论17zjj2z)(22zjjj定义正定厄米算符，1aN2和的归一化共同本征态可表为1N2 0!)(2121nn22Njjzyx2121aN ,53,0nj211212nnjz，，21j21m21jjz)(0)!()21mjja

19、jjj1(jm)2()2,1(1212mjjj j我们将展开系数称之为 Clebsch-Gordan 系数，简称 CG 系数。21 )()(),( 121112 mjjmj j CG 系数有什么性质？量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论182. Clebsch-Gordan 系数的性质1）Clebsch-Gordan 系数的实数性由前所述可知, CG 系数实际上是两个表象基矢的幺正变换或重叠积分，它可能是复数。根据基函数的性质，表象的基矢具有相位不定性，从而两个表象之间的幺正变换也有一个相位不定性。如果相位选择适当, 就可以使 CG 系数成为实数。在此情况下,有下两式 )2(

20、)1()2,1( 1112 mjjmj j 及 )()(),( 121 1211 mjjmj j 代入正交归一关系 mjjj ),(有 mjmmjjmjj jj 121 121 1 1211 21, 或 121 121 ),( 1211211 mjjmjjjm jjjj 即 121 121 ),)(,( 1212111 mjjmjjmjm jjmjj 当时，给出 jmjjmjjm jjjj ),)(,( 1212111 121 12利用波函数的正交归一性，显然有 jm jjjj 12112112）Clebsch-Gordan 系数的幺正性由于 CG 系数是实数，所以由式 )2(1)2,1(2

21、12mjjmj j量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论19j2j1j取逆得 )2,1()2(1212jmmjmjj j上式很容易理解：两个表象基矢的转换是相互的，不过要利用条件 S1将上式代入正交归一性关系 212121 ),( mmjjjmj 得 2121 ),(212 mjjmj jjj 或 2121 212 mmj mjjj 当时，上式进一步写为2 121121 1mjm jjjj 上式正是 CG 系数幺正性的体现。三、的取值范围j已经知道，给定和，有1j2222 11,jjjm即 2max21ax1)(,)(jj所以 21ax21max)()( j按照角动量的矢

22、量耦合性质，给定和j21maxjj量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论20见右图。除此之外，还可以取哪些值？是多少？jminj这可以从及下两式21m定出的值给出：222 11,jjj )2()1()(1)()()()2( 21)()1(12121 21 2112112 jjjj jjj jjjjjjjj上表中箭头方向表示的一组取值。由mjj,这个规律可以定出, 对每一组值，取什么值。从上表中可以看出，的取值除之外，还可以取，依次j )(21maxjj,12j递减 1，直到 0minj问题：？i方案：由空间维数确定。非耦合表象基矢维数：21mjj)12(

23、1jj耦合表象基矢维数可以这样计算：jm对于一个，取个值；而的取值从到，故总的维数是2jmaxjin量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言量子力学导论21)1)(1( 12(2 3)()()12( min2min1 minin in212121maxin jjjj jjjjjjjj (实际上是等差数列的求和)而作表象变换时，空间维数是不可能变化的，则有 )12()12()1min jjjjj即 )()( 21min21in21 jjjjjj由此可得与、的关系：min 21min12min12 jjjj 时，当时，当所以在给定、的的情况下的取值范围如下：1j 2121,jjj这是我们所熟悉的形式。上述结果可概括为三角形法则： )(21j三角形任何一边之长不大于另外两边之和，不小于另外两边之差。见下图 j 2j1j作业：p262 6,8

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