1、题目部分，(卷面共有 100 题,349.0 分,各大题标有题量和总分)一、选择 (10 小题,共 22.0 分)(2 分)1(2 分)2 函数项级数 的收敛域是1nx(A) 1,(B) (C) ,(D) 1答( )(2 分)3 设级数 在 处收敛，则此级数在nnxb20处4x(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。答：( )(3 分)4 设级数 在 处是收敛的，则此级数nnxa301在 处1x(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。答：( )(2 分)5 设级数 的收敛半径是 1，则级数在nnxa10点3x(A)发散；(B)条件收敛；(C)
2、绝对收敛；(D)不能确定敛散性。答：( )(2 分)6 如果 ,则幂级数81limna03nxa(A)当 时,收敛；2x(B) 当 时,收敛；8(C) 当 时,发散；1x(D) 当 时,发散；2答( )(2 分)7 若幂级数 的收敛半径为 R,那么0nxa(A) ,Ran1lim(B) ,n1li(C) ,Ranlim(D) 不一定存在 .n1li答( )(3 分)8 若幂级数 在 处收敛，在 处发0nxa23x散，则该级数(A)在 处发散；3x(B)在 处收敛；2(C)收敛区间为 ;2,(D)当 时发散。3x答( )(2 分)9 如果 在 点的某个邻域内任意阶可导，那么xf0幂级数 的和函数
3、00!nn(A) 必是 ， (B)不一定是 ，xf xf(C)不是 ， (D)可能处处不存xf在。答( )。 (2 分)10如果 能展开成 的幂级数，那么该幂级数xfx(A) 是 的麦克劳林级数；xf(B)不一定是 的麦克劳林级数；f(C)不是 的麦克劳林级数；x(D) 是 在点 处的泰勒级数。f0答( )。二、填空 (54 小题,共 166.0 分)(2 分)1 函数项级数 的收敛域是 132arctnx。(2 分)2 讨论 x 值的取值范围，使当_时收敛1)(nxn当_时 发散1)(nxn(3 分)3 设级数 的部分和函数 ，xun1 12nns级数的通项 。(2 分)4 级数 的和是 n
4、n3)!2(10。(2 分)5 级数 在 上的和11n xnnxee,0函数是 。(3 分)6 设 不是负整数，对 的值讨论级数xp的收敛性011pnn得 当 时，绝对收敛，当 时，条件收敛。(2 分)7 幂级数 的收敛域是 nnx3210。(3 分)8 幂级数 的收敛半径是 ，和112!nnx函数是 。(1 分)9 如果幂级数 的收敛半径是 1，则nnxa10级数在开区间 内收敛。(2 分)10如果 ，则幂级数 在开区间 2lim1nannxa10内收敛。(2 分)11 设幂级数 的收敛半径是 ，nxa0 R则幂级数 的收敛半径是 。nxa20(2 分)12如果幂级数 在 处收敛，在 处01
5、nnxa3x发散，则它的收敛域是 .(5 分)13 幂级数 的通项4321705xx是 ，收敛域是 。(6 分)14 幂级数 的收敛域是 nnx123。(4 分)15 幂级数 的收敛区间是 。014nnx(4 分)16 幂级数 的收敛域是 。n0!(4 分)17 若幂级数 和 的nxa010nxa收敛半径分别为 、 ，则 、 具有1R212R关系 。(3 分)18 设 ，则幂级数3lim1na02nxa的收敛半径是 。(2 分)19 幂级数 的收敛域是 ，nxn1和函数是 。(3 分)20 幂级数 的和函数是 。0!32nnx(3 分)21 幂级数 432 8625141xx的收敛域是 ，和函
6、数是 。(2 分)22 级数 的收敛域25231xx是 ，和函数是 。(2 分)23 若幂级数 的收敛半径是 ，则其nxa0 R和函数在开区间 上是连续的。(2 分)24 如果幂级数 与 的收敛半径nxa0nb0分别是 、 ，则级数 的收敛1R2nn0半径是 。(3 分)25 若幂级数 的收敛半径是 ,则nxa0 R其和函数 在开区间 内是xs可微的，且有逐项求导公式 。(3 分)26 设幂级数 的收敛半径是 ,则其和函数nxa0 R在xs开区间 上可积，且有逐项求积公式 。(4 分)27 函数 的麦克劳林展开成为 4sinx，其收敛域是 。(3 分)28 函数 的麦克劳林展开Rx1式为 ，收
7、敛区间是 。(3 分)29 函数 在 点的1,0aayx 0x泰勒展开式为 ，收敛区间是 。(3 分)30 函数 的麦克劳林展开式为 x_1，收敛域是 。(3 分)31 函数 的麦克劳林级数展开式为 x1，收敛域是 。(5 分)32 函数 的麦克劳林展开式为 xyln，收敛域是 。(6 分)33 函数 关于 的幂级数21lnyx为 ，收敛域是 。(4 分)34 函数 的麦克劳林展开式xy2ln为 ，收敛域是 。(4 分)35 函数 的麦克劳林展开式为xcos，其收敛域是 。(3 分)36 如果 的麦克劳林展开式为xf，则 。nxa20n(2 分)37 函数 在点 的泰勒级数为xe0，收敛区间为
8、 。(2 分)38 函数 的麦克劳林级数为 ，xsin收敛区间为 。(2 分)39 函数 的麦克劳林级数为 ，x1l收敛域为 。(4 分)40 函数 的麦克劳林展开式是 x1ln， 。01lnxd(3 分)41 函数 的麦克劳林展开式为 xcos， 。cosn(5 分)42 函数 关于 x 的幂级数是 xtdey0，。0ny(4 分)43 函数 的麦克劳林展开式为 xsinh，= 。oxnsih(4 分)44 函数 的麦克劳林展开式为 xcosh，。oxncsh(2 分)45 函数 关于 的幂级数012axf x是 ， 。oxnd(6 分)46 函数 的麦克劳林级数为 ，2si。oxn2si(
9、3 分)47 将函数 展开成形如 的幂级xf43101nnxa数时，收敛域是 。(3 分)48 若函数 在点 的某一邻域内任意阶可微，xf0设，那么 在该xRxfkxf nkn00!1xf邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 。(3 分)49 函数 在点 的泰勒展开式是 xy130，其收敛域是 。(3 分)50 函数 的麦克劳林级数是 22cosxy，其收敛域是 。(3 分)51 函数 的麦克劳林级数是 2sinxy，其收敛域是 。(3 分)52 根据 的幂级数展开式将 表x1 818253250示成一个数项级数，该数项级数的前三项(用分数表示)是 。(2 分)53 级数 发散时， 的取值范围是
10、 1nkk。(2 分)54 利用 的幂级数展开式将 表示成一个数项xee1级数，该数项级数的第六项(用分数表示)是 。三、计算 (36 小题,共 161.0 分)(3 分)1 设 ，求级数 的和函数。0x57353 xxx(3 分)2 设 ,10,3,2,11 xnxuxnn 试求级数 的和函数。1nxu(3 分)3 求函数项级数 的和函数 s(x)。0,02xen(4 分)4 求级数 在(-1，1)内的和函数。1nx(4 分)5 设 为 上的连续函数，级数f,，212nnn xffxu其中 0knff ,21n试确定 的收敛域及和函数。xun2(4 分)6 试求幂级数 的和函数。nnx012
11、(5 分)7 试求幂级数 的收敛域。05nn(4 分)8 试求级数 的收敛域。12nx(3 分)9 试求级数 的收敛域。32lglgx(4 分)10 试求幂级数 的收敛半径及收敛域。15nn(4 分)11 试求幂级数 的收敛域。1436nnx(5 分)12求幂级数 的收敛域。123nn(4 分)13已知幂级数 的收敛半径 ，试求0nxa0R的收敛半径。00bxan(5 分)14试求幂级数 的收敛半径及收敛域。02134nnx(5 分)15 试求幂级数 的收敛域。nn18(5 分)16试求幂级数 的收敛域。023nx(5 分)17 试求幂级数 的收敛域。21ln(5 分)18 试求幂级数 的收敛
12、域。121lnnx(6 分)19 试求幂级数 的收敛域。nn30(5 分)20 试求幂级数 的收敛半径。nnx21!(6 分)21 试求幂级数 的收敛域。121l3nn(5 分)22试求幂级数 的收敛半径及收敛域。nnx02(4 分)23 试求幂级数 在其收敛域上的和函数。nn1(5 分)24 试求幂级数 在收敛域上的和函数。14nx(2 分)25 试求级数 nxxee2的收敛域。(3 分)26试求幂级数 的收敛半径。nkx12!(2 分)27 试求幂级数 的收敛半径。nkx12!3(6 分)28 设 ，确定 的连续1nnxf xf区间，并求积分 的值。310dxf(6 分)29 设 ，确定
13、的连续区012nnxf xf间并计算 的值。10dxf(6 分)30 设 ， ，0!1nnxf 1,0xgn试用幂级数表示 。f(6 分)31 设 ，0!nxf1,0xgn试用幂级数表示 。 f(6 分)32 设 ，10xxfn21,0xgn试用幂级数表示 。xgfxF(6 分)33 设 ，试确定 ,使得 在13nxf Rxf上可微，并计算 的值。R,4f(6 分)34 设 ，确定 ,使得 在 上可1nxf RxfR,微，并计算 的值。21f(3 分)35 设 ，求 关于234523xxf hxfh 的麦克劳林级数。(3 分)36 试求函数 关于 x 的幂级数.dtexf02=答案=答案部分，
14、(卷面共有 100 题,349.0 分,各大题标有题量和总分)一、选择 (10 小题,共 22.0 分)(2 分)1答案C(2 分)2答案B(2 分)3答案B (3 分)4答案D (2 分)5答案A (2 分)6答案A (2 分)7答案( D ) (3 分)8答案( D ) (2 分)9答案(B) (2 分)10答案(A) 二、填空 (54 小题,共 166.0 分)(2 分)1答案),(2 分)2答案_1x(3 分)3答案nnx221(2 分)4答案。 3cos(2 分)5答案0 (3 分)6答案1p0(2 分)7答案2,1(3 分)8答案xsin(1 分)9答案2,0(2 分)10答案3,
15、1(2 分)11答案R(2 分)12答案3,1(5 分)13答案nx12,(6 分)14答案31,(4 分)15答案41,(4 分)16答案0(4 分)17答案= 1R2(3 分)18答案3(2 分)19答案， 1,。 xln(3 分)20答案xe32(3 分)21答案1,x(2 分)22答案1,0x(2 分)23答案R,(2 分)24答案21,min或为 nab(3 分)25答案R,1nxas(3 分)26答案R,010nnxxads(4 分)27答案02/!)1(nnx,(3 分)28答案nnx1!1,(3 分)29答案02!lnxa,(3 分)30答案0nx1,(3 分)31答案01nn
16、x1,(5 分)32答案12nx1,(6 分)33答案nnx1221,(4 分)34答案12lnnx2,(4 分)35答案 0 122!sin!cos1n xx,(3 分)36答案0!1nf(2 分)37答案0!nx,(2 分)38答案012!nnmx,(2 分)39答案1nnx,(4 分)40答案1,1nx!(3 分)41答案 ,!210nxn ,210,2cos knk(5 分)42答案,1!0nnx,2(4 分)43答案012!nx,knoxn210sih,2,0(4 分)44答案02!nx,1201coshknoxn,0(2 分)45答案02naxa, ,2,1!2knakfn,10(
17、6 分)46答案121!nnx, ,2,1210si 102 knxk(3 分)47答案41,3(3 分)48答案对于该邻域内的任意 ，有x0limRn(3 分)49答案013nnx6,(3 分)50答案!210nxn,(3 分)51答案!1240nxn,(3 分)52答案108532(注：填 也得 10 分)63(2 分)53答案； 1k(2 分)54答案3840(注：答案形式为 也给分)52!1三、计算 (36 小题,共 161.0 分)(3 分)1答案12 12353 n nxxs0,limli12xssnn(3 分)2答案 nnn xxxxs )()()( 1232于是， 1,0lim
18、li xxsxnn(3 分)3答案所给级数是以 为公比的等比级数xe因此，当 x0, ,级数 收敛10xnxe02且和函数 xes2又 x=0 时， ，级数收敛02nx且 =0)(s综上所述 = )(xs0,0,12xex(4 分)4答案解法一= )(xs121nnx = 12nx= 221x解法二 1)(nxs nx432 21543)( )nnx xn32x122(4 分)5答案设 为 的部分和，则xsnxun2xfnkfffknn 10 ,所求和函数 1limfdtfxsn , 所求收敛域为 , (4 分)6答案幂级数的收敛域是 ， 21,所以当 时，有 21,x01nnxs0012nn
19、x(5 分)7答案设 125nxun因为 2limxn所以当 时，级数收敛； 1x又当 ，级数发散， 故收敛域为 。 1,(4 分)8答案令 ,原级数化为 , tx112nt当且仅当 时，级数 收敛， t12nt所以原级数的收敛域是 。 ,1,(3 分)9答案令 ,级数化为 , txlg1nt当且仅当 时, 收敛， t1nt所以当 时,原级数收敛， 01x收敛域为 . ,(4 分)10答案令 ,级数 的收敛半径是 1,tx51nt收敛域是 , 故原级数收敛半径是 1, 收敛域是 . 6,4(4 分)11答案由于 ，所以 ， 1limna1R当 时，级数发散； x当 时，级数收敛； 1故收敛域为
20、 . 1,(5 分)12答案令 ,原级数化为 , 1xt 123nnt此级数的收敛半径是 2, 收敛域是 , 2故原级数的收敛域是 . ,(4 分)13答案利用两级数之间的关系，可得:当 , 即 时,级数 收敛， oRbxobxnnbxa0当 时,级数 发散, onxa0所以收敛半径是 . oRb(5 分)14答案设 2134nxun因为 , 21limxn 所以收敛半径 ， 21R而且 时,级数收敛。 x故收敛域为 。 21,(5 分)15答案设 nnxu3812因为 , lim1n所以 , 2R且 时，级数发散， x故收敛域是 。 2,(5 分)16答案设 23nnxu因为 11n 所以当
21、 时，级数收敛， 31x当 时，级数发散， 故收敛域为 。 31, (5 分)17答案设 nanl31由于 ，故 ， lim1n3R且当 时，级数发散; 3x当 时，级数收敛。 所以收敛域是 。 3,(5 分)18答案因为 ，所以 ， 1limna1R且当 即 时，级数收敛； x0x当 即 时，级数收敛, 12所以收敛域是 。 (6 分)19答案由于 ，所以 ， 1limna1R且当 时，级数收敛， 2x当 时，级数发散， 1故收敛域是 。 3,(5 分)20答案因为 ， 4lim21xun所以当 时，级数收敛， x故收敛半径 。 2R(6 分)21答案因为 ， 213limxun所以当 时，级数收敛， x且当 时，级数发散， 13故收敛域是 。 4,2(5 分)22答案因为 xun21lim所以收敛半径 R=2， 且当|x|=2 时，级数发散。故收敛域为(-2，2)。 (4 分)23答案幂级数的收敛域是 ， 1,所以当 时，有1,x11nnsxl(5 分)24答案幂级数的收敛域是 ， 1,当 时，有 1,xdxsnx140xarctn21l(2 分)25答案这是以 为公比的等比级数 xe令 解得 1x0故所所求收敛域为 。 ,(3 分)26答案412limli1nan
