1、17第十章 随机变量分布及数字特征10.1 随机变量10.2 离散型随机变量分布1、学时：2 学时2、过程与方法：结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质.3、教学要求：（1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质（2）几种常见概率分布教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质教学难点：离散型随机变量的分布函数教学形式：多媒体讲授教学过程：一、新课教学内容10.1 随机变量概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可
2、以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数商店销售我们重视每天销售额，利润值在投骰子中是每次出现的点数等但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令 事件 这些事件数值化后，数量01不 合 格合 格 10AX发 生 与 否 用 不 发 生发 生18是会变化的称为变量变量取值机会有大有小所以叫随机变量 定义 1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点 都唯一对应一个数，这样依不同样本点而取不同值的点叫随机变量通常用希腊字母或大写英文字母 X、Y 、Z 等表示用小写英文字母表示随机变量相应于某个试验结果所取的值iy
3、x、举例：1投骰子出现的点数用随机变量 X 表示，X 可取值为 ， 6543212电信局话务台每小时收到呼叫次数用 Y 表示，Y 可取值为 0，3总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间 t4某一电子零件的寿命用 30tT按其取值情况可以把随机变量分成两类：（1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值如例 1、2（2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例 3、4例 1 设有 2 个一级品，3 个二级品的产品，从中随机取出 3 个产品，如果用 X 表示取出产品中一级品的个数，求 X 取不同值时相
4、应概率解 X 可取值为 10，)(35CP 53)1(2CXP103)2(5CXP例 2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量 Y 令 求出现正面与反面概率：0出 现 反 面出 现 正 面解 21)0(YP21)(P10.2 离散型随机变量分布10.2.1 离散型随机变量的概率分布例 1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去 100 天营业时间是有 24 天每天销售汽车是为 0 辆，38 天19每天销售为 1 辆，20 天每天销售是为 2 辆，12 天每天销售是为 3 辆，6 天每天销售是为 5 辆我们定义随机变量 X 为一天中售出汽车数取值为 ，概率用 P（X）表示，可求出5310，以此类推计算出汽车销
5、售概率分布表为：24.01)(PX 0 1 2 3 5P（X） 0.24 0.38 0.2 0.12 0.06从上表可知 P（X=1 ）=0.38 ，一天最有可能卖出汽车为 1 辆1 天中汽车销售是大于等于 3 辆概率是这些概率有助于决策者了解某汽车公司销售情况以帮助制定更优策划18.0)5()3(案而以上分布表就是离散型随机变量 X 的分布表定义 1 设 为离散型随机变量 X 的所有可能取的值， 是随机变量 取 值时相(,2)kx kpXkx应概率即得式子 或写成如下表格形式：(1,2)kPXpX x2xkxP 1pp上式或上表称为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律由定义知概率分布具有下
6、面性质（1） （k=1，2） （2）0kp1kp只有 （k=1，2）满足上述两条性质时上式或上表才能成为随机变量 X 的概率分布k定义 2 对于离散型随机变量 X，若对任何实数 令 称 为随机变量x()kxFPp)(xFX 的分布函数分布函数 具有如下性质：)(xF（1） （2） 是不减函数10)(xF（3） ()lim0xlim()1xF（4） 若有间断点，在其间断点处右连续F（5） )()( 1221 xFxXP例 2 设有一批产品 10 件，其中 3 件次品，从中任抽 2 件，如果用 X 表示抽取次品数，求 X 的概率分布与分布函数20解 设 , 则 X 可取值为 抽 的 次 品 数X2
7、,10157)0(2CxP57)(2103CxP15)2(03CxP的概率分布为 21073)(kk)(、或用表格表示即X 0 1 2P 575其分布函数 xxxF215407)(例 3 某水果店，根据零售葡萄的经验，预计做一笔生意，希望从这批货中得到毛利如下表：卖出日 第一天 第二天 第三天 第四天卖出概率 40% 30% 20% 10%1 吨毛利（千元）2 1 1 -2求每吨葡萄所得毛利分布列和分布函数，并画出分布函数图解 设每吨葡萄所得毛利为 X 千元则 x 可能取值为 2,其概率分布为x -2 1 2p 0.1 0.5 0.4其分布函数 16.0)(xF21x21x o 1p q p分
8、布函数图10.2.2 常见的几种离散型的概率分布1、二点分布定义 3 设随机变量 X 的分布列为 （其中 p+q=1，p0，q0 ）则称 X 服从两点分布记为 X（0，1）注：它适用于一次试验仅有两个结果的随机试验2、二项分布二项分布适用于贝努里概型也称为独立实验序列定义 4：设一随机试验在同样条件下进行 n 次独立重复试验，每一次试验事件 A 只有两种结果：发生与不发生，发生的概率为 p，不发生的概率为 1-p=q在 n 次独立试验中事件 A 发生 k 次概率为 （k=0, 1, 2n）, 此概型称为贝努里概型，其概率分布称为二项分布, 记为()knnPCpqXB（n ，p） 。 显然当 n
9、=1 时二项分布即成二点分布贝努里概型在实际问题中有非常广泛的应用例 4 某服装店经理根据经验估计每个顾客进该店购买服装概率是 0.3，现有 3 名顾客进店问其中有 2 名顾客会购买的概率为多大？解 X 表示购买服装的顾客人数 189.073.)(2CxP例 5 一条自动生产线上产品一级品率为 0.6，现检查 10 件，求至少有两件一级品的概率解 设 X 为一级品件数 10 10910102()()().4.60.8kPxppC223、泊松分布定义 5 若随机变量 X 的分布列为 ()!kePx)2,10,(k则称 X 服从参数为 的泊松分布 , 记为 .泊松分布应用很广，如确定时间段通过交通
10、路口的小轿车数，容器内细菌数，铸件疵点数，电话交换台电话被呼叫次数等都服从泊松分布例 6 已知某电话交换台每分钟接到呼唤次数 X 服从参数 的泊松分布，分别求（1）每分钟恰4好接到 3 次呼唤概率（2）每分钟内接到呼唤次数不超过 4 次概率解 （1） 查泊松分布表得43!)(eXP 1954.06.719.0)()( XP（2） 283151)4(在二项分布中当 n 很大（n10）p 很小（p0.1）时也可近似用泊松分布公式计算 , 其中 np例 7 若一年中参加某种寿险的人死亡率为 0.002，现有 2000 人参加每人交保险费 24 元，一旦死亡保险公司赔偿 5000 元，求(1) 保险公
11、司亏本概率（2）保险公司盈利不少于 10000 元的概率解 设 X 表死亡人数 则 XB（2000，0.002）较小可近似用泊松分布计算0.20pn较 大4np（1）若亏本即 得54x9（查泊松表）81.!)9(10xep（2）盈利不少于 10000 即 得105240x7x98.!)7()7( 8xexpxp所以保险公司盈利概率是很大的二、课堂小结本节介绍了随机变量的概念，离散型随机变量的概率分布，几种常见离散型概率分布,包括二项分布、两点分布、泊松分布.23三、练习1、定点投篮一次，投中的概率为 0.4，试用随机变量描述这一试验2、一批产品分一、二、三级其中一级品是二级品的二倍，三级品是二
12、级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，用随机变量描述检验的可能结果3、随机变量 X 的概率分布如下：X 20 25 30 35P（X） 0.20 0.15 0.25 0.40问（1）这是一个概率分布吗？为什么（2）X=30 的概率是多少？（3）X 小于或等于 25 的概率是多少？（4）X 大于 30 的概率是多少？4、下表为某公司营业第一年计划利润（X=利润） （以万元计）的概率分布，负值代表亏损X -100 0 50 100 150 200P（X） 0.10 0.20 0.30 0.25 0.10 0.05问（1）P（100）是多少？如何解释这个值（2）该公司盈利的概率是多少？（3）
13、该公司至少盈利 100 万的概率是多少？5、某商店销售某种水果，进货后第一天售出概率为 60%，每 500g 的毛利为 6 元，第二天售出概率30%，每 500g 毛利为 2 元，第三天售出概率为 10%，每 500g 的毛利为-1 元, 求销售此种水果每 500g 所得毛利 X 的概率分布，并求其分布函数6、一批产品 20 件，其中有 5 件次品，从这批产品中任取 4 件求这 4 件产品中次品数 X 的分布（精确到 0.01）7、从一个装有 4 个红球，2 个白球的口袋中，一个一个地取球，共取 5 次，每次取出的球（1）取后放回；（2）取后不放回求取得红球的个数 X 的概率分布8、一批产品的
14、废品率为 0.001 用泊松分布求 800 件产品中废品 2 件的概率以及废品数不超过 2 件的概率9、若每次射击中靶的概率为 0.7，若发射炮弹 10 次，分别求命中 3 次的概率，至少命中 3 次的概率及最多可命中几次，其概率为多少？10、设离散型随机变量 X 的概率分布如下表X -1 3 4.524P C C 2C试求（1）常数 C；（2）求 P（X0） ；（3）求其分布函数 F（X）11、在人寿保险公司里，有 3000 个同一年龄段人参加人寿保险，假设在一年中，每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在一年的第一天交纳保险费 10 元，死者家属可以从保险公司领取 2000 元赔偿金，求保险
15、公司亏本的概率10.3 连续型随机变量的分布1、学时：2 学时2、过程与方法：对比离散型随机变量分布介绍连续型随机变量分布的情况.3、教学要求：（1）掌握连续型随机变量分布、概率密度与分布函数、概念、性质（2）几种常见连续型随机变量概率分布，正态分布查表教学重点：连续型随机变量分布、概率密度与分布函数、概念、性质，几种常见连续型随机变量概率分布，正态分布查表教学难点：连续型随机变量分布、概率密度与分布函数教学形式：多媒体讲授教学过程：一、复习内容1. 随机变量的概念2. 离散型随机变量的概率分布：二项分布、两点分布、泊松分布二、新课教学内容10.3.1 连续型随机变量的概率密度函数与分布函数定
16、义 1 对于随机变量 X，若存在非负可积函 数 使对任意实数 a、b （a0,-x+)XN()2,2三、课堂小结本节学习了方差的定义、性质、计算方法.四、练习1、设离散型随机变量 X（0.1）若 X 取 1 的概率 p 为 X 取 0 的概率 q 的 3 倍，求方差 D（X）2、一批零件中有 9 件合格品和 3 件废品，在安装机器时，从这批零件中任取 1 件，如果取出是废品就不再放回然后再取，直到取出合格品，求取得合格品之前，已知取出废品数的数学期望与方差3、某菜市场零售某种蔬菜，售出情况如下表：第 n 天售出 第一天 第二天 第三天概率 0.7 0.2 0.1售价元/500g 10 8 4求
17、任取 500g 蔬菜售价 X 元的数学期望 E（X ）和方差 D（X）274、设连续型随机变量 X 的概率密度函数为021)(xf其 他 1求（1）E（X） (2)D(X) (3)D(2X1)5、已知随机变量 X 的数学期望 E（X ）=2 方差 D（ X）=5求（1）E（5X2） (2) D(2X+5) 6、某地区失业率为 4.1%，随机抽取 100 人求（1）失业人数的期望值 （2）失业人数的方差与标准差7、若 X 为随机变量， 求数学期望13XE（ ） ()4D2()EX8、已知 XN(1,2) YN(2,1) 且 X、Y 相互独立求（1）E（3XY+4） （2）D （2X 3Y） (3
18、)E( XY1)219、设随机变量 X 的密度函数为0)(2bxaf其 他 1且 E（X）=0.6 试确定系数 a、b,并求 D（X）复习课1、学时：2 学时2、教学要求：（1）本章知识点复习（2）复习题评讲教学过程一、本章知识点复习1、随机变量：通俗地说是随机事件数量化而取的变量我们着重研究离散型与连续型随机变量2、概率分布与分布函数（1）离散型随机变量概率分布为 , 也可写成表格形式()(1.2)kPXxp28X1x2kxPp p其中 1).(0kk且连续型随机变量概率密度函数为 ，有xf badxfx)()(同理 且0)(xf1)(df（2）分布函数 xXPF离散型： 连续型：xkp)(
19、 xdtfF)()(3、随机变量数字特征（1）数学期望 离散型 ()iEX()()iiEgXxp连续型 xfd ()fgxd（2）方差 222()()()(D离散型 iiXxEp连续型 2()()Xfxd均方差 D（3）性质： C 为常数cE)(0)( 为常数kX2)()kXk 为常数()(cc2()DcXkc、 )EYEY若 X、Y 相互独立则()()()()XY4、几种常用分布的概率分布与数字特征 ，见表 10129二、复习题评讲1、掷一颗均匀骰子，求出现的点数的概率分布和分布函数2、某人定点投篮的命中率是 0.6，在 10 次投篮中求（1）恰有 4 次命中的概率 （2）最多命中 8 次的
20、概率3、判断以下两表的对应值能否作为离散型随机变量的概率分布：（1） （2）X -2 1 0P 2354、一页书上印刷错误的个数 X 是一个离散型随机变量，它服从参数为 ）的泊松分布，)0(，求任取一页书上没有印刷错误的概率07.5、在一个繁忙的交通路口，一辆机动车发生交通事故的概率为 ，在某段时间内有 50001.p辆机动车通过这个路口，求发生交通事故的概率6、在某公共汽车始发站上，每隔 6 分钟发车，使得所有候车乘客都能上车离去，一位乘客候车时间分钟是一个连续型随机变量x求（1）任选一位乘客候车时间超过 5 分钟的概率 （2）任选 4 位乘客中恰好有 2 位乘客候车时间超过5 分钟概率7、
21、设连续型随机变量 的概率密度为X02cos)(xKxf其 他 试求（1）常数 K 的值；（2 ） )2(XP8、若 N（6，0.16）求（1） （2）X5.16)84.06(XP9、若 N（40，5 2）且 ，求常数 ()098aa10、某股票价格 服从正态分布 （30,8 2XN求 （1）该股票价格至少为 40 元的概率为多少？（2）该股票价格不超过 20 元的概率为多少？11、已知连续型变量 的概率密度函数为X 1 2 3 4P 81300)(cxf其 他 2试求（1）常数 C；（2） ；（3） ；（4）)1(XP()EX()D12、已知随机变量 的数学期望 E( )与方差 D( )都存在
22、且 D( )X0若随机变量 求（1）E( ) （2）D( )()XEYDYY13、某汽车保险公司对撞车保险事故赔付的概率分布如下：赔付金额 0 4000 10000 20000 40000 60000概率 0.90 0.04 0.03 0.01 0.01 0.01（1）根据撞车赔付金额的数学期望来确定使公司保本的撞车保险费金额，试求使公司保本的撞车保险费金额（2）保险公司撞车保险保费为每年 2600 元，对保户来说，撞车保险单的实际价值的数学期望是多少？（提示：是从保险公司取得期望赔付减去保险类别的成本）14、某计算机公司正考虑一次厂房扩建计划，以便公司能够开始生产一种新的计算机产品公司总裁必
23、须决定是进行中型还是大型扩建工程新产品的需求量是一个未确定因素可能出现低、中、或高三种情形，其相应概率如下表分别令 表示中型与大型年度利润（以万元计） ，公司策划者预测中型和yx.大型扩建工程利润也如下表：需求量 低 中 高需求量概率 0.20 0.50 0.30中型扩建年度利润 X 50 150 200大型扩建年度利润 Y 0 100 300（1）两种扩建方案利润的数学期望，选择哪一个更有助于实现利润最大化的目标 （2）计算两种扩建方案利润的方差，选择哪一个更有助于实现风险或不确定性最小化的目标15、某杂志对 131 名投资经纪人关于短期投资前景进行调查调查结果显示 4%人强烈看涨，39%
24、人看涨，29% 人持中立态度，21%看跌，7%的人极端看跌，令随机变量 表示投资经纪人对市场信心指数，X以 表强烈看涨，以此类推， 表极端看跌，求（ 1）投资经纪人对市场信心指数的概率分布1X5X（2）计算投资经纪人对市场的信心指数的期望（3）计算投资经纪人对市场信心指数的方差和标准差3116、某投资协会公布了一年度互助基金 29 类项目的风险率:风险 低 低于平均水平 平均水平 高于平均水平 高X 1 2 3 4 5基金数目 7 6 3 6 7（1） 求风险水平 X 的概率分布（2） 求风险水平的期望和方差（3） 有 11 项基金属于债券基金, 在债券基金中，有 7 类属于低风险组，4 类属于低于平均水平组，比较 18 项股票基金和债券基金的风险
