1、 第六章 层次分析法1、层次分析法的思想方法及用途层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简记 AHP）是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法特点：将半定性、半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种方法，其本质是一种层次化的思维过程用途：通过逐层比较多种关联因素为分析评估、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据，特别适合于解决那些难于完全用定量方法处理的复杂问题。例如，资源分配、选优排序、军事管理、决策预报等领域2、层次分析法的基本步骤（1）分析实际问题中各因素之间的关系，建立实际问题的递阶层次结构一般分为三层：目标层、准则层、方案层（或对象层） （2）
2、对于同一层次的各因素对上一层中某一准则（或目标）的重要性（或影响）进行两两比较，构造两两比较矩阵。（3）由比较矩阵计算各因素对于每一准则的相对权重，并进行比较矩阵的一致性检验（4）计算方案层对目层标的组合权重，进行组合一致性检验，并依据权重大小进行综合排序。下面结合具体案例介绍层次分析法的一般方法. 6.1 层次分析法的一般方法问题 6-1 最佳工作的选择问题某大学的一位即将毕业的大学生，已参加了多家用人单位的招聘面试，结果他收到了 3 家用人单位的录用通知该学生根据选择工作时所考虑的因素，将三家单位相应的条件进行了比较问题：请你帮助该生毕业生析一下，哪家单位是他的最佳选择？ 表 6-1 三个
3、用人单位的基本情况收入（元/年）发展前景 社会声誉 人际关系 地理位置P1 30000 一般 高 好 大城市P2 10000 好 中 一般 小城市P3 50000 较好 中 较好 中等城市目标层 O准则层 C选择最佳工作 O单位 P1 单位 P2 单位 P3方案层 P收入C1发展前景C2社会声誉C3人际关系C4地理位置C51、 问题 6-1“选择最佳工作问题 ”的层次结构图如下图所示 2、构造两两比较矩阵设要比较 个因素 对上一层 的影响程度，即要确定它在 中所nnC,21 OO占的比重。对任意两个因素 和 ，用 表示 和 对 的影响程度之ijijaiCj比，按的比例标度来度量 。),21,(
4、nij即 取 1，2，9 及其倒数 ， ， ，它们代表的意义如下表 3 所ija 9示。表 6-2 比例标度值标度 ija 含义1 与 的影响相同Cij3 比 的影响稍强5 比 的影响强ij7 比 的影响明显的强9 比 的影响绝对的强ij2，4，6，8 比 的影响之比介于上述两个相邻等级之间Cij1， ， 9与 的影响之比为上面 的互反数ij ija以全部比较结果 （ ）为元素构成的矩阵ija,12,nA ija)(称为两两成对比较矩阵（或判断矩阵） 显然， ，且 ，所以又称 A 为正互反矩阵。0ija1(,2,.)jiij na由正互反矩阵的性质，只要确定 A 的上（或下）三角的 个元素即2
5、)1(n可如果比较矩阵 A 的元素具有传递性，即满足（ ） ，ikjija nj,2,1,则称 A 为一致性矩阵，简称一致阵例如，在问题 6-1 选择最佳工作问题中，不妨假设该学生的偏好及 1-9 比例标度，两两比较准则层中五个因素对目标层的影响程度，比较矩阵：A 14/5/173/571一般地，对于定性因素常用 1-9 比例标度确定两两比较矩阵而对于定量的因素可直接用各因素的数值之比来确定两两比较矩阵设 个方案（或对象）的某定量因素的数值分别为 ， ， ，则n 12n方案层对因素的两两比较矩阵，令 .iijja,) n（11212212/nnnn A不难验证 （ ） ，所以 为一致阵如果矩阵
6、ikjiaj,21, A是 阶一致阵一致阵则：A（1） 的秩为 1，且有唯一非零特征根 ；n（2） 的任一列（行）向量都是对应于特征根 的特征向量例如，问题 6-1 中方案层三个单位对准则层中五个因素的两两比较矩阵：A1 , A2 ，A 3 ，153/ 1/35/ 15/A4 ，A 5 / /三、 确定相对权重向量和一致性检验 常用的向量变换方法：归一化法设向量 ，令12(,)nw， ，1iiin,2则称 为向量 的归一化向量12(,)n w1. 确定相对权重向量的方法（1）特征根法设 是因素 ， ， 对目标的两两比较矩阵A1C2n如果 是一致阵，则 A 有唯一非零特征根 ，则用特征根 对应的
7、归一nn化特征向量 作为因素 ， ， 对目标的权重向量，即称为相对权wC重向量 如果 A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，Saaty 等人提出用 A 的最大特征根 对应的归一化特征向量 w 作为相对权重向量，即满足:maxA w wmax的特征向量 w 归一化后作为 ， ， 对目标的相对权重向量-特征1C2n根法例如，利用 MATLAB 软件，可求出选择最佳工作问题中所构造的比较矩阵A 的最大特征根为 =5.090 4，对于的特征向量为max(2)0.674,.5,0.28,.,0.58),T将 归一化处理可得准则层对目标层的相当权重向量为w，(2).3,.,.136,.,.其中 上标中的
8、 2 表示权重向量为第二层的相对权重向量.()注：计算比较矩阵 A 的最大特征根的 MATLAB 命令为 eig(A),计算特征向量的命令为X,D=eig(A),如：在命令窗口中输入A=1 1 3 3 7;1 1 3 3 5;1/3 1/3 1 1 4;1/3 1/3 1 1 4;1/7 1/5 1/4 1/4 1;eig(A)运行得运行X,D=eig(A)得 最大特征根 5.0904 对应的特征向量为.(0.6742,.5,0.28,.,0.58)T需要指出的是：用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，尤其是当矩阵的阶数比较高时.因此，在实际应用中，常常用近似方法计算两两比较矩阵的最大
9、特征根及对应的归一化特征向量（即相对权重向量）.下面介绍两种常用的近似计算方法，即和法和根法.（2）和法（算术平均法）第一步：将矩阵 的每一列向量归一化: ，A()ijnaA其中 （ ） ；1ijijnija,2,第二步：对 按行求和得向量 ，其中 （12(,)Tnw 1niija） ；ni,21第三步：将 归一化得近似特征向量12(,)Tnw即为相对权重向量12(,)Tn第四步：计算 得最大特征根的近似值，即 其中1()niiAmax表示 的第 个分量()iAw（3）根法（几何平均法）根法的步骤与和法的步骤基本相同，只需将第二步改为：第二步：对 按行求积，并开 次方得 ，其中An12(,)T
10、nw（ ） 1()niija,2下面就问题 6-1 中所构造的两两比较矩阵 ， ， , , ,来求最大特1A2345A征根和相应的权重向量.（1）由矩阵 的构造法可知， 是一致阵，所以最大特征根 ， 的1A1 131任一列向量均为 的特征向量，不妨取 将 归一化即可得权(3)w,5)T(3)1w重向量为 (3)10.,.1,0.56).Tw其中 上标中的 3 表示权重向量是第三层的相对权重向量，下标 1 表示对()准则层的第一个因素.（2）对于矩阵 ，下面用和法来求它的最大特征根及相应的权重向量.2A21/530.1.304.769562/ .8 列 向 量 归 一 化，0.8190.3.75
11、265 按 行 求 和 归 一 化 (3)2w= ，得(3)2Aw6.40912.19.40.7913.87303265对于上面的计算过程，可用 MATLAB 编程实现，MATLAB 程序如下：n=3;A=1,1/5,1/3;5,1,3;3,1/3,1；for j=1 : na=A(:, j) ;d( j )=ones(1, n)*a; end % 列项求和for i=1 : nfor k = 1 : nB(i, k)=A(i,k)/d(k); % 归一化矩阵endb(i)=B(i,:)*ones(n , 1) ; %按行求和end for i=1 : nw(i)=b(i)/n; %归一化en
12、dwf=A*w;f=f./w;g=ones(1, n)*f;lmt=g/n（3）用与（2）相同的计算方法，可以分别计算得到矩阵 , , 的最大3A45特征根和相应的权重向量，计算结果如表 6-3 所示.表 6-3 问题 1 中 的权重向量 和最大特征根kA)3(kwkk1 2 3 4 53.006.71.63.063.01.3.429.2.12.)(kw56.0205.1.605.605.k3 387.3 387.387.2. 一致性检验在实际中 ，用 1-9 比例标度构造构造一致阵是不太容易的，大多数 3 阶及3 阶以上的两两比较矩阵不是一致阵事实上只要不一致程度在一定的容许范围内，就认为构
13、造的正互反矩阵是合适的Saaty 给出衡量比较矩阵不一致程度的指标设 是 阶正互反矩阵， 为 的最大特征根，则 的一致性指标:AnmaxAA为了确定 的不一致性程度的容许范围，Saaty 又引入了随机一致性指标 通RI常是由实际经验给定的，对于不同的 ， 的值如表 6-4 所示nRI表 6-4 随机一致性指标 的数值In1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51当 时， 阶正互反矩阵 的一致性指标 与同阶的随机一致性指标3nACI之比称为一致性比率指标，记为 ，即I R一般地，当 时，则认为
14、矩阵 的不一致程度在容许范围之内，这1.0C时可用其归一化特征向量作为权重向量例如，由前面的计算可知，问题 6-1 中所构造的矩阵 的一致性指标A一致性比率 ，所以通过5.094.26,1I 0.26.0.11IR一致性检验， 可以作为准则层对目T)45.,3.,6.0,3.570()w标层的相对权重向量.同样的方法可计算出 ， ， ， 和 的一致性指标和一致性比率指1A2345标，结果如表 6-5 所示.表 6-5 问题 6-1 中矩阵 的一致性指标和一致性比率指标kAk 1 2 3 4 5CIk 0 0.0193 0 0.0193 0.0193CRk 0 0.0334 0 0.0334 0
15、.0334由表 6-6 可知， 所以一致性检验全部通过，表 6-4.1(,2.5),kCR所给出的向量均可以作为方案层对准则层中各因素的相对权重向量4、确定组合权重向量和组合一致性检验1. 组合权重向量设第 层有 个元素，第 层有 个元素，并且第 层 个元素对1pn(3)pm1pn目标层的权重向量: ()(1)()(1)2,1ppTnw第 层 个元素对上一层（第 层）上第 个元素的权重向量:mj， ，()()()12,pppTjw ,j则 行 列矩阵 表示第 层上 个元素对第 层n()()()12,pppnmW p1p上各元素的权重那么第 层上各元素对目标层（最高层）的组合权重向量为 ()()
16、1)ppwW一般地，对任意的 （ ） ，有3( ),()()1)()1)(3)2pppww 3p其中 表示第二层上各元素对最高层（目标层）的权重向量)2(2. 组合一致性检验组合一致性检验可以逐层进行设第 层的一致性指标为 ，p)(1pCI， ，随机一致性指标为 ， ， ，则第 层的)(2pCI)(pmI )(1RI)(2p)(PmR组合一致性指标为 ()()()()(1)12,pppmCIII w组合随机一致性指标: ()()()()1)12,pppRIIR组合随机一致性比率:( )()(1)pppCI3当 时，则第 层通过组合一致性检验，依次类推，当最低层第1.0)(pCR层的组合一致性比
17、率 时，则整个层次通过一致性检验k1.0)(kCR例如，问题 6-1：第二层对目标层的权重向量为，T)045.,1326.,.,36.,57.)2(w方案层对准则层上各元素的权重矩阵: (3)0120.3492.56.605. W则组合权重向量(3)()2w0.38,.2,.3)T组合一致性检验：， ， (2)0.6CI(2)1.RI().CR方案层对目标层的组合一致性指标、组合随机一致性指标、组合一致性比率: (3)(3)()(3)2 (2)125,(0,.193,0.,.193 IIww 0.9，()()()() (2),.8,5.,8.5RR .83(3)(2)()CI. 70.由 ，则
18、通过组合一致性检验(3)0.1于是，可以认为整个层次通过一致性检验，组合权重向量 可以作为最终(3)w的决策依据.由 可知，单位的权重最大，选择用人单位 P1是该学生的最佳方(3)w案，单位 P3次之，单位 P2最差.6.2 多层次分析的方法当准则数量过多（比如多于 9 个）时，应进一步分解出子准则层，将中间层准则层分为几个子层构造两两比较矩阵是整个层次分析的数据依据，在实际中应由经验和知识丰富、判断能力强的专家或群体完成如果一致性检验没有通过，要反复修正比较矩阵，直到通过一致性检验为止下面通过具体案例说明多层次分析法的实现过程.【案例 6-1】选拔优秀参赛队员问题1问题的提出设某学校数学建模
19、教练组根据实际需要，拟从报名参赛的 20 名队员中选出15 名优秀队员代表学校参赛表 6-6 给出了 20 名队员的基本条件的量化情况。请根据这些条件对 20 名队员进行综合评价，从中选出 15 名综合素质较高的优秀队员 表 6-6 各队员的主要条件条件 k队员 i学科知识竞赛成绩 )1(ir思维敏捷度 )2(ir知识面宽广度 )3(ir写作能力 )4(ir计算机应用能力 )5(ir团结协作能力 )6(ir1S86 9.0 8.2 8.0 7.9 9.5282 8.8 8.1 6.5 7.7 9.1380 8.6 8.5 8.5 9.2 9.6485 8.9 8.3 9.6 9.7 9.75S
20、88 8.4 8.5 7.7 8.6 9.2692 9.2 8.2 7.9 9.0 9.0792 9.6 9.0 7.2 9.1 9.2892 8.0 9.8 6.2 8.7 9.79S70 8.2 8.4 6.5 9.6 9.31077 8.1 8.6 6.9 8.5 9.483 8.2 8.0 7.8 9.0 9.2290 9.1 8.1 9.9 8.7 9.51396 9.6 8.3 8.1 9.0 9.74S95 8.3 8.2 8.1 8.8 9.3586 8.2 8.8 8.4 8.6 9.01691 8.0 8.6 8.8 8.4 9.4793 8.7 9.4 9.2 8.7 9
21、.5884 8.4 9.2 9.1 7.8 9.119S87 8.3 9.5 7.9 9.0 9.62078 8.1 9.6 7.6 9.0 9.22问题的分析与假设这是一个半定性与半定量、多因素的综合选优排序问题鉴于数学建模竞赛不仅要考查学生的学科知识、还要考查学生的写作能力、计算机应用能力、团结协助能力等多方面的因素，要从 20 名队员中选拔出优秀参赛队员，就要对表 6-7 中所列的六个因素进行比较分析，综合排序选优。模型的假设：（1）题目中所确定的考评条件是合理的，能够反映出参选队员的建模能力；（2）各参选队员的量化得分是按统一的量化标准得出的；（3）对参选队员的量化打分是公平的，所有参
22、选队员对打分结果无异议；（4）选拔队员所考虑的六个因素在选拔优秀队员中所起的作用依次为学科知识竞赛成绩、思维敏捷度、知识面宽广度、写作能力、计算机应用能力、团结协助能力，并且相邻两个因素的影响程度之差基本相同 3. 模型的建立与求解（1）建立层次结构图建立如下图所示的层次结构图第一层为目标层：选拔优秀参赛队员；第二层为准则层：选拔优秀队员时所考虑的 6 个因素，依次为学科知识竞赛成绩、思维敏捷度、知识面宽广度、写作能力、计算机应用能力、协助能力；第三层为方案层：参选的 20 名队员 优C2优3优优C5优 6优4优P1优P20优O优C优优优O优优优1（2）确定准则层对目标层的权重向量根据假设，构
23、造准则层对目标层的两两比较矩阵： 12/314/516/2/34/ 4512/ 6A这是一个 6 阶的正互反矩阵，用和法计算 的最大特征根: ，相Amax6.23应归一化特征向量: (2)0.3794,.28,0.164,.2,0.65,.4)Tw一致性指标: ，随机一致性指标: ，一致性比率:().CI (2)1.RI，通过一致性检验， 为准则层对目标层的权重向量(2)0.198.CR)2(w根据表 6-6 和模型假设，构造方案层中 20 个队员对准则层中各因素的两两比较矩阵:k，其中 ， （ ， ） 20)(kijbB)()(jkjiirb20,1,j 6,1k显然，所有的 （ ）均为一致
24、阵，于是， 的最大特征根k6,1 B， ， ，2)(maxkCIkR的任一列向量都是 的特征向量，将其归一化得方案层对 的权k )(max Ck重向量 .于是，方案层对准则层的权重向量矩阵为:)3(w1,6620)3()(231（,wW一致性比率为 ，通过一致性检验0(,kCR（4）确定方案层对目标层的组合权重向量方案层对目标层的组合权重向量:=（0.0498, 0.0474, 0.0490, 0.0513, 0.0497, 0.0517, (3)()2w0.0526, 0.0504, 0.0450, 0.0464,0.0480, 0.0523, 0.0535, 0.0511, 0.0496,
25、 0.0505, 0.0531, 0.0500, 0.0506, 0.0481)T显然，组合一致性指标 ，组合一致性比率为(3)()(3)(3)2126,0CIICw2()R0.98.1通过组合一致性检验，组合权重向量 可作为决策依据3将权重 的 20 个分量分别作为 20 名队员的综合实力，从大到小依次为(3)w， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，13S712S641S9168S15S13， ， ， ， 2009根据排名结果，淘汰最后 5 名队员 ， ， ， 和 ，其余 15 名队2012109员入选优秀参赛队员4. 模型的结果分析与推广（1）由表 6-7，20 名队员
26、六项条件互有强弱，利用层次分析法得到了一种合理的综合排序方案，结果选出了综合实力较强的 15 名队员第 13 号队员各项条件总体较强，排在了第一位；第 9 号和第 10 号队员各项条件总体较弱，排在后两位 （2）该模型还可以应用到三好学生的评选问题、旅游景点的选择问题、综合实力的评价分析问题等6.3 不完全层次分析方法在有些问题中，其层次结构的上一层的每一个因素不一定支配所有下一层因素，或被下一层所有因素影响例如准则层中的一个因素只支配下一层的部分因素，这种层次结构图称为不完全的层次结构图 对于这类不完全层次结构图，可以将不支配的因素的相对权重置为 0构造两两比较矩阵时只比较有关系的因素，这样
27、就可以得到子准则层对准则层中各因素的权重向量，之后就可以用完全层次结构的方法 【案例 6-2】物流企业的综合评价问题1.问题的提出在当今这个信息社会、物流高度发达的时代，物流企业如雨后春笋般涌现出来，他们的经营、管理状况直接影响着整个行业的发展和社会经济秩序的稳定。作为物流行业的行业组织或评级机构，往往需要对各个物流公司进行综合评价，以便引导行业的健康发展，并为相关行业、部门提供决策参考或咨询根据国家物流企业的分类和评估指标的有关规定，综合服务型物流企业的评估指标体系如下：（1）经营状况与资产：年综合物流营业收入和营业时间、资产总额和资产负债率等；（2）设备设施：自有或租用仓储面积、自有或租用
28、货运车辆和运营网点等；（3）管理与服务：管理制度与质量、业务辐射面、物流服务方案与实施、顾客投诉率等；（4）人员素质：中高层管理人员素质和业务人员素质等。分别指中高层管理人员中具有大专以上学历或行业组织物流师认证的比例、业务人员中具有中等以上学历或专业资格的比例；（5）信息化水平：网络系统、电子单证管理、货物跟踪、客户查询等假设某物流行业评估机构组织专家对四个综合服务型物流公司进行相关指标的评估和采集，专家们经过认真分析，从中选出主要的、有区别的一些指标如表 6-7 所示表 6-7 四个物流公司的各项指标公司 nP年综合物流营业收入 (万元)营业时间(年) 资产总额 (万元) 资产负 债率自有
29、或租用仓储面积(m2)自有或租用货运车辆（辆）运营网点(个)业务辐射面14000 3 6000 30% 5000 300 35 省内28000 8 10000 60% 12000 600 100 全国39000 10 9000 50% 10000 500 80 国际4P5000 4 5000 35% 4500 400 50 省内公司 n顾客投诉率中高层管理人员素质业务人员素质 网络系统电子单证管理 货物跟踪 客户查询10.1% 80% 70% 全部网络 80% 90% 自动2P0.4% 70% 60% 部分网络 70% 60% 自动30.5% 80% 70% 全部网络 90% 80% 自动、人
30、工40.2% 60% 50% 部分网络 60% 50% 人工请根据表中的信息，对四个物流企业进行定量的综合评价，并进行排序2. 问题的分析与假设由表 6-7，评价指标有定量的，也有定性的，四个公司各指标的值互有强弱。这是一个定性与定量相结合的综合评价选优排序问题，利用层次分析法进行分析决策(1) 根据对相关专家及客户的调查，五个一级指标对综合评价的影响由大到小依次为经营状况与资产、设备设施、管理与服务、信息化水平、人员素质指标的量化方法：业务辐射面：省内为 1，全国为 2，国际为 3；网络系统：全部网络化为 3，部分网络化为 1；（2）由于资产负债率和顾客投诉率越高对评价越不利。需要把表 6-
31、8 中的数据进行处理不妨设：资产负债率指标的量化值=1资产负债率；顾客投诉率指标的量化值=1顾客投诉率根据表 6-7 和上面的分析，表 6-7 中的指标量化值如表 6-8 所示假设：（1）对于表 6-8 中所列指标及相应量化值，四个物流公司均无异议，且能够反映它们的实力；（2）五个一级指标对综合评价的影响由大到小依次为经营状况与资产、设备设施、管理与服务、信息化水平、人员素质，且相邻两个影响之差基本相同；（3）二级指标的量化值是在广泛进行专家咨询及客户调查的基础上产生的表 6-8 四个物流企业的各项指标及量化值公司 nP综合物流营业收入 )1(nZ营业时间)2(nZ资产总额 )3(资产负债率
32、)4(nZ自有或租用仓储面积 )5(n自有或租用货运车辆 )6(nZ运营网点 )7(业务辐射面 )8(nZ14000 3 6000 70% 5000 300 35 128000 8 10000 40% 12000 600 100 239000 10 9000 50% 10000 500 80 34P5000 4 5000 65% 4500 400 50 1公司 n顾客投诉率 )9(Z中高层管理人员素质 )10(nZ业务人员素质 )1(n网络系统 )2(Z电子单证管理 )13(n货物跟踪 )14(nZ客户查询 )5(nZ199.9% 80% 70% 3 80% 90% 32P99.6% 70%
33、60% 1 70% 60% 3399.5% 80% 70% 3 90% 80% 5499.8% 60% 50% 1 60% 50% 13. 模型的建立与求解（1）建立层次结构图根据题目所给的各评价指标确定目标层、准则层、子准则层和方案层，建立如层次结构图第一层：物流企业的综合评价；第二层：评价物流企业的五个一级指标，依次为经营状况与资产、设备设施、管理与服务、信息化水平和人员素质；第三层：评价物流企业的二级指标，即年综合物流营业收入等 15 个指标；第四层 P：参评的四个物流企业 (2) 确定准则层对目标层的权重向量根据假设（2） ，准则层对目标层的两两比较矩阵： 12345/12/4/153
34、A由和法计算最大特征根及对应的归一化特征向量：， max5.0683(2)0.46,.218,0.6,.98,0.624)Tw图 6-7 物流企业综合评价的层次结构图(2) 确定准则层对目标层的权重向量一致性指标 ，随机一致性指标 ，一致性比率(2)0.17CI12.)(RI，通过一致性检验 为准则层对目标层的权(2)().53.IR)2(w重向量(3) 确定子准则层对准则层的相对权重向量先构造 ， ， 和 对 的两两比较矩阵 ，并由比较矩阵计算1D2134D1C1A出相对权重向量 ，)3(w将子准则层中不影响 的因素（不受 支配的因素）对应位置权重置为110，从而写出子准则层 15 个因素对
35、 的相对权重向量 1)3(1w类似地，分别确定子准则层各因素对准则层中 ， ， ， 的相对权重向24C5量构造子准则层对准则层 ， ， ， 和 的两两比较矩阵:1C2345， ， ，13/2/15/A12/2A15/3A， 13/4 13/5用和法计算各矩阵的最大特征根和对应的归一化特征向量:， ， ， ， ；1.0232452, (3)94,.750,.8)Tw，()2)T，(3)4.,12.,3)T()5075)Tw一致性检验：， ；1.)3(1CI)3(2I 0)3(5)(4)3( CI， RRRC子准则层 15 个因素对准则层各因素的相对权重向量：；(3)10.96,75.039,.1
36、8,)Tw；()22,0)T；(3)0,0.83,167,0,)Tw；()4 5.2.3750,T(3)5,)T以它们为列向量构成的矩阵：(3)()3()3()1245,Www子准则层对目标层的组合权重：(3)() ,13.065,.07,16.0,.T)43237,.04.第三层对目标层的组合一致性检验：，0.),( 2(35)(4)3()(2)31)3 wCIICI，615()()()() RR，.091.)3()2()3( I通过组合一致性检验（4）确定方案层对子准则层的相对权重向量根据表 6-9 的数据，分别构造方案层中四个物流公司对子准则层中各因素的比较矩阵 ,其中 ( ， ） ()
37、4kbijB)(kjiijZ1,23415,2k由矩阵 （ ）都是一致阵,矩阵 的最大特征根 ，k521 kB4k，将其任一列向量归一化后可得方案层对子准则层中因素 的相对权0)4(kCI C重向量 .()w以 为列向量可得第四层对第三层的权重向量矩阵.)4(k（5）确定方案层对目标层的组合权重向量、并进行 综合排序方案层对目标层的组合权重向量：=(4)()3wW(4)3(2)w0.19,.325,0.1,.837)T第四层对目标层的组合一致性检验：组合一致性指标：),(3(4(15)4(2)1)4CIICI组合随机一致性指标：90.),(3(4(15)3(2)1)4 wRIR组合一致性比率：
38、1.059.)4()3()4( RIC第四层通过组合一致性检验，组合权重向量 (4)wT)837.,2.,0.,19.可以作为最终的决策依据由此可以看出，物流公司 的综合评价最高，P实力最强，四个公司的实力由强到弱的排序结果为 ， ， ， 32144. 模型的结果分析与推广(1) 模型采用的评价指标及相关数据均来自权威网站，层次分析过程中所构造的两两比较矩阵均是根据网络调查的方法得到，有较高的可靠性，能够系统、公正、有效地评价综合服务型物流公司的综合实力 (2) 该模型具有广泛的应用价值，还可以应用到其它类似的评价问题中，例如，科技成果的综合评价问题、人才的录用问题等6.4 层次分析方法的其他
39、问题在上节中，介绍了不完全层次结构出现在准则层与子准则层中权重向量的确定方法.但是，当不完全层次结构出现在准则层与方案层之间时,如果再用上述方法,简单地将不支配因素的权重分量置为 0，按完全层次结构来处理，则可能会出现不合理的结果.下面通过一个实际案例来说明这类问题，并介绍这类不完全层次结构问题中确定权重向量的常用方法.【案例 6-3】高校教师业绩的评价问题1.问题的提出任何单位都要根据一定的条件，对其员工进行业绩考核或选优排序.例如，某高校要根据实际的教学、科研情况，对所属的教师进行业绩考核.假设要对某四位教师 ， ， ， 进行年终业绩考核，其中 ， 只从事教学工作，1P234P1P3只从事
40、科研工作， 是教学和科研二者兼顾.请你给出一种合理的、科学的、42公正的评价方法，对四位教师的业绩进行综合评价.2. 问题的分析与假设根据题意，建立如图 6-7 所示的层次结构图.可以看出：教学因素支配方案层中的 ， 和 ，而科研因素只支配方案层中的教师 和 ，因此，这是一1P23 2P4个不完全层次结构问题，而且不完全层次结构出现在准则层与方案层之间.下面分别从不同的角度给出这类不完全层次结构问题中常用的权重向量确定方法.为了建立模型，作如下假设：（1）教学和科研在教师业绩评价中的重要性相同；（2）四位教师都有能力从事教学或科研工作，具体所从事的工作是由上级部门指派的；（3）四位教师都有能力
41、从事教学或科研工作，教师所从事的工作完全是由教师自己的兴趣选择确定，而且上级主管部门希望教师二者兼顾，并鼓励从事人数较少的那一类工作.图 6-7 教师业绩评价的层次结构3. 模型的建立与求解首先，通过假设（1）和（2）的特殊情况来说明：将不支配因素的权重分量简单地置为 0 不太合理.模型（1）：将不支配因素的权重分量置为 0 后，按完全层次结构来处理.根据假设，可以得到准则层对目标层的权重向量为 (2)(2)()11,.2Tw方案层对准则层中教学、科研两个因素的相对权重向量分别为 (3) (3)1 2,0,0, TT于是，方案层对准则层的权重向量矩阵为 (3)(3)()12,Ww故方案层对目标
42、层的组合权重向量为 (3)()25,.64T由此可以看出，这个评价结果是不太合理的.因为按照假设（1）和（2） ，公正的评价是：只从事教学或科研工作的 ， ， 三人的业绩评价应该相同，1P34是他们的两倍，但其结果并非如此.那么，问题出在哪里，如何才能做到合理、2P公正的评价呢？下面给出两种常用的方法.模型（2）：用支配因素的数量对权重向量 进行加权. (2)w由于教学因素和科研因素分别支配第三层中的 3 个因素和 2 个因素，记根据假设（ 1）和（2）可取123,.n()(2)()21,1.2TTwn再把 归一化处理，则得到准则层对目标层的权重向量为(2) (2)3,.5T于是，第三层方案层
43、对目标层的组合权重向量为 (2)(3) 1,.TwW显然，这个评价结果与实际情况一致，即是公平的评价结果. 模型（3）: 用支配因素数量的倒数对权重向量 进行加权.(2)w与模型（2）相似，取 根据假设（1）和（3）可取12,.n()()(2)12,.64TTw再把 归一化处理，则得到准则层对目标层的权重向量为(2)w (2)3,.5Tw于是，第三层方案层对目标层的组合权重向量为 (2)(3) 12,.30TW显然，这个评价结果也是合理的，从事双份工作的 业绩最高， ， ， 虽2P1P34然都只从事一份工作，但由于 从事的是从事人数较少的工作，所以业绩比 ，4P 1略高，这也是符合实际情况的.
44、 3P4. 模型的结果分析与推广（1）模型（2）是按支配因素越多，权重越大思想来修正权重的.这种方法只适合于教师都有能力从事教学和科研工作，具体所从事什么工作完全是由上级安排的. 当然，在能力相同的条件下，承担教学和科研两项工作，自然业绩就会高.（2）模型（3）是按支配因素越多，权重越小思想来修正权重的.这种方法适合于教师所从事的工作完全是由教师自己的兴趣选择确定，而且上级主管部门希望教师二者兼顾，并鼓励从事人数较少的那一类工作.（3）模型（2）和模型（3）可以推广到一般情形，即：对于不完全层次结构出现在准则层与方案层之间的类型，可根据需要用支配因素的数量或数量的倒数来做加权处理，修正准则层中
45、各因素的权重，从而得到公正的、符合实际的综合评价结果.层次分析法的几点说明：1层次分析法的优点（1）系统性把所研究的问题看成一个系统，按照分解、比较判断、综合分析的思维方式进行决策分析，也是实际中继机理分析方法、统计分析方法之后发展起来的又一个重要的系统分析工具（2）实用性把定性与定量方法结合起来，能处理许多传统的优化方法无法处理的实际问题，应用范围广而且将决策者和决策分析者联系起来，体现了决策者的主观意见，决策者可以直接应用它进行决策分析，增加了决策的有效性和实用性（3）简洁性具有中等文化程度的人都可以学习掌握层次分析法的基本原理和步骤，计算也比较简便，所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握2层次分析法的局限性局限性是粗略、主观首先是它的比较、判断及结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；其次是从建立层次结构图到给出两两比较矩阵，人的主观因素作用很大，使决策结果较大程度地依赖于决策人的主观意志，可能难以为众人所接受
