1、 快乐学习，尽在苏州中学网校1与二次根式有关的最值如何求施时刚本文以近几年的竞赛题为例，介绍与二次根式有关的最值问题的常用解法，供读者参考。1.借用取值范围求最值例 1.代数式 的最小值为（）xx12A.0 B. C.1 D.不存在的分析：由二次根式有意义的取值范围知，被开方数必须非负所以 xx0120， ，解得 2而被开方数越小，算术平方根的值就越小所以当 时x取得最小值，其值为1221故选 B2.因式分解与枚举法结合求最值例 2.设 x、y 都是正整数，且使 ，则 y 的最大值是_。x160分析：因为 x、y 是正整数，又 x 在被开方数中，不易直接讨论，我们先用换元法把它有理化处理，再
2、相机处理之。令 ab160，a，b 为正整数则 xx221，160即 ba23因式分解得： ()ba23而 奇偶性相同，右边是偶数、所以 同为偶数ba、且 快乐学习，尽在苏州中学网校2ba23233； ； ；解得 a59132； ； ；所以 y0846， ，故 max13.借用基本不等式求最值例 3.若 ，则 的最大值是_xy20123xy分析：本题是条件最值问题，变量 x、y 需满足一定的条件。先采取变量换元。令 （ ）1322ab， a0，则 xy，两式相加得 422因为 y20所以 ab1（*）()24由基本不等式知 142ab且 时 ab 积达到最大ab此时 1322xy即 y2又
3、0解得 且216x24故 达到最大值为3y724.倒数法求最值例 4.若 ，求 的最大值是_。x011244xx分析：易知原式取最大值须满足 快乐学习，尽在苏州中学网校3此时 x112441312222xxx()()由此可知，当 （即 ）时，上式的最小值为 。032故原式的最大值为 325.应用绝对值性质求最值例 5.实数 a、b 满足 ，则 的最大aab2 21361032|ab2值为_。分析：首先根据数的开方的基本公式：把原条件等式等价转化为：2|ab163210由绝对值的性质|()|a65(bb3232所以 |110此等号成立的条件为： 632ab，所以当 时， 达到最大值，其值为 45。， ab26.数形结合求最值例 6.函数 的最小值为_fxx()()2214分析：首先易知要使 f(x)取得最小值，显然 x 应大于零。如图，作线段 AB4， ，ACB，且 ，BD 2，对于 AB 上的任一点 O，令DBACAx则 OxD2214， () 快乐学习，尽在苏州中学网校4那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 最小。CD设点 C 关于 AB 的对称点为 E则 DE 与 AB 的交点即为点 O此时， OCDE作 EF/AB 与 DB 的延长线交于 F在 中，易知 ，DF3RtFAB4所以 DE5因此，函数 的最小值为 5。fxx()()221
