1、第二章、复变函数习题课：1、 试问函数 在圆盘 （称为单位圆盘）内是否连2z1|续？是否一致连续？2、 证明函数 除去在 外，处处不可微。2|)(zf03、 设函数 在区域 内解析。证明：如果对每一点D，有 ，那么 在 内为常数。z)(f)(zf4、 设函数 在区域 内解析。证明：如果 满足下列条件之一，那么它在 内为常数：（1） 、 或 在 内为常数；)(Rezf)(ImfD（2） 、 在 内为常数。|5、 证明：若函数 在上半平面解析，则函数 在下半)(f )(zf平面解析。6、 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：zezcos,in,2而下列函数不解析：。7、 证明在极坐标下的
2、柯西-黎曼条件是：。rvuvr,18、已知任何区域 内的解析函数 一定有任意阶导数。证明：D)(zf（1） 的实部和虚部在 内也有任意阶导数，并且满足拉)(zf普拉斯方程： 022yUx（2） 在 内，D222|)(|4)(|( zfzf9、试求出的 、 、 、 、 值。ie2)1(Lni22)(10、由 及 所定义 的函数分别称为的wzsicos反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。11、由及2sinhze2coshze所定义 的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：w, ,ii izz由此从关于三角函数的有关公式导出：，1snhco22z，2121 sinhc
3、osi)i(，cozz，yxiyxy，i)cs(。zzzsinhd ,hdn12、设两个实变数的函数 有偏导数。这一个函数可以写)(yxu成 及 的函数：ix。2,iz证明： ),(1)(21yuixyixz设复变函数 的实部及虚部分别是 及)(zf ),(yxu，并且它们都有偏导数，求证，对于 ，柯西-黎曼,(yxvzf条件可以写成。0vizf13、设函数 在 解析，那么我们说 在)1(f )(zf解析。下列函数中，哪些在无穷远点解析？z，zze1),(Ln,。nmbaa.014、在复平面上取上半虚轴作割线。试在所得的区域内分别取定函数 和 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它们在上zLn半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值。iz15、在复平面上取正实轴作割线。试在所得的区域内：（1） 取定函数 在正实轴上沿取正实值的一个)01(z解析分支，并求这个分支在 处的值；在正实轴下沿z的值。（2） 取定函数 在正实轴上沿取实值的一个解析分支，并求这zLn个分支在 处的值；在正实轴下沿的值。116、求 函数的支点，证)10()(22kz明它在线段，xk,1的外部，能求在 取正值的那个分支。0z17、研究函数 3)2(1)(zw如果规定 时， 。任作两种适当的割线，求这函数的z0一个解析分支在 的值。i18、找出下列推理的错误：因为 ，所以2)(z，因此 。zLn2)(Ln
