1、13.3 角的平分线的性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.如图 13-3-1，OB、OC 分别平分ABC、ACB，且BOC128，则A_.图 13-3-1 图 13-3-2 图 13-3-3来源:学。科。网Z。X。X。K思路解析：根据三角形的内角和定理计算BOC=90+ A.12答案：762.如图 13-3-2，ABC 的B 和C 的外角平分线交于 D，A=40，那么D=_.思路解析：用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算，D=90-A.12答案：703.如图 13-3-3，ABCD，点 P到 AB、BC、CD 的距离相等，则P=_.来源:学科网ZXXK思路解析：点 P
2、是同旁内角的角平分线的交点.答案：9010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.作AOB 的平分线的步骤如下：作射线 OC;以 O为圆心，适当长为半径作弧交 OA于M，交 OB于 N;分别以 M、N 为圆心，大于二分之一 MN的长为半径作弧，两弧在AOB 的内部交于点 C;射线 OC即为所求.作法顺序正确的是( )A. B. C. D.答案：C2.如 图 13-3-4，直线 l1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A.一处 B.两处 C.三处 D.四处思路解析：到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点
3、.把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.答案：D图 13-3-4 图 13-3-5 图 13-3-6 图 13-3-73.如图 13-3-5，已知 AB=AC，BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE 与 CF相交于点 D，则：ABEACF；BDFCDE；点 D在BAC 的平分线上.以上结论正确的是( )A. B. C. D.来源:学.科.网 Z.X.X.K思路解析：根据对顶角相等，有BDF=CDE，由“同角的余角相等”得到B=C，证明RtABERtACF（AAS） ，所以 AEAF，则 CE=BF.所以BDFCDE（AAS）
4、.得到DE=DF，所以点 D在BAC 的平分线上.答案：A4.如图 13-3-6，若点 P在AOB 的平分线上，若应用角平分线的性质可得 PA=PB，则必须添加的条件是_.思路解析：注意角平分线上的点到角两边距离相等，这里要添加的是“点到直线的距离”这个条件.答案：PAOA 于 A，PBOB 于 B5.如图 13-3-7，若B=C=90，DBDC，就可以得到点 D在_的平分线上.因为此时 DB、DC 分别是_的 距离.也可得到点 A在_的平分线上，因为_分别是点 A到BDC 的两边 DB、DC 的距离，所以 AD为_的角平分线.答案：BAC D 到 AB、AC BDC AB、AC BDC快乐时
5、光英文老师问：“eye 是什么东西？”学生：“不晓得？”英文老师：“看我鼻子两边是什么？”学生：“是雀斑！”30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.如图 13-3-8，O 点为直线 AB上一点，OC 为一条射线，OD 为AOC 的平分线，OE 为BOC的平分线，则DOE 等于( )A.80 B.90 C.100 D.120思路解析：邻补角的角平分线互相垂直.来源:学科网答案：B2.如图 13-3-9，点 P到 BE、BD、AC 的距离恰好相等，则点 P的位置：在B 的平分线上；在DAC 的平分线上；在ECA 的平分线上；恰是B、DAC、ECA 三条平分线的交点.上述结论中，正确的个数有( )
6、A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个图 13-3-8 图 13-3-9 图 13-3-10思路解析：到角两边的距离相等的点在角的平分线上.答案：D3.如图 13-3-10，BE 是MBC 的平分线，CE 是NCB 的平分线，连结 AE.问：AE 是MAN 的平分线吗？为什么？思路分析：要证 AE是MAN 的平分 线，可证MAE=NAE 或证点 E在MAN 的平分线上.证点 E在MAN 的平分线上可转化为证 E到 AM、AN 的距离相等.由已知条件可以运用角平分线性质解决线段相等的问题.解：AE 是MAN 的平分线.理由：如图，作 EHAM 于 H，EDBC 于 D，EPAN 于 P.来
7、源:Z#xx#k.ComBE 是MBC 的平分线,EHED（角平分线上的点到角两边的距离相等）.同理，EDEP.EHEP.点 E在MAN 的平分线上（到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.AE 平分MAN.4.如图 13-3-11，已知在ABC 中，C=90，AD 平分BAC，若 BC21 cm，且CDBD43.求点 D到 AB的距离.图 13-3-11思路解析：点 D到 AB的距离和 DC的长实际就是角平分线上的点到角两边的距离.过 D作DEAB 于 E，则 DE=DC BC9(cm).37答案：提示：过 D作 DEAB 于 E.5.如图 13-3-12，ABC 中，AD 是它的角平
8、分线，P 是 AD上一点，过点 P作 PEAB 交 BC于 E，点 F在 BC上，连结 PF，已知 D到 PE的距离与 D到 PF的距离相等.求证：PFAC.图 13-3-12思路解析：证明线段平行常用的方法是证明同位角相等或者内错角相等.根据题意知道点 D在EPF 的平分线上，点 D在BAC 的平分线上，由平行的性质还知道EPD=BAD，用“等量代换”即可得到FPD=CAD.证明：D 到 PE的距离等于 D到 PE的距离,点 D在EPF 的平分线上.EPD=FPD.来源:学#科#网 Z#X#X#K又AD 平分BAC,BAD=CAD.PEAB, EPD=BAD.FPD=C AD.PFAC.6.
9、如图 13-3-13，在ABC 中，求证：(1)若 AD为BAC 的平分线，则 SABD S ACD ABAC;来源:学科网(2)设 D为 BC边上一点，连结 AD,若 SABD S ACD ABAC，则 AD为BAC 的平分线.图 13-3-13思路解析：三角形的面积跟高有关，这里有角平分线，不妨过点 D作 AB、AC 的垂线段，把问题转化为角平分线问题.证明：作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F,（1）AD 平分BAC,DE=DF.S ABD = ABDE，S ACD = ACDF,S ABD S ACD =ABAC.212（2）S ABD = ABDE，S ACD = ACDF,S
10、ABD S ACD =（ABDE）（ACDF）.1S ABD S ACD =ABAC, .ABDECFDE=DF.AD 为角平分 线.7.(用尺规作图，不写作法，只保留作图痕迹)在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在 A区内，到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路交叉处 B点 700 m，如果你是红方的指挥员，请你在图 13-3-14所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置.来源:学科网图 13-3-14思路解析：到角两边距离相等的点在角的 平分线上.来源:学科网 ZXXK答案：作 A区所在公路与铁路夹角的角平分线 BM，在 BM上截取 BN=3.5 cm，则 N点即为所求.8.如图 13-
11、3-15，AC 为BAD 的平分线，ADAE.把DAC 沿 AC翻折 180， 图 13-3-15（1）请结合图形填空：DAC_EAC；DC 与 CE的大小关系是 _；D 与CEB 的关系是_.（2）用你得到的结论解决下面的问题：在四边形 ABCD中，已知 ABa，ADb，且 BCDC，对角线 AC平分BAD.问 a与 b大小符 合什么条件时，有DB 180?请画图并证明你的结论.思路解析：翻折图形是全等形.从图形可以看出，若以 C为圆心，CE 为半径画弧，弧与 AB的交点有两个，所以应注意分类讨论.答案：（1） 相等 互补（2）结论：分两种情况：当 ab 时，总有D+ABC=180.证明：如图(1)在 AB上截取 AE=AD.由（1）得D+ CEB=180， EC=DC.BC=CD，EC=BC.作 CHBE，垂足为 H.在 RtCHE 与 RtCHB 中, ,ECHRtCHERtCHB.CEB=B.D+ABC=180.当 a=b，且D=90时，有D+ABC=180.证明：如图(2)AD=AB，BC=CD，AC=AC，ADCABC.D=ABC=90.D+ABC=180.来源:Zxxk.Com
