前面介绍的力法和位移法.doc

1、第 8 章 渐 近 法8.1 概 述前面介绍的力法和位移法，是分析超静定结构的两种基本方法，它们都必须求解多元联立方程组。当基本未知量较多时，其计算工作将是十分繁重的。因此，从 20 世纪 30 年代起人们就开始寻找新的计算方法，力图避免组成和解算联立方程，陆续出现了各种渐近法，例如力矩分配法、无剪力分配法、迭代法。这些方法都是以位移法为基础发展起来的渐近法，它们最大的优点是不必求解联立方程组，而且还可以直接求得杆端弯矩，运算式可以按照一定的步骤重复进行，因而比较容易掌握，适合手算。虽然，随着计算机的普及，这类手算的方法会有所减少，但是在许多场合下，仍为一种简便易行的方法。通过该种方法的学习可

2、以加深了对结构受力的理解，对实际工程亦有一定指导意义。本章只介绍力矩分配法和无剪力分配法。在力矩分配法中，有关计算的假定、杆端弯矩正负号的规定，以及选取基本结构，使之还原为原结构的基本思路都与位移法相同。8.2 力矩分配法的基本原理力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移刚架的计算。该法的理论基础是位移法，其分析当中引入了劲度系数和传递系数的概念，并且力矩分配法求解的基本原理可由位移法导入。8.2.1 劲度系数和传递系数的概念1. 劲度系数当杆件 AB(图 8.1)的 A 端转动单位角时，A 端( 又称近端)的杆端弯矩 称为该杆端ABM的劲度系数，用 表示。它表示该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为

3、转动刚度，其值BS与杆件的线刚度 i= 和杆件另一端 (又称远端)的支座情况有关。EIl2. 传递系数当 A 转动时，B 端也产生一定的弯矩，好比是近端的弯矩按一定的比例传到了远端一样，所以将 B 端弯矩与 A 端弯矩之比称为由 A 端向 B 端的传递系数，用 表示，即ABC= 或 = 。近端固定，远端各种支座情况等截面直杆的劲度系数和传递ABCMBC系数见表 8.1。值得注意的是，当 B 端为自由或为一根轴向支座链杆时，显然 A 端转动时杆件将毫无抵抗转动的能力，故其劲度系数为零。结构力学188图 8.1表 8.1 各种等截面直杆的劲度系数和传递系数远端支承情况 劲度系数 ABS传递系数 A

4、BC固 定 4i 0.5铰 支 3i 0滑 动 i -1自由或轴向支座链杆 08.2.2 力矩分配法的基本原理以图 8.2a 所示刚架为例来说明。此刚架采用位移法求解时，只有一个基本未知量，即结点转角 ，其典型方程为： + =01Z1rZ1PR图 8.2绘出 、 图(图 8.2(b)、 (c)，可求得自由项和系数PM1(8-1) 1FFFPABCADAjRMM式中， 是结点固定时附加刚臂上的附加反力矩，可称为刚臂反力矩，它等于汇交1R于结点 A 的各杆固端弯矩的代数和 ，也就是各杆固端弯矩所不能平衡的差额，所j以又称为结点上的不平衡力矩。(8-2)143ABCADBACDAjriiSS式中，

5、为汇交于结点 A 的各杆端劲度系数的总和。AjS第 8 章 渐近法 189解典型方程得1FAjPMRZrS按叠加法 = 计算各杆端的最后弯矩。各杆汇交于结点 A 的一端为近端，M1P另一端为远端。各杆近端弯矩为(8-3)()()()()FFFABABAjBAAjjCCjCjAjFFFDADAjDAAjjSMMSM式(8-3)中，等号右端第一项为荷载产生的固端弯矩，第二项为结点转动 角所产生1Z的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分给近端，因此称为分配弯矩。而 、 、 等为分配系数，其计算公式为ABCAD(8-4)AjjS显然同一结点各杆分配系数之和等于 1。各杆远端弯矩为：(

6、8-5)()()FF FABBAAjBABAjjCCjFFDAADAjSMMCM式(8-5)中，等号右边第一项仍是固端弯矩，第二项是由结点转动 角所产生的弯矩，1Z就好像是将各近端的分配弯矩按传递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩。据上述分析过程可知，不必绘出 、 图，也不必列出典型方程，就可以直接按PM1以上结论计算各杆端弯矩。其过程可形象地归纳为以下几步：首先，固定结点。加入刚臂，各杆端有固端弯矩，而结点上产生不平衡力矩，由刚臂承担。其次，放松结点。取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上加上一个等值反向的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大

7、小的比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端得到传递弯矩。最终，原结构各杆近端弯矩等于固端弯矩加分配弯矩，各杆远端弯矩等于固端弯矩加传递弯矩。【例 8-1】试作如图 8.3(a)所示刚架的弯矩图。结构力学190图 8.3解：(1) 计算各杆端分配系数。为了计算方便，令，则 。则由式(8-2)有14ABCEIi2ADi4341329jABCADSii由式(8-4) 得0.59AB0.9A0.2AD(2) 计算固端弯矩。 223kNm4kNm100FBAM35k475k8FAD第 8 章 渐近法 19150kN4m25k330N16FDACM(3) 进行力矩的分配

8、和传递。结点 A 的不平衡力矩为4075kFj将其反号并乘以分配系数即得各近端的分配弯矩，再乘以传递系数即得各远端的传递弯矩。在力矩分配法中，为了使计算过程的表达更紧凑、直观，避免罗列大量计算式，整个计算可直接在图上书写(或列表计算 )，如图 8.3b 所示。(4) 计算杆端最后弯矩。将固端弯矩和分配弯矩、传递弯矩叠加，便得到各杆端的最后弯矩。据此即可绘出刚架的弯矩图，如图 8.3所示。8.3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架8.2 节结合单个结点的刚架,说明了力矩分配法的基本原理。对于只有一个刚结点的简单情况，一次放松即可消除刚臂的作用，所得结果实际是精确答案。对于具有多个结点转角但无结点

9、线位移(简称无侧移 )的结构，只需依次对各结点使用 8.2 节所述方法便可求解。求解步骤是：第一步，固定所有结点，计算各杆固端弯矩、分配系数、传递系数及各结点不平衡力矩；第二步，依次轮流放松各结点，即每次只放松一个结点，其他结点仍暂时固定，这样把各结点的不平衡力矩依次轮流地进行分配、传递，直到传递弯矩小到可略去时，即可停止分配和传递。最后，根据叠加原理求得结构的各杆端弯矩。下面结合 【例 8-2】来说明。【例 8-2】试用力矩分配法计算如图 8.4(a)所示连续梁，并绘弯矩图。图 8.4结构力学192解：1) 固定结点(1) 计算各结点的分配系数和传递系数。结点 B 140.67BASi5C所

10、以 40671BABACS12BACCBA结点 C 546i231CDS所以 0.5BBCD12CB.1CDBS0D(2) 计算各杆的固端弯矩0FFADCM22369kNm1CBql456FDP(3) 计算结点不平衡力矩结点 B 90kFFBjABC结点 C 45NCj DM2) 放松结点在结点 B 和 C 轮流进行力矩分配和传递计算。为了计算时收敛速度较快，分配应从结点不平衡力矩值较大的结点开始，本例应先放松 B 结点。(1) 第一次放松结点 B，结点 C 仍然固定。按单结点的力矩分配法，在结点 B 进行分配和传递。放松结点 B，相当于在结点 B 处加一不平衡力矩的负值-( -90) ，kN

11、m杆端 BA 和 BC 的分配弯矩为 0.4936kAM5BC对杆端 AB 和 CB 的传递弯矩为18N2AB第 8 章 渐近法 19315427kNmCBM经过分配和传递，结点 B 的力矩已经平衡。(2) 再固定结点 B，第一次放松结点 C。同样按单结点力矩分配法，在结点 C 进行分配和传递。此时结点 C 的不平衡力矩除杆端 CB 和 CD 的固端弯矩外，还要加上由结点 B 放松而产生的传递弯矩，因此4527kNFj放松结点 C 等于在结点 C 加一不平衡力矩的负值( -72 )，对杆端 CB 和 CD 的分m配弯矩为0.()36BM572kCD杆端 BC 和 CD 的传递弯矩为1()8NB

12、0CD经过分配不平衡力矩已经被消除。此时结点 B 由于接受了由结点 C 传来的传递弯矩，使这个结点的力矩又不平衡，也就是说刚臂对结点 B 又产生了新的结点不平衡力CBM矩，需要再次加以分配，以上称为力矩分配法的第一轮计算。3) 第二次放松 B，再固定结点 C。这时结点 B 的不平衡力矩等于由结点 C 传来的传递弯矩，即18kNmFBjM杆端 BA 和 BC 的分配弯矩为 0.47.2A6BC杆端 AB 和 CB 的传递弯矩为1.3kNm2AB0854CM(4) 再固定结点 B，第二次放松结点 C。在结点 C 进行分配和传递，此时在结点 C 处的不平衡力矩为 5.4 。k(5) 第三次放松结点

13、B，再固定结点 C。在结点 B 进行分配和传递，此时在结点 B 处的不平衡力矩为-1.35 。Nm(6) 再固定结点 B，第三次放松结点 C。在结点 C 进行分配和传递，此时结点 C 的不平衡力矩已减小到 0.4 。k可见，经过逐次在 B 和 C 进行分配和传递，各结点处不平衡力矩都已趋于很小，说明刚臂约束作用已经消失，此时结构已经接近实际状态。因此，计算工作可以停止。在进行最后一次分配后，为了使邻近结点不再产生新的不平衡力矩，就不要再向它们进行力矩传递。各轮分配和传递的计算，实际是梁由固定状态逐步接近实际状态的过程。结构力学1943) 计算杆端的最后弯矩将各杆端的固定弯矩和屡次的分配弯矩及传

14、递弯矩相加，即得最后弯矩。汇交结点的各杆最后杆端弯矩代数和应等于零，可以作为校核之用。上面的全部计算过程，通常可在框图表格中进行。【例 8-3】试用力矩分配法计算如图 8.5(a)所示刚架，并绘弯矩图。图 8.5解：用力矩分配法计算无侧移刚架与计算连续梁的不同之处，在于力矩分配和传递时，应将柱子考虑在内，所以书写的运算表格，比连续梁稍微复杂些。(1) 计算分配系数和传递系数设 =1，则 ， ， ，4EI1ADi43ABi1BEi2BCi各杆的转动刚度为 41ADSi第 8 章 渐近法 1954163ABSi1634BEi2CS分配系数为结点 A 40.316/ADAB.57BADS结点 B /

15、0.3461BCE.2/3EBEABS0.9416CCE传递系数为 12ADBABEC0C(2) 计算固端弯矩 222304416840kNm615kNm8FBABCMql(3) 力矩分配和传递计算为了缩短计算过程，从结点不平衡力矩较大的结点 A 开始放松，运算过程如图 8.5(b)所示。(4) 绘弯矩图，如图 8.5(c)所示。本题中，当调整 AB 杆的抗弯刚度 2EI 为 4EI 时，重复上述过程，求其弯矩图，如图8.5(d)。比较 8.5(c)、(d)两图，发现当 AB 杆刚度增大时，该杆两端杆端弯矩减小，跨中弯矩相应增大，当然对其他相邻杆也产生影响，读者可自行分析，这一简单工作对我们今

16、后的工作中会有一定指导意义。在对框架梁竖向荷载进行内力分析时，我们希望调整某杆的内力，就可以快速地判断出是增大还是减小杆刚度来达到目的。【例 8-4】试用力矩分配法计算如图 8.6(a)所示刚架，并绘出弯矩图。解：刚架具有两个对称轴 x-x 和 y-y，因此，可取结构的四分之一进行计算。点 B 和G 分别取为固定端和滑动支座，如图 8.6(b)所示。结构力学196图 8.6(1) 计算分配系数和传递系数。设 =1，则 ， 。4EI1ABi83AGi转动刚度为 4ABSi83G分配系数为 0.64/AB8G(2) 计算固端弯矩. 6043kNmFBABM21.5.3G016FA(3) 放松结点

17、A，进行弯矩分配和传递，计算过程如图 8.6(c)所示。(4) 绘弯矩图，如图 8.6(d)所示。需要注意的是，本节所讲的力矩分配法只适用于计算结点无线位移的刚架和连续梁。对于有侧移刚架，除了附加刚臂上有附加反力矩需要消除外，附加链杆上还有反力需消除，所以不能直接应用力矩分配法，需要修改或与其他方法联合使用才能求解。在此方面已经提出了很多方法，如力矩分配法与位移法联合应用、无剪力分配法、迭代法。以下仅介绍无剪力分配法。第 8 章 渐近法 1978.4 无剪力分配法8.4.1 无剪力分配法的计算方法单跨对称刚架是工程中常用的一种结构形式，在反对称荷载作用下计算分析可采用一种特殊的力矩分配法无剪力

18、分配法。现以如图 8.7(a)所示单跨对称刚架为例，来说明无剪力分配法的基本概念和计算方法。图 8.7图 8.8单跨对称刚架上的荷载，可将其分为正、反对称两组。在正对称荷载作用下 (图 8.7(b)，取一半结构(图 8.7(d)进行计算时，因为结点 只有转动，没有线位移，故可直接用力矩分配法计算。在反对称荷载作用下(图 8-7(c)，取一半结构 (图 8-7(e)计算，此结构有如下变形和受力特点：杆 BC 有水平位移但无相对侧移，称为无侧移杆；竖杆 AB两端虽有侧移，但由于支座 C 处无水平反力，故杆 AB 剪力是静定的，称为剪力静定杆。在此种情况下可采用无剪力分配法进行计算。现以图 8.8(

19、a)来研究这个问题。在结点 B 上加上附加刚臂，使其不能转动，但它仍可以自由地作水平移动，如图 8.8(b)所示。因而在 AB 杆的 B 端相当于有一个滑动支座，此结构力学198支座既可传递弯矩，又允许 B 点水平方向移动，符合刚架 B 点实际受力情况。AB 杆相当于一端固定一端滑动的梁，如图 8.8(c)所示。因为 AB、BC 两杆都可视为单跨超静定梁，所以这种结构可以直接用无剪力分配法计算。显然，这样用无剪力分配法计算的结构是有移动的刚架。这相当于在基本结构移动到某位置以后，再进行力矩的分配和传递。在放松结点进行力矩分配和传递过程中，刚性结点的移动不受限制，再应用叠加原理，可求得杆端最后弯

20、矩。具体步骤如下：(1) 固定结点 B(图 8.8(b)，按 A 端为固定支座，B 端为滑动支承计算固端弯矩， 23FqLM26FBAqLM而剪力为 ， ABQ0Q即水平荷载由 AB 杆下端剪力所平衡。， 21616FBClqllFCB式中 F(2) 放松结点 B，进行力矩分配和传递。此时结点 B 不仅发生转动，同时还产生水平移动，如图 8.8(d)所示。由于柱 AB 为下端固定上端滑动，当上端转动时柱的剪力为零，因而处于纯弯曲受力状态(图 8.8(e)，这实际上与上端固定下端滑动而上端转动同样角度时的受力状态和变形状态(图 8.8(f)完全相同，所以其转动刚度 ， ，则结点BASi3BCiB

21、 的分配系数为134BAi34BCi传递系数为 C0分配弯矩和传递弯矩计算如图 8.9(a)所示。(3) 绘出最后弯矩图，如图 8.9(b)所示。图 8.9由以上计算可以看出，当 AB 杆 B 端得到分配弯矩时，将以 的传递系数传到1BACA 端，这说明由于放松结点 B 所产生的弯矩，沿 AB 杆全长为常数，因而附加剪力为零。因为支座 C 处为一竖向链杆支座，故无水平反力，因此 AB 柱的剪力为零。这样，在放松结点时，杆件内的剪力将保持不变。由于在力矩分配过程中，杆件内不产生新的剪力，所第 8 章 渐近法 199以称为无剪力分配法。图 8.10无剪力分配法可推广到多层的情况。如图 8.10(a

22、)为两层单跨对称刚架，在反对称荷载作用下，可取如图 8.10(b)所示半个刚架进行计算，这个半刚架结构可用无剪力分配法计算。如图 8.10(c)所示基本结构在荷载作用下，将产生虚线所示的变形，各层竖杆两端均无转角，但有侧移。结点 B、C 的水平位移分别为 、 。在考虑上层相对线位移时，可BC将下层视为不动。故 BC 杆相当于下端固定上端滑动的梁，如图 8.10(d)所示。在考察下层AB 杆的相对线位移时，因为上层是支承在下层上的，所以上层将与下层一起移动。取 AB杆来看，它也相当于下端固定上端滑动的梁，但在竖杆顶应承受上层传来的剪力(图 8.10d)。由此可知，无论刚架有多少层，每层立柱都可以

23、视为上端滑动下端固QqL定的梁，而竖杆承受以上各层传来的剪力。此剪力等于以上各层所有水平荷载之和，这样就可以求出各层竖杆的固端弯矩。然后将各结点依次轮流放松，进行力矩分配和传递。因为各竖杆均视为一端固定另一端滑动的梁，所以，其转动刚度均等于各杆的线刚度 ，而传递系数均为-1 。横梁iCD、BE 可视为一端固定一端铰支的梁，以下将结合【例 8-5】给出计算过程。【 例 8-5】 试 用 无 剪 力 分 配 法 计 算 如 图 8.11(a)所 示 刚 架 ， 并 绘 出 弯 矩 图 。 设 EI=常 数。解：由于刚架是对称的，所以可将荷载分解为对称和反对称两部分，如图 8.11(b)和(c)所示

24、，然后分别计算。其中对称荷载部分对结构杆件不产生弯矩，只引起轴力，所以只需计算反对称荷载部分。考虑刚架对称性，取如图 8.11(d)所示半刚架进行计算。结构力学200图 8.11(1) 计算分配系数和传递系数.为了便于计算，设 ，则 18EI2AHCGi43ACiCEi转动刚度为36AHCGAHSiACACSi1CEBCESi分配系数为 0.814/3HAAC.26CHS/0.1643AAECG.726/CGAS0.143CEEG(2) 计算固端弯矩。 0FAHCM第 8 章 渐近法 2011506kNm2FAGCM8E(3) 力矩的分配和传递计算。计算过程如图 8.12(a)所示，结点分配的

25、次序为 ，进行二次分配。最AC后弯矩图如图 8.12(b)所示。图 8.128.4.2 无剪力分配法应用推广无剪力分配法是一种有特定适用条件的力矩分配法。该方法解决问题的关键在于考虑剪力静定杆的实际受力情况，合理地确定剪力静定杆的计算简图，进而确定该种杆的固端弯矩和转动刚度。此方法的基本概念可应用到位移法求解过程中，达到简化求解过程的目的。下面以如图 8.13(a)所示刚架为例，说明无剪力分配法的基本概念在位移法求解中的 应用。此刚架若按前述位移法求解，其基本体系 8.13(b)，有一个角位移和线位移，含有两个未知量。现引入无剪力分配法求解基本概念。由于 BD 杆为剪力静定杆，DE 为无侧移杆

26、，DE 部分符合无剪力分配法求解条件。把 BD 杆看成一端固定另一端滑动的杆，在求解时可略去线位移 这个未知数，这样用位移法求解本题时，两个未知数问题就简化为2Z求解一个未知数问题了。只不过求解过程中 BD 杆的固端弯矩和转动刚度要按一端固定一端滑动的杆来确定。结构力学202图 8.13求解过程如下：(1) 给出一个未知数位移法求解基本体系，如图 8.13(c)所示，写出典型方程。(8-6)110PrZR为求典型方程中的主系数和自由项，令 ，作出 、 图，如图 8.13(d)、(e)所EIil1MP示。故 ， 。代入式(8-6)可求得1ri136PRFL1376PRFLZri按叠加法 ，绘弯矩图，如图 8.13(f)所示。1PMZ从本例可看出，在位移法过程中巧妙地应用无剪力分配法概念，使两个未知量问题简化为一个未知量问题求解，可使求解过程大为简化。读者可按如图 8.13(b)所示基本体系自行按位移法求解，作为校核。