1、平面向量的概念及运算一 【课标要求】（1 ）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2 ）向量的线性运算通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义（3 ）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二 【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出
2、题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值 59 分。预测 2010 年高考：（1 ）题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题；（2 ）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。三 【要点精讲】1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用 cba,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： AB几何表示法， ；坐标表示法 ),(yxjia。向量的大小即向量的模（长度） ，记作| |
3、即向量的大小，记作 |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0与任意向量平行零向量a 0。由于 的方向是任意的，且规定 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。 （注意与 0 的区别）单位向量模为 1 个单位长度的向量，向量 0a为单位向量 0a1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作 a b。由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究
4、的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 ba。大小相等，方向相同 ),(),(21yx21yx。2向量的运算（1 ）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设 ,ABaCb，则 a+ = ABC=。规定：（1 ） 0；（2 ）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1 ）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条
5、对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2 ） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ABCDPQRA，但这时必须“首尾相连” 。（2 ）向量的减法 相反向量：与 a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量记作 ,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i） )(a= ； (ii) a+( )=( )+ =0；(iii)若 、 b是互为
6、相反向量，则 = b, = , +b=0。向量减法向量 加上 b的相反向量叫做 a与 的差，记作： )(a求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法： 可以表示为从 b的终点指向 a的终点的向量（ a、 b有共同起点） 。（3 ）实数与向量的积实数 与向量 a的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下：（） ；（）当 0时， 的方向与 的方向相同；当 0时， a的方向与 的方向相反；当 时，a，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律3两个向量共线定理：向量 b与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 b= a。4平面向量的基本定理如果 21,e是一个平面内的两个不共线向量，那么
7、对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使： 21ea其中不共线的向量 21,e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5平面向量的坐标表示（1 ）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 ,ij作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a可表示成axy，由于 a与数对(x,y) 是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量 的坐标，记作 a=(x,y)，其中 x 叫作 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标。规定：（1 ）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2 ）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，
8、只与其相对位置有关系。（2 ）平面向量的坐标运算：若 12,axybxy，则 12,abxy；若 BA，则 2A；若 =(x,y)，则 a=( x, y)；若 12,axybxy，则 121/0abxy。6向量的数量积（1 ）两个非零向量的夹角已知非零向量 a 与 a，作 OA ， B b，则A A（）叫 a与 b的夹角；说明：（1）当 时， 与 同向；（2）当 时， a与 b反向；（3）当 时， 与 垂直，记 a b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围 0180。（2 ）数量积的概念已知两个非零向量 a与 b，它们的夹角为 ，则 ab= cos 叫做 a与b的数量积（或
9、内积） 。规定 0；向量的投影： bcos = |aR，称为向量 b在 a方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3 ）数量积的几何意义： b等于 的长度与在 方向上的投影的乘积（4 ）向量数量积的性质向量的模与平方的关系： 2|a。乘法公式成立22abb；2a2ab；平面向量数量积的运算律交换律成立： b；对实数的结合律成立： abaR；分配律成立： cc。向量的夹角：cos = os,ab= 221yxyx。当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅当 a与 b反方向时 =180 0，同时 0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题（5 ）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量 12
10、(,)(,)axyb，则 ab= 12xy。（6 ）垂直：如果 与 的夹角为 900 则称 与 垂直，记作 a b。两个非零向量垂直的充要条件： O 021yx，平面向量数量积的性质。（7 ）平面内两点间的距离公式设 ),(yxa，则 22|yxa或 2|yxa。如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ),(1x、 ),(2y，那么2121)()(| yxa(平面内两点间的距离公式 ) 2向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2 ）向量在物理中的应用。五 【思维总结】数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量
11、的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点（1 ）向量的加法与减法是互逆运算；（2 ）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3 ）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行则包括共线（重合）的情况；（4 ）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系
