1、1-3 函數161-3 函數的基本概念範例 1 : 定義域、值域1. 函數 f： R R， f (x) ，3(1)則 f (6) (2)欲使 f (x)之值為實數，則變數 x 之範圍為 。答： (1) (2) x 332. 設函數 f 定義為 f (x) x2 2x 5， 3 x 3，則 f 的值域 f (D) 。答：4，20類題 1：1.設 f (x) = ，則 f(x)的定義域為 。2答案：x R | 1 x 1 2. 設 為高斯符號，則下列何者為真？(A) f (x) = x 之值域為 Z (B) f (x) = 2x 之值域為 y | y = 2n， n Z (C) f (x) = 2
2、 x 之值域為 y | y = 2n， n Z 答案： AC範例 2 : 一對一函數 與 映成函數1.判斷下列函數是否為 一對一函數 或 映成函數1 . 2. 3. 答：為一對一函數 為映成函數 為對一且映成函數2. 試判斷下列各函數，何者為一對一函數？ 。(A) f (x) 3x 1 (B) f (x) x 2 1 (C) f (x) | x | (D) f (x) 1999。答：. (A)類題 2 :(多選) 1.設 R 為全部實數的集合，則下列何者為 R 映至 R 的一對一（嵌射）函數？(A) f1(x) x 1 (B) f2(x) | x | (C) f3(x) x2 (D) f4(x
3、) x3 (E) f5(x) 2000。答： (A)(D)2. 設 R 為全部實數的集合，則下列何者為 R 映至 R 的映成（蓋射）函數？(A) f1(x) x 1 (B) f2(x) | x | (C) f3(x) x2 (D) f4(x) x3 (E) f5(x) 2000。答：. (A)(D)1-3 函數17範例 3：合成函數： )()(xgff1. (a3)=C3fg2：設 f(x)=3x+1， g(x)=2x 2-3 f：RR g：RR f(g(x)=_？ f(g(x)=_？ 答：f(g(x)= f（g(x)）= f(2x 2-3 )=3 (2x2-3)+1=6x2-8 g(f(x)
4、=g(3x+1)=2(3x+1)2-3=2(9x2+6x+1)-3=18x2+12x-1類題 3：1：設 f(x)= g(x)= 求 f(g(1) 答: +12. 設 f (x) = 2x2 + 1， g(x) = x + 5，試求 f ( g (1) ) = ， g ( f ( f (x) ) ) = 。答案：73；8 x4 + 8x2 + 8範例：奇偶函數 奇函數(滿足 ，偶函數（滿足之 函 數 ）)()(xff 之 函 數 ）)(xff1. 下列各敘述何者為真？(A)若 f ( 2 ) = 5， f ( 1 ) = 1， f (0) = 0， f (1) = 1， f (2) = 5，則
5、 f 為偶函數(B)若 f ( 2 ) = f ( 1 ) = 1， f (0) = 0， f (1) = f (2) = 1，則 f 為偶函數(C)若 f ( 2 ) = f ( 1 ) = f (0) = f (1) = f (2) = 0，則 f 為偶函數，且為奇函數(D)若 f ( 2 ) = 5， f ( 1 ) = 1， f (0) = 0， f (1) = 1， f (2) = 5，則 f 為奇函數(E)若函數 g： R A R， g (x) = x2 + 4，則 g 為偶函數。答案： ACDE類題： 設 R 為全部實數的集合，則下列何者為 R 映至 R 的偶函數？（註：若 f
6、( x) f (x)，x R，稱 f (x)為偶函數。 ）1-3 函數18(A) f1(x) x 1 (B) f2(x) | x | (C) f3(x) x2 (D) f4(x) x3 (E) f5(x) 2000。答：. (B)(C)(E)範例 5 : 遞增遞減函數1 設 R 為全部實數的集合，則下列何者為 R 映至 R 的遞增函數？（註：若 a， b R， a b恆有 f (a) f (b)，稱 f (x)為遞增函數。 ）(A) f1(x) x 1 (B) f2(x) | x | (C) f3(x) x2 (D) f4(x) x3 (E) f5(x) 2000。答：(A)(D)(E)類題
7、5 : 設 a 表一實數，函數 f (x) ax 3， xR，若 f 為一個遞增函數，則 a 之範圍是 答：. a 0f (x)是一遞增函數 x1 x2 f (x1) f (x2) ax1 3 ax2 3 a(x1 x2) 0 a 0（ x1 x2 0）範例 ：1. 設函數 f (x) ， x R， x 2，則 f 1(x) 。25答 : f 1(x) ， x 22. 設 f (x) x ， x 0，試求 f (x)之反函數 f 1(x)。答： f 1(x) (x )， x R242類題：. 下列各函數，何者沒有反函數？(A) f (x) | x |， 2 x 3 (B) f (x) x2 1
8、， x R， x 0 (C) f (x) ， x 13 1 (D) f (x) x3， x R (E) f (x) x， x R。1-3 函數19答： (A)範例：週期函數1. 設函數 f (x 5) f (x)對任何實數 x 都成立，且當 3 x 8 時 f (x) 2x 7，則下列敘述何者正確？(A) f (5) 17 (B) f ( 36) 15 (C) f (1003) 23 (D) f (3) 23 (E) f (0) 0。2. 設 x 是自然數且 f (x)表以 3 除 x 所得的餘數，則 f ( 25 )= 。答案：1類題 7：1. 設 f (n) 表“ 化成小數，小數點後第 n
9、 位數字 ” ，則 f ( 1999 ) = 。13答案：02. 設有一函數 f (x)，滿足 f (x) 3x 1，0 x 7； f (x 7) f (x)， x R，試求：(1) f (5) 。 (2) f (1999) 。答案：(1) 16 (2) 13範例 8：函數的相等1 設 f (x) ， g(x) = x + 2，若 f = g，則 x 的範圍為 。24答案：x 22. 設函數 f (x)滿足 f (x) f (y) f (x y) f (x y)， x， y R，且 f (1) 1，則(A) f (0) 2 (B) f (2) 1 (C) f (3) 2 (D) f (4) 3
10、 (E) f (5) 41. (A)(B)(C)1-3 函數20類題 8 : 設函數 f： A B，定義 f(x) = 2x + 7，已知 B = 13，7，15 ，且 中的每一個元素都被對應到時，則集合 A = 。答案： 10，0，4 範例 9： 下列的圖形中，何者不是 y f (x)之函數圖形？(A) (B) (C) (D)答：(A)類題 9：( ) 五個圖形中那些是 y 為 x 的函數圖形？ ()()AC D()()範例 10： 1. 設集合 A 1，2，3，4，若 f 與 g 均為由 A 到 A 的函數， f： ， g：3412，其中上排對應同一直行中下排的元素，將 f。 g 表成上下
11、排對應的型式為 4132。答: 13242. 下列兩個變量之間的對應，何者是函數關係？(A) x x 的平方根( x N ) (B) x x2 ( x R ) (C) x)1(3x1-3 函數21(D) (E) 答案： BCDE類題 10: 設 A 1，2，3， B a， b， a b，則由 A 映至 B 之函數有 種。答: 81-3 自我挑戰_1. 設函數 f (x)滿足 f (x) f (y) f (x y) f (x y)， x， y R，且 f (1) 1，則(A) f (0) 2 (B) f (2) 1 (C) f (3) 2 (D) f (4) 3 (E) f (5) 4_2. 設
12、函數 f (x 5) f (x)對任何實數 x 都成立，且當 3 x 8 時 f (x) 2x 7，則下列敘述何者正確？(A) f (5) 17 (B) f ( 36) 15 (C) f (1003) 23 (D) f (3) 23 (E) f (0) 0。_3. 設函數 f (x)之圖形如下圖，則下列敘述何者正確？(A) f (0) 0 (B) f ( 2) f ( 3) (C) f (2000) 0 (D) f (x)為 1 1 函數 (E) f (x)有最小值。_4. 設 R 為全部實數的集合，則下列何者為 R 映至 R 的遞增函數？（註：若 a， b R， a b 恆有 f (a) f
13、 (b)，稱 f (x)為遞增函數。 ）(A) f1(x) x 1 (B) f2(x) | x | (C) f3(x) x2 (D) f4(x) x3 (E) f5(x) 2000。_5. 設 R 為全部實數的集合，則下列何者為 R 映至 R 的一對一（嵌射）函數？(A) f1(x) x 1 (B) f2(x) | x | (C) f3(x) x2 (D) f4(x) x3 (E) f5(x) 2000。1-3 函數22_6. 設 R 表全部實數的集合且 f (x)為 R 映至 R 的函數，若 f (x) ，573 12x， ，則下列敘述何者正確？(A) f ( ) (B) f ( 4) f
14、(4) (C) f (6) f (a)， a 5 (D) f (x)為 1 1 函2145數 (E) f (x)為映成函數。_7. 設 f (x) ， g (x) ，則下列何者正確？021x， 1|2x，(A) g。 f (3) 1 (B) f。 g (3) (C) g。 g (0) 5 (D) f。 f (1) 1 (E) g。 f (1) 1。_8. 設一圓之半徑為 r，圓周長為 ，面積為 A，下列各敘述，何者為正確？(A) 是 r 之函數 (B) A 是 r 之函數 (C) r 是 之函數 (D) r 是 A 之函數 (E) A 是 之函數。 _9. 下列各函數，那些是奇函數？(A) f
15、 (x) x ， x 0 (B) f (x) x3 1 (C) f (x) 3x x3 (D) f (x) | x | 1(E) f (x) 5。_10. 設函數 f： R R，定義為 f (x) ，232x，關於下列各敘述，何者是正確的？(A) f 是絕對遞增函數 (B) f (2) 5 (C) f (3) 7 (D) x 3 時， f 是嵌射 (E) a 0時， f (2a 3) 6a 8。解答：1. (A)(B)(C)2. (A)(B)(C)(D)3. (A)(B)(C)(E)4. (A)(D)(E)1-3 函數235. (A)(D)6. (A)(C)7. (B)(C)(E)8. (A)(B)(C)(D)(E)9. (A)(C)10. (C)(D)(E)
