1、第四章、级数-试题库：第一部分、判断与填空：1、 若 ，则 为 的 n 阶零点。0)(,)(0zfzfnz)(f2、 若级数 收敛，则 与 均收敛，其中1n1nxny。iyxz3、 若 与 至少一个不收敛，则 发散，其中n nz。i4、 若级数 与 至少一个发散，则 发散。1nznw1nnwz5、 若 与 在 内解析，且在 内一小弧段上相等，则)(fgD。z,6、 若函数 可以在 的某邻域内展开成幂级数，则 在f0 )(zf点 解析。0z7、 为 的_点。ze8、 为 的_点。z19、 的孤立奇点为_。sin10、 的孤立奇点为_。ze1第二部分、证明与计算：1、设已给复数序列 。如果 ，其中
2、 是一个有限复nznzlim数，那么。nn.li212、证明：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子序列。3、求幂级数 ，其中 的收敛半径。02nzq|4、求幂级数 的收敛半径。1!n5、求幂级数 ，其中 是一正数，的收敛半径。0npz6、求幂级数的 收敛半径。0)1(3nnz7、试求幂级数 的收敛半径。n!8、试求幂级数 .)1(!212zcbazcb.).(! ).).(nnna其中 a、 b、 c 是复数，但 c 不是零或负整数，的收敛半径。9、设在 内解析的函数 有泰勒展式Rz| zf)(210 nzf 试证：令 ，我们有|)(|max)(20irefrM，n|在这里 。Rrn,.;11
3、0、证明：如果在上 及 内，我们分别有z|及 ，0)(naf 0)(nzbg其中 ，而且 在 内连续，那么在及r0zfr|内，z|。rnnzgfizba|0 d)(2111、设是 任一复数，证明 。| zzzee12、求解析函数 在 的泰勒展式。2si13、求解析函数 在 的泰勒展式。zco014、求多值函数 的解析分支在 的泰勒展式。2)1Ln(0z15、求多值函数 的解析分支在 的泰勒展式。43z16、求解析函数 在 的泰勒展式（计算到 的系数） 。ta05z17、设 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n，以及两个)(f正数 R 及 M，使得当 时Rz|，nzf|)(证明 是一个至多
4、n 次的多项式或一常数。)(zf18、求解析函数 在 内的洛朗展式。)1(2ze|0z19、求解析函数 在 内的洛朗展式。35|20、求解析函数 在 内的洛朗展式。1sinz1|0z21、求解析函数 在 内的洛朗展式。2e|22、求多值函数 的解析分支在 内，)1(za 1|0z的洛朗展式，其中 ， 。0)(a21、求多值函数 的解析分支在 内的洛朗展式，)Ln2z|z其中 。1(l21、求多值函数 的解析分支在 内的洛朗展式，2z1|0z其中 。)0(ln22、问下列函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？（1） ； （2） ；)4(2zzcot23、问函数 有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？
5、其sin1中 是一个常数。24、问函数 有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？；1ze25、证明：在扩充复平面只有一个极点的解析 函数必有下面的)(zf形式： 0,)(zf26、设函数 在 解析，并且它不恒于一个常数，试证z0是 的 m 阶零点的必要与充分条件是： 是0z)(f 0z的 m 阶极点。1f27、设函数 在区域 内解析。证明：如果对某一点 有)(zfDDz0，,.21,0)(nn那么 在区域 内为常数。f28、问是否存在满足下列条件，并且在原点解析的函数 ？)(zf，这里 。nfnf2)1(,0)2(,.32129、问是否存在满足下列条件，并且在原点解析的函数 ？)(zf，在这里 。1)(f ,.30、问是否存在满足下列条件，并且在原点解析的函数 ？)(zf，在这里 。nfnf2)(2(,.321
