1、有趣的多边形第 1 页 共 7 页有趣的多边形【内容综述】在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫做凸多边形。下面所说的多边形均指凸多边形。它的重要性质是：几边形的内角和是 ，由于这个结论与边数有关，所以这不是对多边形的最本质的刻划。更加本质的是它的推论：任意多边形的外角和等于 。【要点讲解】多边形中通过连结对角线中把多边形就分割为若干个三角形，这就把研究多边形的问题转化为研究三角形的问题，这是一种重要的研究思路，请读者在下面的解题过程中认真体会这种思路。例 1 已知多边形的内角和是外角和的 3 倍
2、，求这个多边形的边数。思路 设多边数的边数为 n，然后通过已知条件列出 n 的方程，再求出 n 值。解 设这个多边形的边数为 n，根据题意得解之得 n=8答：这个多边形的边数为 8说明 本题通过设边数为 n，然后依题意列出 n 的方程，再求出 n 值。这是运用方程的思想解几何题。这种思想方法今后还会经常用到。例 2 一个多边形的每个内角都等于 ，求这个多边形的边数。思路 1 利用多边形的内角和定理。解法 1 设这个多边形的边数为 n，根据题意得解之得 n=10思路 2 利用多边形的外角和定理。解法 2 因为这个多边形的每个内角都等于 ，所以每个外角都等于，而多边形的外角和是 ，所以这个多边形的
3、边数是.说明 当你们学习了解法 1 和解法 2 后，你们心里产生了怎样的想法呢？显然，解法1 比较传统，解法 2 则标新立异，这就启发我们解题时选择恰当的出发点是多么重要。例 3 一个多边形除了一个内角之外的所有内角和等于 ，求这个多边形的边数和这个内角的度数。思路 利用多边形的内角和定理。有趣的多边形第 2 页 共 7 页解 设这个多边形的边数为 n，这个内角的度数为 X，根据题意有. 又 解之得 又 由 n 是正整数得 n=14 说明 在解题中要重视对题目隐含条件的发掘和利用。如本题中的 x 取值范围是。n 是正整数等。例 4 求证：n 边形的内角中，最多有 3 个锐角。思路 1 用反证法
4、.证法 1 假设 n 边形至少有 4 个锐角，取出 4 个锐角之后剩下的角记为 ， ，则有，得 那么 ， ， 中至少有一个大于 ，而这与 ， ， 中的每一个都小于 180 矛盾。所以，n 边形的内角中，最多有 3 个锐角。思路 2 转化为证明它的等价命题：n 边形的外角中，最多有 3 个钝角。证法 2 因为 n 边形的外角和是 ，所以这 n 个外角中最多有 3 个钝角。 （若有4 个或 4 个以上角是钝角，则外角和就大于 ，这与 n 边形的外角和定理矛盾） 。这 3个是钝角的外角的对应内角就是锐角。所以，n 边形的内角中，最多有 3 个锐角。说明 当要证明的是有关：“最多” 、 “至少”等问题
5、时，常常用反证法证明。通过证法 1、2 的比较后，我们就应认清“多边形的外角和定理”是对多边形的本质刻划。例 5 如图 2-9-1，求 的度数。 有趣的多边形第 3 页 共 7 页思路 要想方设法把这些要求的角集中在一个或几个多边形中。解 连结 AF AD 和 CF 交于 O又在四边形 ABEF 中，有即例 6 如图 2-9-2，试求 的度数。思路 连结 CH，利用五边形 CDEFH 求所求角的度数。 解 连结 HC.在五边形 CDEFH 中，有说明 这类题解决的关键在于通过连结辅助线，巧妙的把所求的角放入若干个多边形中，借助于多边形的内角和来解决问题。例 7 如图 2-9-3， 并且有趣的多
6、边形第 4 页 共 7 页试求 k 的值。思路 利用题设条件求出 的具体值，然后求出 K 的值。解 例 8 己知一个凸十一边形由若干个边长为 1 的等边三角形和边长为 1 的正方形无重叠，无间隙拼成，求该凸十一边形的各内角的大小。思路 设凸十一边形的内角中有 的个数分别为 x, y, z, s. 列出它们满足的关系式，并求出 x, y, z, s 的值。解 设此凸十一边形的各个内角中有 x 个 y 个 z 个 s 个 由题意有由得 代入化简得因为 均为非负整数，所以故 =10.则这个凸十一边形有一个角是 ，有十个内角都是 。强化练习题有趣的多边形第 5 页 共 7 页A 级填空题1. 一个 n
7、 边形的内角和等于它的外角和，则 n=_. 2. 一个凸 n 边形的外角中，最多有一个钝角。 3. 已知凸 n 边形的 n 个内角与某一个外角之和为 ，则 n=_.4. 如图 2-9-4，求A+B+C+D+E 的度数。B 级5. 一个六边形的六个内角都是 ,连续四边的长度依次是 1,3,3,2, 则这个六边形的周长是_.6. 一个多边形有三个内角为钝角,这样的多边形边数的最大值是_。7. 在同一平面上画两个边数各为 的凸多边形 。如果没有任何线段重合，则 的交点数的最大值是_。8. 在 n 边形内有 m 个点，以这 n+m 个点为顶点组成 k 个互不重叠的三角形，求k 的值。参考答案:有趣的多
8、边形第 6 页 共 7 页填空题1. 4。提示： .2. 3。提示：因为 n 边形的外角和为 ，所以钝角最多有 3 个。（若有 4 个成 4 个以上外角为钝角，则外角和将大于 ，这与外角和定理矛盾）。3 9。提示：设这个外角为 ，则 。 又 ，。解之得 。又由 n 是整数得 n=9。4 。如图 2-9-5， ， ， 。 5 15。 有趣的多边形第 7 页 共 7 页提示：如图 2-9-6，延长 BC、DE、AF 交于 G、H、M，由六边形的每个内角都是 ，得CHD、FEM、GBA、GHM 都是等边三角形 GB=GA=AB=1， CH=DH=CD=3， GH=1+3+3=7。进而可求得 EF=2
9、，AF=4， 周长为 1+3+3+2+2+4=15。6 6。提示： 由已知知这三个是钝角的内角的相邻外角是锐角，又因为外角和为 ，所以，外角中余下的钝角个数最多为 3 个，所以，多边形边数的最大值是 6。7 2n。提示：首先，任一直线与凸多边形的边最多有两个交点，否则至少有个交点，必存在一个交点，其两旁均有交点，延长这一点所在的边，则多边形被这条延长直线分成两部分，与凸多边形矛盾。其次，当 的每一条边都有两个交点时，交点数最多。故交点数的最大值是 2n。 k=2m+n-2。简解：用两种方法来计算 k 个三角形的内角和。一方面， , 另一方面按“点”来计算有 n 边形内的 m 个点，每点对应一个周角，共 。 n 边形的 n 个内角和为 。得 。
