1、1“化繁为简”系列文章之一：对称法在高考中的运用洛阳市第二中学 王春旺 邮编 471003 联系电话 0379-62880830由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中应用这种对称性不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题。应用对称性去求解某些具体的物理问题的思维方法在物理学中称为物理解题中的对称法。物理中对称现象比比皆是，对称表现为研究对象在结构上的对称性、作用的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等物理解题中的对称法，就是从对称
2、性的角度去分析物理过程，利用对称性解决物理问题的方法。在物理试题中迷人的对称现象也经常出现，有些题目初看起来难以下手，其实分析解决时，只要透过现象抓住本质，利用对称的特点采取一些变通，常常会使复杂的问题简单化。利用对称法解题的关键是敏锐地抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径，直接抓住问题的实质，就可出奇制胜，快速简便地求解问题 一对称法在静力学中的应用对称解读：在静力学中，若结构具有对称性，则受力就具有对称性，我们可以利用对称法进行思维，简化运算。例 1.如图 1 所示，有 n 个大小为 F 的共点力，沿着顶角为 120的圆锥体的母线方向。相邻两个力的夹角均相等。求这
3、n 个力的合力大小。解析：将每个力沿圆锥体的对称线方向和平行于底面的方向分解，得到 n 个沿着对称线方向的分力和 n 个平行于底面方向的分力。每个沿着对称线方向的分力大小都等于F/2，所以 n 个沿着对称线方向的分力的合力大小为 。另一方面，由于对称性，n 个平2行于底面方向的分力的合力为零。所以本题所求 n 个力的合力大小等于 。F2二对称法在抛体运动中的应用对称解读：物体做斜抛运动时，其向斜上运动阶段和向斜下运动阶段具有对称性。物体做平抛运动时，若碰撞到竖直的障碍物后反弹（没有机械能损失） ，则小球与竖直的障碍物碰撞前后的速度 关于墙壁对称，碰撞后的轨迹与无竖直的障碍物时小球做平抛运动的v
4、和轨迹关于竖直的障碍物对称。例 2.（08 江苏物理）抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。.现讨论乒乓球发球问题，设球台长 2L、网高 h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。.（设重力加速度为g）（1）若球在球台边缘 O 点正上方高度为 h1 处以速度 v1水平发出，落在球台的 P1 点（如图 2 中实线所示） ，求 P1 点距 O 点的距离 x1.（2）若球在 O 点正上方以速度 v2 水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的 P2 点（如图 2 中虚线所示） ，求 v2 的大小.（3）若球在 O 点正上方水平发出后，
5、球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘 P3处，求发球点距 O 点的高度 h。【解析】.(1)设发球时飞行时间为 t1，根据平抛运动规律图 2图 12h1=gt12/2，x 1=v1t1，联立解得 P1 点距 O 点的距离 x1=v1 gh2(2)设发球高度为 h2，飞行时间为 t2，同理根据平抛运动规律 h2=gt22/2， ，x 2=v2t2，且 h2=h， 2x2=L联立解得 gh(3)如图 2B 所示，发球高度为 h3,飞行时间为 t3，同理根据平抛运动规律得，h3=gt32/2， ，x 3=v3t3且 3x3=2L设球从恰好越过球网到最高点的时间为 t，水平距离为 s，有 h3h
6、=gt2/2， s=v3t， 由几何关系知，x 3+s=L联立上述 6 式解得 h3= 。4三对称法在简谐运动中的应用对称解读：物体做简谐运动时，其物体在平衡位置两侧的位移、加速度、回复力、动能、势能和速度的大小关于平衡位置具有对称性。例 3. 如图 3 所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块 B 相连，木块 A 放在木块 B 上，两木块质量均为 m , 在木块 A 上施有竖直向下的力 F，整个装置处于静止状态。（1）突然将力 F 撤去，若运动中 A、B 不分离，则 A、B 共同运动到最高点时，B对 A 的弹力有多大?(2)要使 A、B 不分离，力 F 应满足什么条件?【解析】 力 F
7、撤去后，系统做简谐运动，该运动具有对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，化繁为简、简洁明了。（1）最高点与最低点有相同大小的回复力（合外力） ，只是方向相反。在最低点，即原来平衡的系统在撤去力 F 的瞬间，受到的合外力等于 F，方向竖直向上；当到达最高点时，系统受到的合外力也等于 F，方向竖直向下，设在最高点 AB 的加速度为 a，由牛顿第二定律得F=2ma，物体 A，受到重力和 B 对 A 的弹力 FB，由牛顿第二定律得mg-FB=ma，联立解得： FB= mg-F/2。(2)力 F 越大越容易分离，讨论恰好不分离的临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性。在最高点时 A、B 间
8、恰好不分离时，虽接触但无弹力，A 只受重力，故此时 A 简谐运动的回复力向下，大小为 mg.。那么，在最低点时，即刚撤去力 F 时，A 受的回复力方向竖直向上，大小也应等于 mg，其加速度 a=g。对 AB 系统，设在最低点 AB 的加速度为 a，由牛顿第二定律得 F=2ma，联立解得 F=2mg。所以，要使 A、B 不分离，力 F 应满足什么条件时 F2mg。图 2A图 3图 2图 2B3四对称法在电场中的应用对称解读：带电薄板和点电荷的电场都具有对称性。等量异号（或同号电荷）的电场具有对称性。带电量相等的异号带电粒子在同一电场中运动轨迹具有对称性。例4.（05上海物理）如图4，带电量为+q
9、的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为，方向(静电力恒量为k)解析：均匀带电薄板在 ab 两对称点处产生的电场强度大小相等、方向相反，具有对称性。点电荷+q 在 a 点处产生的电场强度由点电荷电场强度公式可得 Eq=kq/d2，方向向左。题述带电薄板和点电荷+q 在 a 点处的合电场强度为零，因此带电薄板在 a 点处产生的电场强度为 E= Eq=kq/d2，方向垂直于薄板向右。根据对称性，带电薄板在 b 点处产生的电场强度为 Eb=kq/d2，方向垂直于薄板向左。五对称法在磁场中的
10、应用对称解读：当带电粒子以一定的角度进入边界为直线的匀强磁场中，其轨迹具有对称性。若粒子仍从该边界射出，则射出磁场时的速度方向与磁场边界的夹角和射入磁场时的速度方向与磁场边界的夹角相等。例 5 （09全国卷 1）如图 5，在 x 轴下方有匀强磁场，感应强度大小为 B，方向垂直于 xy 平面向外.P 是 y 轴上距原点为h 的一点，N 0 为 x 轴上距原点为 a 的一点.A 是一块平行于 x 轴的挡板，与 x 轴的距离为 h/2，A 的中点在 y 轴上，长度略小于 a/2.带电粒子与挡板碰撞前后， x 方向的分速度不变，y 方向的分速度反向、大小不变.质量为 m，电荷量为 q（q0）的粒子从
11、P 点瞄准 N0 点入射，最后又通过 P 点，不计重力.求粒子入射速度的所有可能值.解析：设粒子的入射速度为 v,第一次射出磁场的点为 N0,与板碰撞后再次进入磁场的位置为 N1.粒子在磁场中运动的轨道半径为 R,有 R=mv/ qB ,粒子速率不变,每次进入磁场与射出磁场位置间距离 x1 保持不变有 x1= N0 N0=2Rsin ,粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离 x2 始终不变,与 N0 N1 相等.由图 5A 可以看出x2= a 设粒子最终离开磁场时,与档板相碰 n 次(n=0、1、2、3).若粒子能回到 P 点,由对称性,出射点的 x 坐标应为-a,即 (n+1) x 1n
12、x2= 2a ,由两式得 12n若粒子与挡板发生碰撞,有 x1x2a/4 联立得 n3 联立得 nmqBvsi把 代入中得2sinhav0= ，n=0qB图 5A图 5图 44v1= ，n=1mhaqB432v2= ，n=22六对称法在光学中的应用对称解读：光的反射线与入射线关于法线对称，平面镜所成的像与物关于镜面对称，入射到玻璃球体的光线再从玻璃球体出射时出射角与入射角相等，出射光线与入射光线对称。例 6.（08四川理综）如图 6，一束单色光射入一玻璃球体，入射角为 60。己知光线在玻璃球内经一次反射后，再次折射回到空气中时与入射光线平行。此玻璃的折射率为A B1.5 C D223解析：根据
13、题述和对称性画出光路图如图 6A 所示。由图 9 可知，光在玻璃球中折射角为 r=30，由折射定律可得玻璃折射率n=sini/sinr= ，所以选项 C 正确。3跟踪练习：1. 如图 T1 所示，A、B 为竖直墙面上等高的两点，AO、BO 为长度相等的两根轻绳，CO 为一根轻杆，转轴 C 在 AB 中点 D 的正下方，AOB 在同一水平面内，AOB=120，COD=60在 O 点处悬挂一个质量为 m 的物体，系统处于平衡状态，则：A绳 AO 所受的拉力 F1 为 B绳 BO 所受的拉力 F2 为 23mg3gC杆 OC 所受的压力 F3 为 D杆 OC 对 O 点的支持力 F4 为3mg2.如
14、图 T2 所示，设有两面均垂直于地面的竖直光滑墙壁 、 ，两AB墙的水平距离 d=1.0m，从距地面高 h=19.6m 处的一点 以 v0=5.0m/s 的C初速度沿水平方向投出一小球。设球与墙的碰撞为弹性碰撞。求小球落地点距墙壁 的水平距离和球落地前与墙壁碰撞的次数。 （忽略空气阻力，A取 g=9.8m/s2）3.一轻弹簧直立地面上，其劲度系数为 k=400N/m，在弹簧的上端与盒子 A 连接一起，盒子内装有物体 B，B 的上下表面恰好与盒子接触，如图 T3 所示。A 和 B 的质量mA=mB=1kg， g=10m/s2，不计阻力，先将 A 向上抬高使弹簧伸长L=5cm后由静止释放，A 和
15、B 一起做上下方向的简谐运动。已知弹簧的弹性势能取v0CBA图 T260图 6图 6A图 T1图 T3图 T45决于弹簧的形变大小。求：（1）盒子 A 的振幅；（2）物体 B 的最大速度；（3）在最高点和最低点盒子 A 对物体 B 的作用力的大小。4.如图 T4 所示，一块长金属板 MN 接地，一带电量为+Q 的点电荷 A 与金属板之间的垂直距离为 d，求 A 与板 MN 连线中点 C 处的电场强度。0kQ/9d2，方向向左。5.如图 T5 所示，正方形匀强磁场磁区边界长为 a，由光滑绝缘壁围成质量为 m、电量为 q 的带正电的粒子垂直于磁场方向和边界，从下边界的正中央的 A 孔射人磁区中，粒
16、子和壁碰撞时无能量和电量损失，不计重力和碰壁时间，设磁感应强度的大小为 B，粒子在磁场中运动半径小于 a，欲使粒子仍能从 A 孔射出，粒子的入射速度应多大?在磁场中的运动时间是多少?并在画出粒子的轨迹图6.如图 T6 所示，圆为玻璃圆柱体的横截面，它的折射率为 。由3细光束垂直圆柱体的轴线以 60的入射角射入圆柱体。（1）作出光线穿过圆柱体并射出的光路图；（2）求该光线从圆柱体射出时，出射光线偏离入射圆柱体光线方向多大的角度？跟踪练习参考答案：1B 解析：把轻绳 AO、 BO 对 O 点的拉力等效为一个沿 OD 方向的拉力设为 F，O 点受到沿 CO 方向向上的支持力 F4，竖直向下的重力 m
17、g，画出 O 点受力图，由力矢量图可得F4sin60=mg F=mg/tan60解得：F 4= ，F = 23mg由对称性可知 AO、BO 对 O 点的拉力相等，且二力的合力等于 F。由 F=2 F1cos60解得 F1= F2= ，所以选项 B 正确。32.解析：如图所示，设小球与墙壁碰撞前的速度为 v。因为是弹性碰撞，所以在水平方向上以原速率弹回，即 v = v ；又因为墙壁光滑，所以在碰撞前后竖直方向上速率不变，即 v/= v/。从而小球与墙壁碰撞前后的速度关于墙壁对称，碰撞后的轨迹与无墙壁时小球做平和抛运动的轨迹关于墙壁对称，以后的碰撞亦然。因此，可将墙壁比做平面镜，把小球的运动转换为
18、连贯的平抛运动处理，由 h=gt2/2 和 nd= v0t 可得，碰撞次数。18.96150ghdvn由于 刚好为偶数，故小球最后落在墙壁 墙脚处，即落地点距墙壁 的水平距离为AA图 T6图 T560。3.解析：(1)振子在平衡位置时所受合力为零，设此时弹簧压缩x，由平衡条件得(mA+mB)g=kx解得：x= 5cm。开始释放时，振子盒子 A 处于最大位移处，故盒子 A 的振幅为 A=5cm+5cm=10cm。（2）由于开始时弹簧的伸长恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等。设振子的最大速度为 v，从开始到平衡位置，由机械能守恒定律，mgA=mv 2/2，解得 v= = m/s，g
19、2所以物体 B 的最大速度为 v= m/s。（3）由简谐运动的对称性可知，在最高点和最低点振子的加速度大小相等。在最高点，振子受到竖直向下的重力和弹力作用，根据牛顿第二定律，kL+( mA+mB)g=(mA+mB)a解得 a=20m/s2。设盒子 A 对物体 B 的作用力的大小为 F1，加速度方向向下，对物体 B，由牛顿第二定律，F1+mBg=mBa，解得，F 1 =10N；在最低点，设盒子 A 对物体 B 的作用力的大小为 F2，加速度方向向上，对物体 B，由牛顿第二定律，F 1mBg=mBa，解得，F 2 =30N。4.解析：因金属板 MN 接地，其电势为零，连线中点 C 处的电场与两个相
20、距 2d 的等量异种点电荷电场中距+Q 为 d/2 处的电场强度相同，不妨用一个处在+Q 左侧距离为 2d 的点电荷-Q 代替大金属板，根据点电荷电场强度公式，点电荷+Q 在 C 处产生的电场强度为 E1=4kQ/d2，方向向左；2/kQd点电荷-Q 在 C 处产生的电场强度为 E2= =4kQ/9d2，方向向左；23/kQdA 与板 MN 连线中点 C 处的电场强度 E= E1+ E2=4kQ/d2+4kQ/9d2=4.5.解析：本题的关键在于头脑中要建立粒子运动的对称图景其运动图景(最基本) 可分为两类，第一类由图 1 所示由图中的几何关系得 a=(4n+2)R， （n=0、1、2、3）
21、，解得 R= a/(4n+2)， （n=0、1、2、3） 。带电粒子在匀强磁场中运动洛仑兹力提供向心力，qvB=mv 2/R，R=mv/qB，联立解得粒子的入射速度应为 v= ，21qBamn又 T=2R/v=2m/qB在磁场中的运动时间是 t=(4n+1)T=2(4n+1)m/qB， （n=0、1、2、3） 。第二类如图 2 所示，带电粒子的轨道半径 R=a/4k， （k=1、2、3） ）图 1图 27带电粒子在匀强磁场中运动洛仑兹力提供向心力，qvB=mv 2/R，R=mv/qB，联立解得粒子的入射速度应为 v= qBa/4km，又 T=2R/v=2m/qB在磁场中的运动时间是 t=2kT+2a/v)= ， （k=1、2、3） 。4kmqB6.解析：（1）根据入射到玻璃球体的光线再从玻璃球体出射时出射角与入射角相等，出射光线与入射光线对称穿过圆柱体并射出的光路图如图所示。（2）由折射定律 n=sin/sinr1解出 sinr1=1/2， r1=30在出射处，由几何关系 r2= r1=30，由折射定律 n=sin2/sinr2解出 2=60所以出射光线偏离入射圆柱体光线方向= 2=60
