1、第 1 页 共 9 页高三第 2章 极限 提高卷及答案说明:本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共 100 分，考试时间 90 分钟.第 卷 (选择题共 40分 )一、选择题( 本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)1.下列无穷数列中,极限不存在的数列是( )A.1， ， ， ， ，2148n12)(B.3，3 ，3，3 ，C.3， ， ， ， ，57D.1，0，-1 ，0 ， ,2sin2.若 an=3 且 bn=-1,那么 (an+bn)2 等于( )limllimA.4 B.-4 C.16 D.-163.若 在 x=2 处连续
2、,则实数 a、b 的值是( )2,)(2axfA.-1,2 B.0,2 C.0,-2 D.0,04.等差数列a n、b n的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若 则 的值等于( ),132nbalimA.1 B. C. D.36 945.若 则常数 k 的值为( ),412limxkxA.2 B. C.-2 D.-2 216. 的值为( )13li21xA.3 B.-3 C.-2 D.不存在7.函数 f(x)= 的不连续点是( )462A.x=2 B.x=-2第 2 页 共 9 页C.x=2 和 x=-2 D.x=48 等于( )132(10741limnnA. B. C. D.139.已知
3、一个数列的通项公式为 f(n),nN*,若 7f(n)=f(n-1)(n2)且 f(1)=3,则 f(1)+f(2)+f(n)nlim等于( )A. B. C.-7 D.-27732710. (2x+1)n=0 成立的实数 x 的范围是( )nlimA.x=- B.- x0121C.-1x0 D.-1x0第 卷 (非选择题共 60分 )二、填空题( 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在横线上)11. .nlim)123122n12. .1lix54213.一个热气球在第一分钟时间里上升了 25 米高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%
4、,这个热气球最多能上升 米.14. .nlim11)2(3n三、解答题( 本大题共 5 小题，共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分 8 分) 讨论函数 在 x=2 处的左极限、右极限以及在 x=2 处的2,)(,xf极限。第 3 页 共 9 页16.(本小题满分 8 分) 已知数列 an中,a n= Sn 为其前 n 项的和,求 的值.,)12(nSlim17.(本小题满分8 分)如图,已知 RtABC 中,B=90,tanC =0.5,AB=1,在 ABC 内有 一系列正方形,求所有这些正方形面积之和.18.(本小题满分 10 分) 已知等差数列 an的前
5、三项为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,Sk=2 550.(1)求 a 及 k 的值;(2)求 的值.nlim)11(2nSS19.(本小题满分 10 分) 已知 求 m、n 的值.,2lim2xx详细答案1、分析 本题考查常见数列的极限.解 (-1)n+1 =0, 3=3,lim21nli= ( )=2,nnli第 4 页 共 9 页A、B 、C 存在极限 .而 D 是一摆动数列,不存在极限.答案 D2、分析 本题考查数列极限的运算法则,即如果两个数列都有极限,那么它们的和、差、积、商的极限分别等于它们极限的和、差、积、商.解 (an+bn)2= (an2+2anbn+bn2)limli
6、= an2+2 an bn+ bn2lim=32+23(-1)+(-1)2=4.答案 A3、分析 本题考查函数的左、右极限与函数极限的关系、函数连续的概念及它们之间的关系.解 f(x)在 x=2 处连续 .4)2(lim)(li2fxfx f(x)= (x2+a)=4+a=4,a=0.2limlif(x)= (x+b)=2+b=4,b=2.答案 B4、分析 本题考查当 n时数列的极限.解题的关键是把结论中通项的比值用条件中前 n 项和的比值表示出来,即把 转化成关于 n 的多项式.nba解法一 设 Sn=kn2n,Tn=kn(3n+1)(k 为非零常数).由 an=Sn-Sn-1(n2),得
7、an=2kn2-2k(n-1)2=4kn-2k,bn=kn(3n+1)-k(n-1)3(n-1)+1=6kn-2k. nlim264li .3264limn解法二 =nba21212nnba,2)1(121nnTS又 ,3bSn第 5 页 共 9 页 .2641)2(312nTSban .64limlinn答案 C5、解析 原式= ,212likxkx k= .,412答案 B6、分析 本题考查函数在 xx 0 处的极限值.如果把 x=x0 代入函数解析式,解析式有意义,那么 f(x0)的值就是函数的极限值.解 .3213lim21 x答案 B7、分析 本题考查函数的连续性.一般地,函数 f(
8、x)在点 x=x0 处连续必须满足下面三个条件：(1)函数 f(x)在点 x=x0 处有定义；(2) 存在；lim0(3) ,即函数 f(x)在点 x0 处的极限值等于这一点的函数值 .)(00ffx解 因函数在 x=2 时无定义,所以不连续点是 x=2.答案 C8、分析 由于“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加,因此,对于本题应先求和化为有限项的算式,再运用极限的运算法则求极限.解 ),132(1)3(2nn)(0741.13)( 1321n n第 6 页 共 9 页原式= .31limn答案 B9、分析 本题考查当 n时数列的极限.关键是先求出数列的通项公式 f(n),然后求其前
9、n 项和,把待求极限式化成有限项形式,即化成关于 n 的多项式,再求极限.解 f(1)=30, .71)(nf数列为首项为 3,公比为 的等比数列.f(n)=3( )n-1.71由公比不为 1 的等比数列的前 n 项和公式,得Sn= .)7(27)(3n .27)1(2lim)()(1lim nnnff答案 A10、分析本题考查数列的一个重要极限,即 limnan=0 时,有|a|1.解 要使 (2x+1)n=0,只需|2x+1|1,即-12x+11.解得 -1x0.nli答案 C11、分析： 当 n 无限增大时, 的分子中含无限多1)2(3123122 nnn项,而“和的极限等于极限的和”只
10、能用于有限多项相加.因此应先将分子化为只含有限多项的算式,然后再运用极限的运算法则求极限.解 原式= nlim.1lim1)2(32 n答案 112、分析 本题考查当 xx 0 时函数的极限.若把 x=1 代入分子、分母中 ,分式变成“ ”型,不能直接0求极限,因此可把分子、分母分别进行因式分解,约去分子、分母中的“零因式”, 然后再代入求极限.解 1limx54221lix)(21limx.21635答案 第 7 页 共 9 页13、解析 由题意,该热气球在第一分钟,第二分钟,上升的高度组成首项为 25,公比为 的等比数54列,它上升的最大高度 S= Sn=limli ).(1254)(25
11、米n答案 12514、分析 本题考查 qn=0,|q|1 的应用.因为当 n时,构成该式的四项均没有极限,故应将分子、li分母同时除以底数最大、次数较高的项 3n,以期转化成每一项都有极限的形式,再运用极限的运算法则求解.解 .310)32(1lim)2(3li11 nnn答案 15、分析 本题考查函数在某一点处的极限,左、右极限的定义及其相互关系. .)(lim)(li)(lim000 axfxfaxfx 对于常见函数,可先画出它的图像,观察函数值的变化趋势,利用极限的定义确定各种极限.解 当 x2 -时,函数无限接近于 0,即 3 分.0)(li2f当 x2 +时,函数无限接近于 2,即
12、.)(lim2f综上,可知 , 6 分lixfx)(li2f函数 f(x)在 x=2 处极限不存在. 8 分项的规律,即消去了哪些项,保留了哪些项.16、分析 由于 中是无穷项和的极限,必须先求得和的化简式 ,转化为有限项的极限问题.nSlim而 是一类裂项后有明显相消项的数列,所以采用了裂项法.但相消时应注)12(an意消去第 8 页 共 9 页解 分 分6.12)1(2 )1253 )12(53(1)(11,22( )(1)(22 nnnnSnnann 8 分.limliSnn17、分析 本题考查等比数列前 n 项和的极限.解 设正方形 BD1C1B1、D 1D2C2B2、的边长分别为 a
13、1,a2,.AB=1,tanC=0.5,BC=2.由相似三角形的知识可得 ,11aa1= .同理,可得 a2= a1,an= an-1.3232an是以 为首项,以 为公比的等比数列. 3 分设S n是第 n 个正方形的面积,则 Sn 是以 为首项, 为公比的等比数列. 4 分94 (S1+S2+Sn)=nlimli ,54)(1lim51)(94nn即所有这些正方形面积之和为 . 8 分18、解 (1)a+3a=24,a=2.数列a n是首项为 2,公差为 2 的等差数列. 2 分2k+ 2=2550,k=50,)1(即 a、k 的值分别为 2、50. 5 分(2)Sn=2n+ 2=n2+n
14、,)( 分7.1)(112 n .13221 nnSSn第 9 页 共 9 页 .1)(lim)11(lim2 nSSnn 分1019、分析 本题考查当 xx 0 时,函数的极限.关键是通过极限的运算构造方程组,求 m、n.由 可知 x2+mx+2 含有 x+2 这一因式 ,x=-2 为方程 x2+mx+2=0 的根.xx2li2m=3,代入进而可求得 n.也可由 得,2li2xx.2)(lili22 xmxx解出 m,再求 n.解法一 ,2li2nxxx=-2 为方程 x2+mx+2=0 的根.m=3. 4 分又 ,1)(li23li2xxxn=-1. 9 分m=3,n=-1. 10 分,02li)2(li )2(li2nxmxxxx解 法 二 (-2)2+(-2)m+2=0,m=3.同上可得 n=-1.
