1、 第 4-1 页无理数的近似值与连分数江苏张家港高级中学 储聪忠一、从一道题目谈起设正有理数 x 是 的一个近似值，令 .3xy12（1） 若 ，求证： ；3（2） 求证：y 比 x 更接近于 .解答：（1） 因为 ，所以 ；3x312y（2） 同理可证：当 时， .要证“y 比 x 更接近于 ”，即证：0x3.3y 若 ，根据（1） ，则 ，即证 ，也就是证xy32yx.考察函数 ，当 时，它是增函数，从而2)(ttf1；313tf 若 ，则 ，即证 ，也就是证 .因为0xy32yx 321)(x函数 在 上是减函数，在 上是增函数，所以当ttf2, 1,时， ，即证.31,x3,ma)(
2、fftf综上所述，证明了 y 比 x 更接近于 .另证：因为 ，所以 .0x 03)23(3xxy第 4-2 页二、几点说明1 若令 ，则正数 ；x1232 对于正数 ， 比 更接近 ；3 因为 ，从而312=，2131)3(212 若去掉后面的小于 1 的“小尾巴” ，即 ，它们越来越接近1,1,.3用连分数来表示无理数 ，则有 = =1，1，2，1，2， ；3124 如何求 的连分数表示式呢？事实上，通过下面的步骤：3第 4-3 页;132,213;1, ;132,213;1,;315443210 aaaaaa故无理数 的连分数为1,1,2,1,2, ；三、连分数的有关概念一般地，设 是一
3、个实数序列，其中 ，n 为自然数，则分数na,210 10iainaa1210称为有限连分数；如果 是整数， 是正整数，则称为有限简单连分数.当0na,21时，则它们分别称为无限连分数或无限简单连分数.有限连分数记作a 0,a1,a2,ann或 ；无限连分数记作a 0,a1,a2,或 .n13210 3210我们知道方程 的正根用求根公式可得 2.141421.如果我将0x x方程化为 ，既然 与 相等，则用 替换方程右边的 ，就得到x12x，这样可以不断地进行下去.若每次舍掉 ，则得到一连串的分数：x12x1第 4-4 页，它们分别是 ，21,21,2 417.29,.512,., 越来越接近 .因此 的连分数为2,2,2,.一般来说，有限连分数表示有理数，无限连分数表示无理数；连分数与递归数列有着密切的关系.
