1、- 1 -平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线重点与难点：三角形、梯形中位线的综合运用一、知识点（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截取的线段也相等。推论 1：经过梯形一腰与底平行的直线，必平分另一腰。推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边。（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。（3）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。二、例题：例 1、下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心。（1）线段；（2）直线；（3）平行四边形；（4）圆解： （1）线段是中心对称图形
2、，对称中心是线段的中点；（2）直线是中心对称图形，对称中心是直线上的任意一点；（3）平行四边形（当然也就包括了矩形、菱形、正方形）是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；（4）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。例 2、判断下列说法是否正确：（1）矩形的对边关于对角线交点对称。 （ ）（2）圆上任意两点关于圆心对称。 （ ）（3）两个全等三角形必关于某一点中心对称。 （ ）（4）成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等。 （ ）解：（1） （4）正确 （2） （3）错误例 3、在下列图形中既是轴对称图菜，又是中心对称图形的是（ ）任意平行四边形；矩形；菱形；正方形；正三角形；等腰直角三角形
3、解：例 4、下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）平行四边形；一条线段；一个角；圆解：例 5、在ABC 中，A90，作既是轴对称又是中心对称的四边形 ADEF，使 D、E、F 分别在AB、BC、CA 上，这样的四边形可以作（ ）个DCF EBA- 2 -DCFBA3DCEBA 21DCFBA解：如图：因为四边形 ADEF 是中心对称图形，所以它一定是平行四边形；因为四边形 ADEF 是轴对称图形，所以它的对角线互相垂直。于是它是菱形。这样的菱形只能作一个。例 6、如图：在四边形 ABCD 中，有 AB=DC，B=C，ADBC。求证：四边形 ABCD 是等腰梯形。法一：延长 BA、CD
4、，它们交于点 E。B=CEB=EC（等角对等边）又AB=CDAE=DE1=2（等边对等角）1+2+E=180，B+C+E=1801=BADBC（同位角相等，两直线平行）又ADBC,AB=CD四边形 ABCD 是等腰梯形（等腰梯形定义）法二：作 AFCD 交 BC 于 F，则3=C（两直线平行，同位角相等）又B=CB=3AB=AF（等角对等边）AF=CD四边形 AFCD 是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）ADBC（平行四边形的对边互相平行 0又ADBC,AB=CD四边形 ABCD 是等腰梯形（等腰梯形定义）例 7：梯形 ABCD 中，ADBC，AD=3，AB=4，BC=5，
5、则腰 CD 的取值范围是_。要求一条线段的取值范围，通常应当把这条线段放到一个三角形中，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来求得取值范围。解 如图，作 DFAB 交 BC 于 F，则得到平行四边形 ABFD从而求得 DF=4，BF=3，CF=- 3 -DCFEBADCBAG在CDF 中，42CD4+2即：2CD6例 8：已知，梯形 ABCD 中，ADBC，AD=1cm，BC=5cm，B=60，C=30。求：（1）AB、CD 的长；（2）梯形 ABCD 的面积。解：（1）如图，作 AEBC 于 E，DFBC 于 F，则AEB=AEF=90，DFC=90AEDF（垂直于同一直线的两条
6、直线平行）又ADBC四边形 AEFD 是平行四边形（平行四边形的定义）四边形 AEFD 是矩形（有一个角是 90的平行四边形是矩形）AE=DF，EF=AD=1cm设 BE=x在 RtABE 中，B=60BAE=90B=30（直角三角形两锐角互余）AB=2BE=2x（直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）又AB 2=AE2+BE2（勾股定理）AE= 3xDF= x在 RtDFC 中，同理可得 CD=2 3x，CF=3xBE+EF+CF=x+1+3x=5x=1AB=2cm，CD=2 3，AE=（2）S ABCD= 2)(AEBCD=32)51(当然，这个题目也可这样作辅助线：如图，作 A
7、GCD 交 BC 于 G，从而得到一个平行四边形和一个直角三角形。三、训练题：1、下面图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）（A）平行四边形 （B）菱形 （C）等边三角形 （D）等腰梯形2、下列命题中的真命题是（ ）A、 等腰梯形底角相等； B、等腰梯形对角线互相垂直；C、平行四边形也是梯形； D、等腰梯形是轴对称图形。3、梯形的两底分别长 16cm 和 8cm，两底角分别为 60和 30，则较短的腰长为( )- 4 -（A）8cm （B）10cm （C）12cm （D）4cm4、梯形高为 12，两对角线长为 15 和 20，则梯形面积是( )（A）150 （B）42 （C）150
8、或 42 （D）无法确定5、梯形 ABCD 中，ABCD，AD=DC=BC，ACBC，则ACD=( )（A）45 （B）30 （C）60 （D）406、如图，O 为梯形 ABCD 的对角线的交点，图中面积相等的三角形共有( ).（A）一对 （B）两对 （C）三对 （D）四对7、直角梯形两腰的比为 2:1，则它的锐角是（ ）（A）45 （B）30 （C）60 （D）408、如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，C=90，若 AB=AD=a，A=60，求梯形的周长和面积。 D CBA9、已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，E 是下底 BC 的中点，且EAD=EDA，求证：梯形 ABCD 是等腰梯形。10、如图，梯形 ABCD 中，ABCD，AB=2BC，BD 平分ABC，且ABD=30。求证：四边形 ABCD 是等腰梯形。D CBAAB CDEDCBAO- 5 -答案：1、B 2、D 3、D 4、C 5、B 6、C 7、A8、连结 BD，a5， 89、提示：证明ABEDCE10、提示：作 DEBC 交 AB 于 E，证明 AD=DE=BC.
