1、数列中的探索性问题分类解析河南省三门峡市卢氏一高 赵建文 E-mail:近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.现将这三类问题的解法总结如下，供同学们学习时参考.一、条件探索性问题对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答例 1 已知正项数列 满足 = ( 2,
2、0)， 1，其中 是数na1nS2ntatanS列 的前 项和 （）求数列 的通项公式；na（）记数列 的前 项和为 ，求 的取值范围使 2 对所有的 *都成1nnTtnTnN立解： 1， = ，得 = ， 0（舍）或 ，a1nS2nta2ta22a1t = = （ 3) n2t 1nS1n得 = ，即 =01na21()nta11()()nnata数列 为正项数列， 0， （ 3） ，t即数列 从第二项开始是公差为 的等差数列 .na1tna12nt（2） ，当 2 时， = 1TtnT22134()tt 21()t要使 = 2,对所有的 *恒成立， 0, 只要 所有n2()tNt2tn的
3、*恒成立， 1， 只要 1，解得 0 t1Nn2t 的取值范围为 .t(0,点评：对条件探索性问题，解题的基本策略为执果索因，先寻找使结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件.注意在执果索因的过程中，要考虑推理过程是否可逆，不要将必要条件误当充分条件.确定条件是否多余要着眼于每个条件对所求或所证的对象的确定性，判定条件正误多从构造反例入手.二、结论探索性问题探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培
4、养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点例 2 已知等比数列 的前 项和为 = ( , )nanS23kRn*N（）求数列 的通项公式；n（）设数列 满足 = ， 为数列 的前 项和，试比较 与b4(5)nabkTnb316nT的大小，并证明你的结论14()n解：（）由 = ( , )得: 2 时， = =nS23kR*Nna1nS14n 是等比数列， = = =4， =2，得 = （ ） ；na1a6kn143*N（）由 = 和
5、 = 得 = ，4(5)nbk14nb143 = = （1）nT1b23n322n43n= （2 ）3424n(2)（1）得， = nT11431n2n1n= 1283n =T6 = = = ，14()()nnbT 1()23nn()3(21)n253n 当 6 时，有 0，所以当 6 时，有 ，256nT14()nb当 1 5 时，有 0 ，所以当 1 5 时，有 ，nn3综上所述：当 6 时，有 ；当 1 5 时，有 316nT4()nb 6nT.14()nb【点评】对结论探索型问题，先充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，在论证.三、存在性探索问题通常假定题中的数学对象
6、存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论其中反证法在解题中起着重要的作用例 3 已知数列 的前 项和为 = ，在数列 中，nanS235nb=8， =0，问是否存在常数 使得对任意 ， 恒为常数 ，若存1b164nbclogcaM在求出常数 和 ,若不存在说明理由.cM解析：假设存在常数 使得对任意 ， 恒为常数 ， = ，cnlcnbnS235当 =1 时，则 = =8，n1aS当 2 时， = = = ，当 =1 适合，nn2235(1)5()62 = ，na62又 =0， = ， 数列 是首项为 8，公比为 的等比数14nb1nb64nb164列， = = ， n18()64n962n则= = = ，logncnab96lognc2(96)log2an(1l)29logaan又对任意 ， 恒为常数 ，nabM =0，解得 =2， = =11，6(1l2)cla假设存在常数 =2 使得对任意 ， 恒为常数 =11.ogncnb点评：对存在性问题，先假设题中数学对象存在（或结论成立）或暂时认可其中一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，则说明存在性得以证明.
