1、1运用几何画板，加强思想方法教学张映姜 唐洪浪（广东省湛江师范学院数科院 广东湛江 524048）数学课程标准实施后，数学的思想和方法成为了数学课程的重要内容。在数学课程标准中，特别强调数学的思想与方法，将基本的数学思想方法与基础知识、基本技能、基本能力、基本的情感并列，在初中数学中，图形的变换成为课程的重要内容，要求学生通过实例了解平移、旋转、对称变换，理解变换的性质；在高中数学中，函数、数形结合仍是数学课程的重要思想方法。加强数学思想方法的教学仍然是当前数学教学的重要内容。在高师院校，开设有数学思想方法概论选修课。如何正确地理解数学的思想和方法，加强数学思想方法的教学？我们认为，加强数学思
2、想方法的教学，必须创设思想方法教学的条件。利用传统的方法进行数学思想方法时，总会遇到较多的困难，如旋转变换中难以突出旋转角度与旋转中心，明确地体现出旋转变换的有关性质。如果利用计算机中的优秀软件几何画板进行教学，不仅可以创设数学思想方法教学的环境，充分展示数学的思想与方法，而且还能让学生运用几何画板进行数学思想方法的学习、研究、创造。这样，几何画板不仅是教学的工具，而且也是学习的工具，更是研究、进行创作的工具。通过运用几何画板，揭示数学规律，充分体现数学思想和数学方法，把握数学的精髓。1利用几何画板中的坐标分离 、轨迹 构建数形结合的情境数形结合是数学中相当重要的思想和方法。它的思想就是“化形
3、为数，以数论形；或化数为形，以形论数” 。下面以二次函数 y=a x3bx 2cxd 图象作法为例，说明利用几何画板中的轨迹功能画出函数图象的过程，构建数形结合的教学情境，体现数学的思想和方法。通过对函数图象的观察，可以发现函数不同，图象也不同，我们还可以通过函数图象研究函数的单调性、最值、周期性、奇偶性等重要特征。函数的图象就是通过化（代）数为形，以形论数来体现的。例 1 作出二次函数 y= a x3bx 2cx d (其中 a，b，c，d 为常数)图象 在几何画板的编辑窗口，建立坐标轴，在横坐标轴上任取点 C； 利用计算器分离出点 C 的横坐标，并改写为 x ； 选定 x，双击，出现计算器
4、，利用计算器计算 a x3bx 2cx d 的值，并记为 y； 选定 x，y，根据画点根据(x,y )，作出点 P； 选定点 C，P，单击构造/ 轨迹，于是得到 y= a x3bx 2cxd 的图象。2 利用几何画板中的变量 构建实验情境著名数学家欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，也需要实验。 ”实验是数学研究中很重要的方法。利用信息技术构建实验情境，通过运用实验方法，进行数学教学活动。对于函数，普通高中数学课程标准中特别指出：“通过二次函数等，理解函数的单调性、最大(小) 值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。 ”因此，如二次函数等教学，特别是含参变数a，b，c 的函数 y=
5、a x2bxc，运用几何画板，就立即可构建实验情境，引导学生观察，方便学生研究、概括，通过研究参变数 a，b，c 对函数 y= a x2bxc 图象的影响，发现两者间制约的规律。下面利用几何画板，创设含参变数 a，b，c 的函数 y= a x2bxc 的实验情境，并进行教学。例 2 作函数 y= a x2bx c 的图象及参变数对图象影响的实验研究分二步进行：先作函数的图象；然后，研究考虑怎样研究二次函数的性质。 2 在几何画板的编辑窗口，建立坐标轴，在横轴上任取点 D，并利用计算器分离出点 D 的横坐标，并改写为 x ； 在横轴上任取点 E，过点 E 作横轴的垂线 j，在垂线上任取点 A，B
6、，C ，并利用计算器分离出点 A，B，C 的纵坐标，并依次记为 a，b，c； 选定 a，b，c ，x ，双击，出现计算器，利用计算器计算 ax2bx c 的值，并记为 y； 选定 x，y，根据画点根据(x,y )，作出点 P； 选定点 D，P ，单击构造/ 轨迹，于是得到参变数的二次函数 y= a x2bxc 的图象。 依次选定垂线 j，点 A，或点 B，或点 C，分别构建 动画 a，动画 b，动画 c三个动画按钮。由上可知，a，b，c 都是参变数，可以随意改变大小。利用参变数 a，b，c，我们可以进行二次函数 y= a x2bx c 的实验，发现图象的开口方向、开口大小、对称轴随参变数 a，
7、b，c 的变化而变化的情况： 单击动画 a，发现：a 的正负决定图象的开口方向，|a|的大小决定其开口大小； 单击动画 c，发现：c 的大小只改变顶点位置，不改变图象的其它性质； 单击动画 b，观察发现：b 的大小不影响图象的形状、开口方向以及开口大小。3 利用几何画板的标识向量和运动制作平移变换平移变换是数学图形变换中重要变换之一。四边形的平移、三角形的平移等是数学变换的重要内容之一。数学课堂上经常要进行几何图形的平移变换。平移不仅是初等数学中的学习内容，也是高等数学中重要的方法。几何画板在平移方面，其功能是非常强大的，只要我们充分利用平移变换的技巧，就能充分体验到平移变换的思想。例 3 图
8、形的平移变换先作出图形 A，为了真实地反映其平移变换过程，可设置图形内部的填充色为灰色；然后确定标识向量 DF ，标识向量反映了平移的方向和长度；接着确定图形 A 沿标识向量 DF 平移的结果：图形 A；最后，作出图形平移变换的按钮。如从 ED 的动画按钮，或从 EF 动画按钮。此时，桌面有图 A，图形 A，从 ED 或从 EF 画按钮。若分别单击两按钮运动 FD与运动 FE ，我们即可观察到图形的平移变换情况。4 利用几何画板中的标识角度制作旋转变换图形的旋转也是数学变换方法中重要内容，同样，数学课程改革后，图形的旋转变换也是中小学中重要的学习内容。无论初等数学学习还是高等数学的学习，我们都
9、要学习和把握旋转变换思想。三角形的旋转是数学旋转变换中最基本的形式。我们可通过三角形的几何旋转，创设旋转变换的学习情境。例 4 做一个已知图形的旋转变换在几何画板窗口内画一个图形 A；利用画圆工具，在窗口内画圆 D，在圆 D 上取三点E、 F、G，并将点 G 拖至点 E，F 之间；按住键盘中 shift 键，依次选定 GDE 标识角度，另取一点 H 作为旋转中心；接着选定图形 A（包括各顶点、边及内部） ，点击菜单变换/ 旋转作出现图形 A；最后依次选择点 G，E，做出动画按钮运动 GE；或依次选择点 G、F，仿上，得到按钮运动 GF；只要单击 运动 GE或运动 GF按钮，就会发现图形在做旋转
10、变换。5利用几何画板中的反射实现对称变换对称变换是数学中最富有数学美的一种方法。新数学教材中，有许多内容都体现对称特征，3反映数学的对称美。为了体验、掌握旋转变换的特征，我们可利用几何画板的反射做出几何图形的对称变换，创设对称变换的教学情境。例 5 做三角形 ABC 的对称变换 双击ABC 一侧的对称直线 DE，选择ABC（包括顶点、边） ，单击菜单变换/反射，立即出现ABC； 直线 AB 与 AB，直线 BC 与 BC分别相交于直线 DE 上点F，G； 利用菜单构造/以圆心和一点划圆 作出圆弧 BB ，圆弧 CC； 在圆弧 BB上选定点 I，连 FI，GI，交圆弧 AA于点 J，圆弧 CC于点 L； 利用画板工具箱画线工具，构造IJL； 再利用菜单中编辑/按钮/ 运动，作出动画按钮 运动 IB 与运动IB ；此时，单击按钮运动 IB、或运动 IB，就可体验三角形的对称变换，发现三角形在对称变换下一些特征，如在对称变换下保持全等关系不变、二对称直线相交于对称直线等。（该论文为广东省教育科学“十五”规划项目的研究成果，项目号为 GYA02042）
