1、二、矩阵的秩1定义 2.10 mn 阶矩阵 A 的行秩、列秩，统称为矩阵 A 的秩，记作 r(A)注 10r(A)min 2r(A)=m 称 A 为行满秩矩阵r(A)=n 称 A 为列满秩矩阵行满秩或列满秩，统称为满秩矩阵。3看例 1，只要将 A 化为阶梯形，知道行秩即可得矩阵的秩，即由 B 的行向量值，知道行秩为 2， 2矩阵秩的判断定理引 n 个 n 维向量的相关与无关，可以通过构成的 n 阶行列式是否为零来判断。矩阵的秩是否也可以通过矩阵中元素构成的行列式来讨论呢？这就是下面要阐述的判断定理。(1)矩阵 A 的 k 阶子式行列式的 k 阶子式的概念同样可以运用到矩阵上来。即：在矩阵 中，
2、任取 k 行，k 列，位于这些行列交叉处的 个元素按原来顺序组成的一个 k 阶行列式 N，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式。(2)引理矩阵 A 有 r 阶子式不为零，则 r(A)r证明 不妨设 A 的前 r 行、r 列构成的 r 阶子式则 线性无关又 为 ， ， 增维所得。由“无关增维仍无关”，则 线性无关。 r(A)r(3)定理 2.12证明 1设 A 的行向量中一定有 r 个线性无关，设为 ，由其构成矩阵 则 的列秩为 r，必有 r 个列向量线性无关。不妨设 线性无关所以 即至少有一个 r 阶子式不为 0。2仅证 r+1 阶子式都为 0设有 r+1 阶子式不为 0，由引理 r(A)=r+1
3、，矛盾。首先 所有 r+1 阶子式都为 0，由行列式展开定理，任意大于 r+1 阶的子式也为 0。有 r 阶子式不为 0由引理 r(A)r如果 ，由“ ”的证明必有 阶子式不为 0，矛盾。 * 一个矩阵通过初等变换，化阶梯形来确定矩阵的秩的方法，可以从定理 2.12 处再次找到依据。看例 1分析 B，阶梯为 2，必有 2 阶子式不为 0为上三角行列式，必不为 0。又第三行元素全为 0，则任意 3 阶子式都为 0 下面举例说明如何借助矩阵研究向量组。例 2 从向量组中选出一个极大无关组，将其余向量用极大无关组线性表示，并求向量组的秩。解 方法 1以向量作为行构成矩阵 A并对矩阵施以初等行变换，化阶梯形为 B记录行的变换 线性无关，即极大无关组。=0 方法 2以向量作为列构成矩阵 对 施以初等行变换线性无关 线性无关，即极大无关组。仍然通过初等行变换，将 变为基本单位向量。 注 1方法 2 的依据是定理 2.10，对矩阵施以初等行变换，列向量间的线性关系不变，所以自始至终应施以初等行变换。2将极大无关组中向量化为基本单位向量，目的在使线性表示一目了然。因为 页码:
