1、几何原本和公理化思想（07 数教 3 号朱钦）几何原本欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理收集起来，并且加以系统化，他从少数已被经验证明的公理出发，运用逻辑推理和数学运算的方法演绎出许多定理，写成了十三卷的几何原本 ，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。 几何原本是古希腊科学的骄傲，它的基本原理和定理直到现在仍是科学教科书的一部分。欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识 作了系统化，理论化的总结。全书共分 13 卷，包括 5 条公理，5 条公设，119 个定义和 465 个命题，构成了历史上第一个数学公理体系，以下简要介绍原本的内容：第一卷作为全书之首，给出了一些最基
2、本的定义，如“点是没有部分的” ， “线是没有宽度的长” ；“面是只有长度和宽度的” ， “圆是由一条曲线包围的平面图形，从其内一点出发落在曲线上，所有线段彼此相等” ；以及 5 条公设和 5 条公理，它们是：公设一：任两点必可用直线连接 ；公设二：直线可以任意延长；公设三：可以任一点为圆心，任意长为半径画圆 公设四：所有的直角皆相同；公设五：过线外一点，恰有一直线与已知直线平行。 欧几里得几何学公理： 点是没有部分的；线是平面上只有长度，没有宽度的 ；直线是可以向两边无限延伸的；过两点有且只有一条直线；平面内过一点可以以任意半径画圆；两直线平行，同位角相等；等量+等量和相等；等量等量差相等；
3、能重合的图形全等；整体大于部分。如上所列举的定义和公理都是往后严格论证每一定理所必不可少的依据。欧几里得是第一个提出几何根据问题的人。 欧几里得几何原本的功绩在于：精选了公理，安排了定理的顺序，自己给出了一些定理的证明以及较严谨的推敲了一些证明。 原本的作用原本中将逻辑的公理演绎方法应用于几何学的研究，而且用严格的逻辑演绎系统陈述了这一学科的内容以至在原本问世后就几乎淹没了在此以前的任何其他有关几何学的著作。它的贡献不在于发现了几条新定理而主要在于把几何学知识按公理系统的方式，使得反应各项几何事实的公理和定理都能用论证串联起来，组成一个井井有条的有机整体。原本是公理化思想方法的一个雏形。虽然用
4、现代数学的严谨观点来看原本的叙述其中仍有许多不严格的地方，但却不能忘记在这之前原本曾是二千年间一直被公认用严格的逻辑结构来叙述学科的典范。几何原本的问世使公理化思想开始萌芽，使公理化方法走出了第一步，这标志着数学领域中公理方法的诞生。欧几里得原本可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它的最大功绩是在于数学中演绎范式的确立。这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。公理化思想所谓“公理化思想”就是选取少数不加定义的原始概念即基本概念和无条件承认的思想规定（即
5、公理）作为出发点，再以严格的逻辑推演使某一数学分支成为演绎系统的方法。公理化思想始于欧几里得。公元前 3 世纪原本的诞生使原本中的公理体系为人们提供了使知识条理化和严密化的强有力手段，然而当 19 世纪数学家们重新审视原本中的公理体系时却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就迫使他们着手重建欧氏几何以及其他包含同样弱点的几何基础，经过了 22 个世纪，数学几何学又跨上了一个新的台阶。 公理化思想在近代数学的发展中起过巨大的作用,可以说它对各门现代数学都有极其深刻的影响.如希尔伯特 1899 年出版的几何基础一书是数学分支公理化的典范著作。该书问世后的三十年间曾引起西方数学界的一阵
6、公理热。足见其影响之大。若没有公理化思想应用于欧氏几何的研究，也就没有什么第五公设问题。而且，从历史来看，古代对于第五公设问题的提出和求解，实际上，也体现了人们对于公理系统独立性的追求。在欧几里得原本中的公理化思想是存在缺陷的。如“直线”被定义为“与其上的点相平齐的线” ，这是一个令人不满意的定义，虽然欧几里得对公设与公理作了精心的选择，但他的公理系统是不完备的，有些公理不独立，如“凡直角都相等”但是整个欧几里得公理体系的逻辑缺陷到了 19 世纪成为推动数学前进的依据，产生了现代公理化方法。公理化思想对于后人有着深远的影响： 正是因为公理化方法应用了欧氏几何的研究，才会产生第五公设问题。它是推动和创建新理论的重要方法之一。二十世纪以来，正由于公理化思想在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化思想渗透到数学的许多其它分支，如代数，拓扑等比较抽象的数学分支的研究，公理化都起到重要作用。
