高三数学专题—平面 - 淘题.doc

1、http:/ 1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ） A1 B2 C3 D1 或 3分析：本题显然是要应用推论 2 判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：答案：D说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯典型例题二例 2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面分析：先将已知和求证改写成符号语言证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内也可先由其中两条确定一个平面 ，另两条确定平面 ，再证平面 ，重合已知： cba/， Aal， Bbl

2、， Ccl求证：直线 ， ， ， 共面证明： /， ， 确定一个平面 al， bl， A， B，故 l又 c/， a， c确定一个平面 同理可证 l ，且 l 过两条相交直线 a， 有且只有一个平面，故 与 重合即直线 ， b， c， l共面说明：本例是新教材第 9 页第 9 题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法这两种方法是证明线共面问题的常用方法在证明 c时，也可以用http:/ c，则 一定与 相交，此时直线 c与 a内的所有直线都不会平行，这显然与 ca/矛盾故 典型例题三例 3 已知 ABC在平面 外，它的三边所在的直线分别交平面 于 P，

3、 Q， R三点，证明 P，Q， R三点在同一条直线上分析：如图所示，欲证 P， Q， R三点共线，只须证 P， ， 在平面 和平面 ABC的交线上，由 ， ， 都是两平面的公 共点而得证证明： ， ， PQ是平面 与平面 的交线又 RAC， 且 平面 B， ， P， Q， 三点共线说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理 2，这些点都在这两平面的交线上典型例题四例 4 如图所示， ABC与 1不在同一个平面内，如果三直线 1A、 B、 1C两两相交，证明：三直线 1、 、 1交于一点分析：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线 交于一点，再证明该点在第三条直线上即可

4、证明：由推论 2，可设 1B与 C， 1与 A， 1A与1B分别确定平面 ， ， 取 PA1，则 1， 1BP又因 C，则 （公理 2） ，http:/ PCBA11，故三直线 、 、 共点说明：空间中证三线共点有如下两种方法：（1 ）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理 2，该点在它们的交线上，从而得三线共点（2 ）先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合从而得三线共点典型例题五（1 ）不共面的四点可以确定几个平面？（2 ）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？（3 ）共

5、点的三条直线可以确定几个平面？分析：（1）可利用公里 3 判定。（2 ）可利用公里 3 的推论 3 判定。（3 ）需进行分类讨论判定。解：（1）不共面的四点可以确定四个平面。（2 ）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定 3 个平面。（3 ）共点的三条直线可以确定 1 个或 3 个平面。说明：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏。平面的确定问题主要是根据已知条件和公里 3 及其 3 个推论来判定平面的个数。典型例题六例 6 A、 B、 C为空间三点，经过这三点：A能确定一个平面 B能确定无数个平面C能确定一个或无数个平面 D能确定一个平面或不能确定平面分析：本题考查空间

6、确定平面的方法，解题的主要依据是公理 3 及三个推论解：由于题设中所给的三点 A、 B、 C并没有指明这三点之间的位置关系，所以在应用公理 3 时要注意条件 “不共线的三点” 当 A、 B、 三点共线时，经过这三点就不能确定平面，当 、 、 三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面，故选 D说明：空间确定一平面的方法有多种，既可以根据不共线的三点来确定一个平面，又可以根据空间两相交直线或两平行直线来确定一个平面典型例题七例 7 判断题（答案正确的在括号内打“”号，不正确的在括号内打 “”号） (1)两条直线确定一个平面；（ ）(2)经过一点的三条直线可以确定一个平面；（ ）(3)两两相交的三

7、条直线不共面；（ ）(4)不共面的四点中，任何三点不共线 （ ）http:/ (2) (3) (4)说明：由(3)题的分析过程可知：两两相交的三条直线有时共面有时不共面那么对于空间四条直线何时共面何时不共面呢？典型例题八例 8 如图，在正方体 1DCBA中，点 E、 F分别是棱 1A、 C的中点，试画出过点1D、 E、 F三点的截面分析：本题考查作多面体截面的能力，主要依据是公理 1 和公理 2 欲画出所要求的截面与正方体各个侧面的交线解：连 FD1并延长 1与 C的延长线交于点 H，连结 ED1与 A的延长线交于点 G，连结GH与 AB、 两条棱交于点 B，连结 E、 F，则 B就是过点 1

8、、 、 F三点的截面说明：本题亦可以证明点 、 、 1D、 四点共面若 、 F不是棱 与 C1的中点，则作图过程中 不一定过点 ，所画的截面多边形可能是五边形典型例题九例 9 判断下列说法是否正确？并说明理由(1)平行四边形是一个平面(2)任何一个平面图形都是一个平面(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线解：(1)不正确平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延伸的说明：在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面(2)不正确平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小，它是不可能无限延展的说明：要严格区分“平面图形”和“平面”这两个概

9、念http:/ 说明：在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线；在立体几何中却不然有的同学在学习立体几何时，对此点没有认识，必将影响空间立体感的形成，削弱或阻断空间想象能力的培养典型例题十例 10 按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如下图的(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6) 中的线段 AB，分别是两个平面的交线解：由两个相交平面的画法：本题只须过线段的端点画出与交线 AB平行且相等的线段，即可得到相关的平行四边形，注意被平面遮住的部分应画成虚线或者不画，然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可如下图所示说明：(1)画好两个相交平面的图形，是画好一切立体图形的基础(2)画空

10、间图形的过程，是培养我们空间想象能力的过程，一定要认真对待，决不可以掉以轻心典型例题十一例 11 (1)一个平面将空间分成几部分？(2)两个平面将空间分成几部分？(3)三个平面将空间分成几部分？画出图形， （要求：至少有两种情况有画法过程）解：(1)一个平面将空间分成两部分http:/ 1：当平面 、平面 、平面 互相平行（即 /） ，将空间分成四个部分，其图形如右图情况 2：当平面 与平面 平行，平面 与它们相交（即 /，与其相交） ，将空间分成六部分，其图形如下图画法是：情况 3：当平面 、平面 、平面 都相交，且三条交线重合（即 l且 l）将空间分成六部分，其图形如下图说明：本种情况给出

11、两种图形，一种是将交线画成水平状态，一种是将交线画成竖直状态情况 4：平面 、平面 、平面 都相交且三条交线共点，但互不重合 （即 l，且 与 、都相交，三条交线共点） 将空间分成八部分，其图形如下图画法是：情况 5：平面 、平面 、平面 两两相交且三条交线平行（即 l， 与 、 都相交且三条交线平行） 将空间分成七部分，其图形如下图http:/ 12 下图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ） 解：对于 A，图中没有画出平面 与平面 的交线，另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画，因此 A 的画法不正确同样的道理，也可知 B、C 图形的画法不正确D 的图形画法正确应选 D说明：对空间图

12、形的准确辨识，是培养空间想象能力的重要组成部分，一定要注意这方面能力的锻炼典型例题十三例 13 观察下图，说明图形中的不同之处解：上面的图形都是由九条线段构成的图形、外形似乎相似仔细观察，由于图中的实、虚线的画法不同，则反映了不同的几何体A 图是一个簸箕形图形；B 图是体，是三棱柱； C 图也是体，也是三棱柱B 图如果看作是从三棱柱的正面观察，C 图则可看作是从三棱柱的后面观察说明：在立体几何中，一定要明确画图过程中哪条线画实线，哪条线画虚线要记住：能够看得到的线一定画成实线，被挡住的看不到的线画成虚线下面再给出两组图形如下图所示，请同学们予以辨识，指出它们有什么不同http:/ 14 若点

13、Q在直线 b上， 在平面 内，则 Q、 b、 之间的关系可记作（ ） A B C D 解法 1：（直接法）点 在直线 b上， ，直线 在平面 内， ， Q应选 B解法 2：（排除法）点 与直线 b之间的关系是元素与集合之间的关系，只能用符号“ ”或“ ”表示，C 、D 应予排除直线 与平面 之间是集合与集合之间的关系，只能用符号“ ”或“ ”表示，A 应予以排除综上可知应选 B说明：要能正确地使用点、直线、平面之间关系的符号语言典型例题十五例 15 用符号语言表示下列语句(1)点 A在平面 内，但在平面 外；(2)直线 a经过平面 外一点 M；(3)直线 在平面 内，又在平面 内，即平面 和

14、相交于直线 a解：(1) 但 http:/ M， a(3) a且 ，即 a说明：符号语言比较简洁、严谨，可大大的缩短文字语言表达的长度，有利于推理、计算典型例题十六例 16 将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并用用图形语言予以表示 ACBl,分析：本题实质是数学三种语言符号语言、文字语言、图形语言的互译解：文字语言叙述为：点 A在平面 与平面 的交线 l上， B、 AC分别在 、 内图形语言表示为如图：说明：文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，我们教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本

15、质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便有利于培养我们思维的广阔性典型例题十七例 17 如下图中 ABC，若 、 在平面 内，判断 AC是否在平面 内解： 在平面 内， A点一定在平面 内 BC在平面 内， 点一定在平面 内点 、点 都在平面 内直线 在平面内（公理 1） 说明：公理 1 可以用来判断直线是否在平面内http:/ 18 如下图，在正方体 1DCBA中， E、 F分别为 1C和 A上的中点，画出平面FBED1与平面 ABC的交线分析：可根据公理 2，如果两个平面有一个公共点，它们就有过

16、这点的一条直线，也只有这一条直线；这条直线的位置还须借助于另一个条件来确定解：在平面 DA1内，延长 F1， F1与 不平行，因此 与 必相交于一点，设为 P则 1DP， A又 F平面 FBE1， D平面 ABC内， 平面 ， P平面 又 为平面 AC与平面 1的公共点，连结 B， 即为平面 FBED与平面 ABC的交线说明：公理 2 是两个平面相交的性质，它说明两个平面相交，交线是一条直线要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线同时要注意，找到两个平面的一个公共点，交线的具体位置还无法判定，只有找到两个公共点，才确定这

17、两个平面的交线这是做几何体截面时确定交线经常用到的方法典型例题十九例 19 已知 E、 F、 G、 H分别是空间四边形 ABCD（四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内所组成的空间图形叫空间四边形 ）各边 、 、 、 上的点，且直线 EF和 HG交于点 P，如下图，求证：点 B、 D、 P在同一条直线上证明：如图http:/ EF直线 PHG， P直线 ，而 平面 ABD， 平面 ABD同理， 平面 C，即点 是平面 和平面 CB的公共点显然，点 B、 D也是平面和平面 的公共点，由公理 2 知，点 、 、 P都在平面 A和平面 C的交线上，即点B、 、 在同一条直线上说明：证明三点共线通常采用如下方法：方法 1 是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理 2 知，这些点都在交线上方法 2 是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上