1、向量与解析几何的结合点-谈平面向量在解析几何命题解题中的应用电子邮箱周友良 ,手机号码 13037341167；湖南祁东育贤中学 周友良 421600向量作为数学的一种工具，在中学数学中的作用，越来越被人们所重视。不仅在解题中，向量法有着独特的魅力，而且在命题中，向量可以与函数、解析几何、立体几何、复数等知识结合来命题，能够更全面地考查学生的能力。特别是向量与解析几何，两者都是代数形式和几何形式的统一体，有着异曲同工之妙，向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已
2、逐渐成为高考命题的一个新的亮点。本文试从两者的结合点着手浅谈如何命题解题。结合点 1：向量的和差运算与线段中点、平行四边形的关系。例 1O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足， 则 P)(ACBP,0点的轨迹一定通过 的（ ）（A）外心（B）内心（C）重心（ D）垂心简析与略解：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生” ，首先 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 ，21e和又 ，则原式可化为 ，那么在 中，很容易知道APO)(21eAPABCAP 平分 ，则知选 B.BC此题所用的都是简单的基本
3、知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。温馨提醒:做题时别忘了初中知识三角形四心的定义 .相关链接:1.P 是ABC 所在平面上一点，若 ，则 P 是ABC 的（D ACPBA）A外心 B内心 C重心 D垂心ACB1eC 2eCP解析:由 .0 PCBAPCBA得即 ,0)(即则 A,同 理所以 P 为 的垂心. 故选 D.AB点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”
4、等相关知识巧妙结合。2.若 为 内一点， ，则 是 的（ ）OABC0OBCOABCA内心 B外心 C垂心 D重心AB CEDO解析：由 得 ，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四0OOA边形，则 ，由平行四边形性质知 ， ，同理可证D12EO2AE其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为 。本题在解题的过程中将平面向量的有关1运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。结合点 2：向量的数乘运算与定比分点、平行共线的关系。运用向量共线的充要条件来处理
5、解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。例 2.已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交x椭圆于 A、B 两点， 与 共线。B(3,1)a（）求椭圆的离心率；（）设 M 为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值。 (,)MABR2解：设椭圆方程为 )0,(12cFbayx则直线 AB 的方程为 ，代入 ，化简得c12yx.)( 2222xba令 A（ ） ，B ） ，则1,yx2,(2211,.acabxxb由 与 共线，得1),(3,)OyOAB又 ，0()(32121 y21.3,cxxcx即 ，所
6、以 ，2ba 6.322 abcba故离心率 .6ce（II）证明：（1）知 ，所以椭圆 可化为23ba12byax.322byx设 ，由已知得(,)OMxy ),(),(),(1yx在椭圆上，.21.)(2212x即 .3)(2)3()3( 21212 by由（1）知 .,221 cbacx.0329)(43822112121ccxxyxba又 ，代入得221,3byxbyx .12故 为定值，定值为 1.2温馨提醒:运用向量 与 共线的充要条件转化成坐标形式再与解析OAB(3,1)a几何题的的常规思路（直线与圆锥曲线方程联立消元得一元二次方程，运用韦达定理根与系数的关系得基本量方程）接轨；
7、把向量条件的几何形式转化成坐标形式再与解析几何题的的常规思路接轨是解决本题的关键。相关链接:变式 1 ）已知椭圆方程 ，过 B（1，0）的直线 l 交随圆于 C、D 两42yx点，交直线 x4 于 E 点，B 、E 分 的比分 1、 2求证： 1 20CD证明 设 l 的方程为 yk(x 1)，代入椭圆方程整理得（4k 21）x 28k 2x4(k 21)0.设 C（x 1,y2）,D(x 2,y2)则x1x 2 .14,14822kxk由 得 BDC),(),(2yxy所以 .1,1122x同理，记 E Ey),4(得 4,2121 xx21211)4(85211x其中 ,048)(5222
8、121 kkxx.021变式 2椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 ，相应于焦点 F（c, 0）(c0) 的准线 l 与 x 轴相交于点 A, 过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点。.F()求椭圆的方程及离心率；()若 ，求直线 PQ 的方程；,0QOP()设 ，过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M，)1(A证明： .FM简解 () 椭圆方程为 ,离心率 ()略.26yx36e() 证明 设 P（x 1,y1）,Q (x2,y2),又 A（3，0） ，由已知得方程组：),3(),321yxAQyxAP； 2121,(.26;21y注意 1，消去 x1、y 1 和 y2
9、 得因 F（2 , 0）, M（x 1,y 1） ，.52x故 ).,21(),2()3()( 1211 yyM而 ).,2yyxQ所以 .FQM结合点 3：向量的数量积与垂直的关系。例 3 （2004 年高考重庆卷）设 p0 是一常数，过点 Q(2p,0)的直线与抛物线 y22px交于相异两点 A、B，以线段 AB 为直径作圆 H（H 为圆心） ，试证明抛物线顶点在圆 H 的圆周上；并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程。解：由题意，直线 AB 不能是水平线，故可设直线方程为：kyx2p又设 A（x A,yA）,B(x B,yB), 则其坐标满足kyx2py22px由此得xAx B4pk
10、 (yAy B) (42k 2)p ， xAxB 4P 2)(py因此 x AxBy AyB0，即 OAOBO故 O 必在圆 H 的圆周上。又由题意圆心 H（x H , yH）是 AB 的中点，故由前已证，OH 应是圆 H 的半径，且 O2Hyx4524kp从而当 k0 时，圆 H 的半径最小，亦使圆 H 的面积最小。此时，直线 AB 的方程为：x2p.温馨提醒:要证点 O 在圆 H 上，只要证 OAOB，可转化为向量运算 0，用OAB向量运算的方法证明相关链接:用向量垂直的充要条件可以处理解析几何中的垂直问题。1. 设直线 和 的方程分别是L12AxByC1220:，那么 和 分别是直线 和
11、 的法向量，如果 ，n11()， nAB22()， L12L12pk42AB(k)p2yH消去 x，得 y22pky4p 20则 ；反过来也对。而 的充要条件是 ，即n12n12n120，AB120所以直线 的充要条件是 。LAB122. 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 M（ ）的切线方程。xyr2 xy0，分析：设 P（x，y）是切线上任意一点，圆心为 O（0，0） ，则，OM， 0即有（ ） ，0， ()y，xy0()亦即 x02因为点（ ）在 上，所以y0， yr2xyr02即过圆 上一点 M（ ）的切线方程为 。xr220， xyr023. 已知一个圆的直径的端点是 ， ，求证：圆的
12、方程是Axy()1， Bxy()2，。()()xy1220分析：设 P（x，y）是圆上除 A、B 以外的任意一点，则由 有PAB()()y1122， ，即 ，(xx10又 A、B 也满足上式，所以以 AB 为直径的圆为()()y1212从以上几例看出，用向量垂直的充要条件处理解析几何中的垂直问题，可以化繁为简，使知识前后联系，融汇贯通，提高解题质量。结合点 4：向量的数量积与夹角的关系。例 4 （2005 年高考江西卷）如图，设抛物线 的焦2:xyC点为 F，动点 P 在直线 上运动，过 P 作抛物02:yxl线 C 的两条切线 PA、PB ，且与抛物线 C 分别相切于 A、B两点.（1）求A
13、PB 的重心 G 的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点 A、B 坐标分别为xyOABPF l，220110(,),)()xx和切线 AP 的方程为： ;02xy切线 BP 的方程为： 11解得 P 点的坐标为： 100,xPP所以APB 的重心 G 的坐标为 ，PGxx32220101001014(),333pPG yyx 所以 ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：4Gp).24(,2)( xyxyx即（2）方法 1：因为 2 2010 011(),),(,).44FAxFxFBx由于 P 点在抛物线外，则 .|P201010012()(cos ,
14、| | 4PFx 同理有20101012()(4cs ,| | xxPBF FP AFP=PFB.温馨提醒:运用向量的数量积公式将这两个角看成是对应的两向量的张角，运用向量的数量积公式将两向量的张角余弦值分别求出来再作结论。运用向量的数量积，可以把有关的角度几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。相关链接:变式 1（2004 全国卷）给定抛物线 C:y24x，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与C 相交于 A、B 两点。（）设 l 的斜率为 1，求 与 夹角的大小；OAB（）设 ，若 4 , 9，求 l 在 y 轴上截距的变化范围。F解答 （）C 的焦点为 F（1，0）
15、,直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为yx1,将 yx1 代入方程 y2=4x，并整理得 x26x10设 A（x 1,y1）,B(x 2,y2),则有 x1x 26, x 1x21，从而 x 1x2y 1y22x 1x2(x 1+x2)+13OB ,y4cos OBA,413所以 与 夹角的大小为 arcos .()略.变式 2如图，点 F（a,0） （a0） ，点 P 在 y 轴上运动，点 M在 x 轴上运动，点 N 为动点，且 0， 0。MFN（1）求点 N 的轨迹 C 的方程；（2）过点 F(a , 0)的直线 l（不与 x 轴垂直）与曲线 C 交于A、B 两点，设点 K（a,0）
16、 ， 与 的夹角为 ,求证：AKB0 .分析 (1)分别设出 P、M 与 N 点的坐标，将已知向量坐标化，然后利用向量数量积及向量相等知识找到等量关系。(2)利用向量的夹角公式可知,要证 0 ,只要证 。20KBA解析 (1)y24ax(2) 证明：设 AB 的方程为 yk（xa） ，代入 y24ax 得k2x22a（k 22）xk 2a20设 A（x 1 , y1） 、B（x 2 , y2） ，则x1x 2 (k）x1 x2a 2 （x 1a , y 1）, （x 2a , y 2）KAKB （x 1a） （x 2a）y 1 y2x 1x2a ( x 1x 2)a 2( ) ( )4xa 2
17、a a 24a 2 0，2kk 与 的夹角为 ， 与 不共线，KABKAB0，cos 0 , 即 0 . 2结合点 5：用含向量的式子给出动点满足的关系式。运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。例 5 （2002 年全国新课程卷）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3, 1)，B(1, 3)， 若点 C 满足 ，其中 ， R 且 + =1，则点 C 的轨迹AOB方程为（ ）.A3x2y11=0 B (x 1) 2(y2) 2=5C2xy=0 Dx2y5=0解法 1 设 C(x, y)，则 (x, y)=(3 , )( , 3 )=(3 , 3 )， x
18、=3 ，y= 3 x=4 1，y=2 3消去参数 ，得点 C 的轨迹方程为 x2y5=0解法 2 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B ， C 三点共线，故点 C 的轨迹方程即为直线 AB 的方程 x2y5=0，故本题应选D评析： 本题主要考查向量的运算（几何形式或坐标形式）及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富。例 6设点 A 和 B 为抛物线 y2=4x 上原点以外的两个动点，已知OAOB ，OMAB ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。分析 本题解法很多，而构造向量解之，思路清晰，运算简捷，提高了解题速度，拓展了学生的思
19、维空间，为学生今后解决解析几何问题又提供一种新思路。解析 设 M(x, y)，A(4 , 4t1)，B(4 , 4t2)，2tt其中 x0，t 1t20 且 t1t 2 =(4 , 4t1)， =(4 , 4t2)，OAB=(x, y)， =(4( ), 4(t2t 1)Mt1 ，4 4 4t 14t2=0，由 t1t20，可知21tt1t2=1 ，OABx4( )y4(t 2t 1)=0，由 t1t 2，可知2t1t1t 2= 又A、B、M 三点共线， / ，MB而 = =(x4 , y4t 1)， = =( x4 , y4t 2)，2tOBt又 +=1由向量共线的充要条件，可知(x4 )(
20、 y 4t2)=( y4t 1)( y4t )，21t 2化简，得 x(t 1t 2)y4t 1t2=0 将、代入式，可得点 M 的轨迹方程为(x2) 2y 2=4 (x0) ，它表示与 y 轴切于原点的一个圆（不包括原点） 。相关链接:1.已知点 P(-3，0)，点 R 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 RQ 上，且=0， ，RMP23(1)当 R 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C；(2)若曲线 C 的准线交 x 轴于点 N，过 N 的直线交曲线 C 于 A、B 两点，又 AB 的中垂线交x 轴于点 E，求点 E 的横坐标 x0的取值范围；(3)试问(2)中
21、所给的ABE 能否为正三角形？若能，求出的 x0值；若不能，说明理由.解：(1)设点 M 的坐标为(x，y)，则由 得，R(0， ).Q23R2y又由 ，得(3， )(x， )=0，0P3即 y2=4x. (2)由(1)知点 N(-1，0)，设 AB：y=k(x+1).由 得 k2x2+2(k2-2)x+k2=0.14由 0 得 0k 21. 又 AB 的中点( ， )，2k-AB 的中垂线方程为 ， )k2x(1y令 y=0 得 ，所以 x03. 3k2x(3)若ABE 为正三角形，则 E 到 AB 的距离等于 ，|AB2. 23=k-14k+3=|k122此时 . x0这类命题的关键是把解析几何题目中的条件向量化，这无形中加大了题目的难度，提高了对学生综合能力的要求。学生在解答这类题目的关键是把向量化的条件所表达的几何意义，或者直接运用向量的坐标运算解题。
