1、1数学案例教学题目：弧长、弦长与扇形面积、弓形面积案例教学设计作者：左春香 王瑞霞单位：唐山市丰南区职教中心教学内容分析：下料问题是机械专业每天都要遇到的实际生产问题。经常要遇到的是长度、周长、弧长、弦长、扇形、弓形面积和各种体积重量的计算等数学知识。本节数学课紧密地和生产实习的实例相联系，学生经过自己充分地思考和讨论后，能够更深刻地理解和记忆公式，掌握数学知识在专业生产中的应用。2教学目的：（1）通过学习掌握圆周长、弧长、弦长、扇形面积和弓形的面积的计算。（2）能熟练运用所学的数学知识解决机械专业中气割、钳工、钣金等工种的计算和下料等实际问题。教学重点：弧长、弦长、扇形面积、弓形面积的计算。
2、实际生产问题和数学问题的联系。课 时：2 课时教学方法：讲练结合、理论联系实际教学用具：投影仪、黑板、硬纸板做成的两个防护罩和一个圆锥形的烟囱帽、胶片 7张，如下所示：教学目标：理解并熟练掌握本节课所学的数学知识。会灵活应用这些知识解决实际问题。胶片 1胶片 1三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所用材料的面积,（2）的侧面积（1） 胶片 2 （2）2ABC3练习一：用钢板气割一个罐盖，形状如图所示，求气割长度。胶片 33例 1 一带轮如图所示，在轮毂和轮缘之间焊接 12 根辐条，辐条用 25mm 的圆钢制成。求在轮缘 d1=
3、1600mm 和轮毂 d2=350mm 上的辐条中心距lB1、l B2。 胶片 44 rOCB胶片 5胶片 554教学过程：投影本节课的学习目标出示胶片 1胶片 77例 2 扇形钢板如图所示，求其面积。胶片 66教学目标：理解并熟练掌握本节课所学的数学知识。会灵活应用这些知识解决实际问题。胶片 1胶片 15案例引入：出示胶片 2（并用硬纸板按尺寸或比例做两个模型向学生展示，让学生边观察边回答问题） 。提出问题：单独提问师： 左图中有几个侧面？是什么形状？生甲： 3 个， A 和 B 是扇形的一部分，展开后 C 可能是矩形。师： 回答得很正确，如何计算各侧面的面积和全面积？生乙： 要计算它的侧面
4、积需要掌握扇形的面积公式，全面积当然就是矩形面积和另两个侧面积之和。师： 有道理，可是，你知道那个矩形的长是多少吗？如何计算？生丙： 要计算它的长度还需要掌握弧长公式。师： 右图中的前后侧面是什么形状？它的面积如何计算？生丙： 前后侧面是弓形师： 用气割方法下料时气割长度各是多少应如何计算？生丁： 是各面边线长度的总和。引入数学知识：师： 要解决这些问题，要用到数学中，弧长、弦长、扇形的面积的计算等。这次课我们就介绍这些知识，同时，共同探讨一下机械专业中有关的下料问题复习导入：出示胶片 3三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所
5、用材料的面积,（2）的侧面积（1） 胶片 2 （2）2ABC6（让学生独立完成，找个别同学回答）生：气割长度为大圆和小圆的周长之和。L=2501500=1750=5497.8mm师： 刚才这个问题中，复习了圆周长计算公式：板书：圆的周长： L=d=2r（d 为直径）出示胶片 4师： 这个长度还是一个完整的周长吗？生： 答：不是。师： 请同学们看图，在轮缘上和轮毂上两个辐条中心的部分是什么图形？生： 是圆弧。练习一：用钢板气割一个罐盖，形状如图所示，求气割长度。胶片 33例 1 一带轮如图所示，在轮毂和轮缘之间焊接 12 根辐条，辐条用 25mm 的圆钢制成。求在轮缘 d1=1600mm 和轮毂
6、 d2=350mm 上的幅条中心距lB1、l B2。 胶片 447师： 弧的长度应如何计算？本节课我们先研究这个问题。板书： 一、弧长师：360 o 的圆心角所对的弧长就是圆周长 L=d=2r，那么 1o 的圆心角所对的弧长是多少？生： = 2360r18师：于是可得半径为 r（直径为 d）的圆中， o 的圆心角所对的弧长 Ln 的计算公式：是什么？生： Ln= =180r36d板书： 360o 的圆心角所对的弧长即圆周长 L=d=2r，1o 的圆心角所对的弧长是 = 。2360r18半径为 r（直径为 d）的圆中， o 的圆心角所对的弧长 Ln= = 8036师： 有了弧长公式，例 1 中的
7、问题可迎刃而解了。经学生讨论后得出结论并找学生板演例 1 解：两根辐条间所夹的圆心角 = =30o,轮缘上两根辐条中心距弧长 L 1=12360 = =418.88mmd轮毂上相邻辐条中心距弧长L 2= = =91.63mm306d512师： 事实上弧与角很难测量，故实际工作中常以弦长为检验尺寸，在一圆周上 n 等分，求弦长就是圆的内接正 n 边形的边长。那么弦长如何计算呢？出示胶片 5OBCr胶片 5胶片 5胶片 558师生共同分析 ：在 RtBOC 中，BOC= ， BC= ，2L = = sinrL2L=2r sin =d sin2板书：二、弦长公式由 = = sinrL22得 o 的圆
8、心角所对的弦长 L=2r sin =d sin2其中圆心角 = ，则 L=dsin .n360n180师 那么例 1 中若求轮缘和轮毂上的中心距弦长如何计算？找学生板演生 解：设它们分别为 l1 和 l2，则l1=d1sin =1600sin15o=414.11mm280l2= d2sin =350sin15o=90.59mm评注： 如果再求两辐条间间隙距离，只要把上面的值分别减去 25mm 即可。出示胶片 6例 2 有一块钢板如图所示，求其面积。胶片 669师 通过观察，我们看出这块钢板面是什么图形？生 大扇形中去掉了一个小扇形。师 那么我们要求钢板的面积，就得知道扇形的面积如何计算，下面我
9、们探讨扇形的面积公式。同学们知道扇形是什么图形的一部分吗？生甲 圆的一部分。师 整个圆的圆心角是多少度？生 360o师 再接着想一想，在半径为 r 的圆中，圆心角为 1o 的扇形的面积是多少？生 2360r师 那么圆心角为 o 的扇形的面积是多少？生 2360r板书 三、扇形面积公式由圆心角为 1o 的扇形面积 2360r得圆心角为 o 的扇形面积公式为 2rS扇师 弧长公式与扇形面积公式有什么关系？生 两公式中都含有 = Ln。180r师 那么我们又得出了扇形的另一个面积公式为：生 S = Lnr 21(教师板书添上此公式) S 扇 = = Lnr3602r110师 有了这个公式，上面的问题
10、就很简单了（请一位同学板演） 。解：钢板的面积 S= = =238952mm2=0.239m22360r)6420(1.72出示胶片 7师 上面三个图中阴影部分是什么图形呢？这三个图形都是弓形，它和我们看到的哪件物品有关系？生 它和第二个防护罩的侧面是一种图形。师 可见要解决开始提出的问题，我们还得学习弓形的面积公式。同学们接着观察上面的三个图形中，弓形的面积和扇形的面积有何关系？生 把扇形 OAmB 的面积以及OAB 的面积计算出来，就可以得到弓形的面积，图（1）中，弓形 AmB 的面积小于半圆的面积，这时 S 弓形 =S 扇 S ABC ,图（2）中，弓形 AmB 的面积大于半圆的面积，这
11、时 S 弓形 =S 扇 S ABC ,图（3）中，弓形 AmB 的面积等于半圆的面积，这时 S 弓形 = S 圆 。21板书 四、弓形面积公式（1）弓形 AmB 的面积小于半圆的面积，这时 S 弓形 =S 扇 S ABC ,（2）弓形 AmB 的面积大于半圆的面积，这时 S 弓形 =S 扇 S ABC ,（3）弓形 AmB 的面积等于半圆的面积，这时 S 弓形 = S 圆 。21胶片 7711师 同学们，通过我们共同探讨和总结得出了哪些结论呢？生 弧长公式、弦长公式、扇形面积公式、弓形面积公式。师 我们掌握了这些知识是非常重要的，而且有些公式不可死记，要理解它的推导过程，同时可以促进我们逻辑推
12、理能力的提高。当然，也可以很容易地解决本次课开始提出的问题了。出示胶片 2并展开硬纸片做成的模型（1） ，把各个面展示给学生，让学生求其全面积，(学生板演) 。解：S 侧 = = 262788.56 mm221354806213586S 全 =2S 侧 120 =593401.12 mm2240展开模型（2） ，让学生求其侧面积，学生板演。解：S 侧 = 2400sin = 131840mm21354061135O课下思考题师 拿出做好的烟囱帽模型 ，这是一个做好烟囱帽模型，谁能看出它是什么形状？生 是圆锥形。三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出
13、，请计算下料时(1)所用材料的面积和（2）的侧面积（1） 胶片 2 （2）2ABC12师 如果沿一条母线展开这个模型，展开后是什么形状呢？沿一条母线展开这个模型生 是扇形。师 如果已知这个圆锥形的底边周长和母线长，要用铁片做一个烟囱帽，应如何下料？留作课下思考。本节小结：通过本次课的学习，大家应理解对弧长公式，弦长公式，扇形面积公式，弓形面积公式的推导，识记这些公式，并会灵活的应用到实际生活、生产中。板书设计：布置作业：1要气割一块如图（1）所示的钢板求气割的总长度。2型钢横断面如图（2）所示，求其面积。弧长、弦长与扇形面积、弓形面积复习：圆的周长 L=d=2r一、弧长公式：L n= = （及推导过程）18036d二、弦长公式：L=2r sin =d sin （及推导过程）2（其中圆心角 = ，则 L=dsin ）.nn180三、扇形面积公式：S 扇 = = Ln r （及推导过程）2360r四、弓形面积公式： （1）弓形 AMB 的面积小于半圆的面积，这时 S 弓形 =S 扇 S ABC ,（2）弓形 AMB 的面积大于半圆的面积，这时 S 弓形 =S 扇 S ABC ,（3）弓形 AMB 的面积等于半圆的面积，这时 S 弓形 = S 圆 。21113（1） （2）3连接件样板如图（3）所示，求样板面积。4防护罩如图（4）所示，求其侧面积。（3） （4）
