1、NOIP基础算法分治与贪心,巴蜀中学 黄新军,第五部分 分治策略,一、分治思想,分治(divide-and-conquer)就是“分而治之”的意思，其实质就是将原问题分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题；然后递归地解这些子问题，最后合并其结果就得到原问题的解。,二、分治法的适用条件,能使用分治法解决的问题，它们一般具备以下几个特征： 该问题可以分解成若干相互独立、规模较小的相同子问题； 子问题缩小到一定的程度就能轻易得到解； 子问题的解合并后，能得到原问题的解； 分治法在信息学竞赛中应用非常广泛，使用分治策略能生成一些常用的算法和数据结构，如快排、最优二叉树、线段树等；还可以直接使用分治
2、策略，解决一些规模很大、无法直接下手的问题。,三、分治的三步骤,分解：将要解决的问题分解成若干个规模较小的同类子问题； 解决：当子问题划分得足够小时，求解出子问题的解。 合并：将子问题的解逐层合并成原问题的解。,分治算法设计过程图,由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。如果得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出不用进一步细分就可求解的子问题。分治求解可用一个递归过程来表示。 要使分治算法效率高，关键在于如何分割？一般地，出于一种平衡原则，总是把大问题分成K个规模尽可能相等的子问题，但也有例外，如求表的最大最小元问题的算法，当n6时
3、，等分定量成两个规模为3的子表L1和L2不是最佳分割。一般来讲，都是2分为主。,四、分治的框架结构,procedure DIVIDE() beginif(问题不可分)then/解决begin直接求解；返回问题的解；endelse begin对原问题进行分治；/分解递归对每一个分治的部分求解;归并整个问题，得出全问题的解;/合并end end;,五、分治的典型应用,1、求最大值和最小值 2、非线性方程求根 3、二分查找 4、归并排序 5、快速幂 6、求解线性递推关系 7、棋盘覆盖问题 8、循环日程表问题 9、寻找最近点对,1、求最大值和最小值,例题1：给n个实数，求它们之中最大值和最小值，要求比
4、较次数尽量小。,分析：假设数据个数为n,存放在数组a1n中。可以直接进行比较：minn:=a1;maxx:=a1;for i:=2 to n doif aimaxx then maxx:=ai;else if aiminn then minn:=ai; 使用这一算法，比较次数为2(n-1)。若n=10,则比较18次。,用分治法解决这个问题就是把集合a分成a1,a2两个子集，每个子集有n/2个元素，应用递归结构找出两个子集的最大元和最小元，比较得到的两个最大元和最小元即可得到整个集合a中的最大元和最小元。 划分：把n个数均分为两半。即：划分点为d=(r1+r2)/2，两个区间为r1,d和d+1,
5、r2。 递归求解：求左半的最小值min1 和最大值max1以及右半最小值min2和最大值max2。 合并：所有数的最大值为maxx，最小值为minn。,procedure pd(r1,r2:integer;var maxx,minn:integer) beginvar max1,min1,max2,min2,d:integer;if r1=r2 then begin maxx:=xr1; minn:=xr1;endelse if r2=r1+1 then beginif xr2xr1 then begin maxx:=xr2;minn:=xr1;endelse begin maxx:=xr1;
6、minn:=xr2;endendelse begind:=(r1+r2)/2;pd(r1,d,max1,min1);pd(d+1,r2,max2,min2);if max1max2 then maxx:=max1;else maxx:=max2;if min1min2 then minn:=min1;else minn:=min2;end end,2、非线性方程求根,例题2：一元三次方程的解 【题目描述】有形如：ax3+bx2+cx+d=0这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a,b,c,d均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对
7、值=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后4位。 【文件输入】输入仅一行，有四个数，依次为a、b、c、d 【文件输出】输出也只有一行，即三个根(从小到大输出) 【样例输入】1 -5 -4 20 【样例输入】-2.00 2.00 5.00,分析,如果精确到小数点后两位，可用简单枚举法：将x从-100.00 到100.00（步长0.01）逐一枚举，得到20000个 f(x)，取其值与0最接近的三个f(x)，对应的x即为答案。而题目已改成精度为小数点后4位，枚举算法时间复杂度将达不到要求。 直接使用求根公式，极为复杂。加上本题的提示给我们以启迪：采用二分法
8、逐渐缩小根的范围，从而得到根的某精度的数值,分析,A.当已知区间(a,b)内有一个根时； 用二分法求根，若区间(a,b)内有根，则必有f(a)*f(b)b或f(a+b)/2)=0，则可确定根为(a+b)/2并退出过程； (2).若f(a)*f(a+b)/2)0,则必然有f(a+b)/2)*f(b)0,根在(a+b)/2,b)中,对此区间重复该过程。 执行完毕,就可以得到精确到0.0001的根。,分析,B、求方程的所有三个实根 所有的根的范围都在-100至100之间，且根与根之差的绝对值=1。因此可知：在-100,-99、-99,-98、99，100、100，100这201个区间内，每个区间内至
9、多只能有一个根。即：除区间100，100外，其余区间a,a+1，只有当f(a)=0或f(a)f(a+1)0时，方程在此区间内才有解。若f(a)=0 ，解即为a；若f(a)f(a+1)0 ，则可以利用A中所述的二分法迅速出找出解。如此可求出方程的所有的解。,核心参考代码,procedure divide(x1,x2:double) Beginvar x0,y0,y1,y2:double; x0:=(x1+x2)div 2;y1:=cal(x1);y2:=cal(x2);y0:=cal(x0);if(x2-x11)then divide(x1,x0);if(y0*y21)then divide(x
10、0,x2); End;,3、归并排序,归并排序的基本思想：归并排序充分应用分治算法的策略，通过二分的思想，将n个数最终分成n个单独的有序数列，每个数列中仅有一个数字；再将相邻的两列数据合并成一个有序数列；再重复上面的合并操作，直到合成一个有序数列。按照分治三步法来说， 归并过程为：（1）划分：把序列分成元素个数相等的两半；（2）递归求解：把两半分别排序；（3）合并：把两个有序表合成一个有序表；,分析,显然，前两部分是很容易完成的，关键在于如何把两个有序表合成一个。每次只需要把两个序列中当前的最小元素加以比较，删除较小元素并加入合并后的新表。,核心参考代码,procedure MergeSort
11、(left,right:integer)/归并排序 beginif left=right then exit; /只有一个元素mid:=(left+right)div 2; /找中间位MergeSort(left,mid); /对左边归并MergeSort(mid+1,right); /对右边归并i:=left;j:=mid+1,p:=left; /合并左右while(iaj)then begin tempp:=aj;inc(p);inc(j);end else begin tempp:=ai;inc(p);inc(i);endwhile(i=mid)do begin tempp:=ai;in
12、c(p);inc(i);endwhile(j=right)do begin tempp:=aj;inc(p);inc(i);endfor i:=left to right do ai:=tempi; End;,【变形1】逆序对数目,例题3：求“逆序对”。 给定一整数数组A=(A1,A2,An), 若iAj,则就为一个逆序对。例如数组（3，1，4，5，2）的逆序对有,。问题是，输入n和A数组，统计逆序对数目。 数据范围：1=n=30000。,朴素算法,在看完试题以后，我们不难想到一个非常简单的算法穷举算法，即对数组中任意的两个元素进行判断，看它们是不是构成“逆序对”，因此这种算法的时间复杂度为O
13、(N2)。C:=0;for i:=1 to n -1 do for j:=i+1 to n do if aiaj then c:=c+1; 时间效率不尽如人意 问题出现在哪里呢？,分治算法：,采用二分法求解: 记数列ast,ed的逆序对数目为d(st,ed);mid=(st+ed)/2,则有：d(st,ed)=d(st,mid)+d(mid+1,ed)+F(st,mid,ed)其中F(st,mid,ed)表示一个数取自ast,mid,令一个数取自amid+1,ed的逆序对数目。,和归并排序一样，划分和递归求解都好办，关键在于合并：如何求出i在左边，而j在右边的逆序对数目呢？统计的常见技巧是“分
14、类”。我们按照j的不同把这些“跨越两边”的逆序对进行分类：只要对于右边的每个j，统计左边比它大的元素个数f(j)，则所有f(j)之和便是答案。 幸运的是，归并排序可以帮助我们“顺便”完成f(j)的计算：由于合并操作是从小到大进行排序的，当右边的aj复制到T中时，左边还没有来得及复制到T的那些数就是左边所有比aj大的数。此时累加器中加上左边元素个数mid-i+1即可。 即把“if(aiaj)then begin tempp:=aj;inc(p);inc(j);end 改为“if(aiaj)then begin tot:=tot+mid-i+1;tempp:=aj;inc(p);inc(j);en
15、d,4、二分查找,【问题描述】给出从小到大排列的n个不同数a1an，试判断元素x是否出现在表中。,方法1：顺序查找。方法是一个个寻找，时间复杂度为O(n)。这个方法并没有用到“n个数从小到大排列”这一个关键条件，因而时间效率低下。,方法2：二分查找,只需要比较log2n个元素。假设需要在aLar中查找元素x。 划分：检查某个元素am(Lx，那么元素只可能在aLam-1中；如果amx，那么元素只可能在am+1ar中。 合并：不需要合并。,方法1：二分查找的递归实现,function bsh(L,r,x:integer):integer; Beginvar m:integer;if Lr exit
16、(-1);m:=(L+r)div 2;if am=x bsh:=m;else if amx then bsh:=bsh(L,m-1,x);else bsh:= bsh(m+1,r,x); End;,方法2：二分查找的非递归实现：,function bsh(L,r,x:integer):integer; Beginvar m:integer;while(Lx then r:=m-1else L:=m+1;endbsh:=-1; /查找不成功 End;,【扩展1】二分查找求下界，即第一次出现的位置function Erfen(L,r,x:integer):integer;beginvar mid:
17、integer;while(Lr)dobeginmid:=(L+r)div 2;if x=amid then r:=midelse L:=mid+1;end;Erfen:= L;end; 【扩展2】二分查找求上界，即最后一次出现位置的后一个位置,例题：奇怪的函数,【问题描述】使得xx达到或超过n位数字的最小正整数x是多少？【文件输入】输入一个正整数n。【文件输出】输出使得xx达到n位数字的最小正整数x。,【变形】查找等值点,【问题描述】n个不同整数从小到大排序后放在数组A1An中，是否存在i，使得Ai=i？若存在，试找到此点。,5、快速幂,【问题描述】计算an %k ，n=109。,方法1：朴
18、素算法。每次乘以a，时间复杂度O(n)。function power(a,n:integer):integer;beginvar x:integer;x:=1;for i:=1 to n do x:=x*a;power:=x;end;,方法2：分治算法,划分：如果n是偶数，考虑x=n div 2，否则考虑x=(n-1) div 2 递归求解：计算ax。 合并：如果n是偶数，则an=(ax)2，否则an=(ax)2*a,方法2：分治算法,根据这个方法很容易写出程序： function power(a,n:integer):integer; Beginif n=0 begin power:=1;e
19、xit;endelse if n mod 2=1 then /n为奇数的情况beginx:=power(a,(n-1)div 2);power:=(x*x)mod k*a)mod k;endelse begin /n为偶数的情况x:=power(a,n div 2);power:=x*x mod k;end; End;,方法3：用二进制实现快速幂计算,read(a,b,k);/输入三个数t:=b;while t0 dobegin inc(len);clen:=t mod 2;t:=t div 2;end;/转为二进制s:=1;for i:=len downto 1 do /用二分法实现ab m
20、od kbegins:=s*s mod k;if ci=1 then s:=(a mod k)*s)mod k;/如果是奇数，就多乘aend;writeln(s);/输出ab mod k,6、求解线性递推关系,【例题】Fibonacci数 【题目描述】Fibonacci数列定义为：fi=fi-2+fi-1 (i2)，其中f1=1,f2=1。现在请你求Fibonacci数列的第n项。 【文件输入】输入文件只有一行为一个整数n(1=n=231-1)。 【文件输出】输出文件只有一行为一个整数，表示Fibonacci数列的第n项mod 32768的值。 【样例输入】4 【样例输出】3 【数据范围】对于
21、20%的数据，1=n=1000对于40%的数据，1=n=10000000对于100%的数据，1=n=231-1,朴素算法，肯定超时,procedure Fib(n:integer) Beginvar i:integer;f0:=0;f1:=1;for i:=2 to n do fi:=fi-1+fi-2; End;,先复习矩阵乘法 两个2*2矩阵相乘的公式为, 可用倍增法在O(logn)时间内求出幂(忽略高精度),扩展练习：,若fi=fi-1+fi-2+fi-3，如何计算求出fn,7、棋盘覆盖问题,分析,8、循环日程表问题,【例题】比赛安排 【问题描述】设有2n(n=6)个球队进行单循环比赛,
22、计划在2n -1天内完成，每个队每天进行一场比赛。设计一个比赛的安排，使在2n -1天内每个队都与不同的对手比赛。例如n=2时的比赛安排为： 队 1 2 3 4 比赛 1-2 3-4 第一天 1-3 2-4 第二天 1-4 2-3 第三天 【文件输入】一个整数n。 【文件输出】输出比赛安排表。 【样例输入】2 【样例输出】1-2 3-4 1-3 2-4 1-4 2-3,初看此题，感觉无法下手，因为没有任何直接可用的算法和数据结构。 仔细分析，可以发现，将问题进行分解，能找出规律。 当n=1时，共有2个球队参赛，一天就可以比完。 当n=2时，共有4个球队，需比赛3天。从2个球队的比赛安排表中可以
23、看出，左上角与右下角对称，左下角与右上角对称，左下角的值是由左上角值加n得到的。,read(n); m:=1;a1,1:=1;h:=1;for i:=1 to n do m=2*m; /比赛总队数while(h=m)do /从一个球队开始构造beginfor i:=1 to h do/构造其余三个方阵for j:=1 to h dobeginai,j+h:=ai,j+h; /构造右上角方阵 ai+h,j:=ai,j+h; /构造左下角方阵ai+h,j+h:=ai,j; /构造右下角方阵end;h:=h*2;end;,核心参考代码,9、寻找最近点对,给定平面上n个点,找出其中的一对点的距离,使得
24、在这n个点的所有点对中,该距离为所有点对中最小的。（n=60000）,分析,【问题简述】给定平面上n个点的坐标，找出其中欧几里德距离最近的两个点。 【方法1】枚举算法。需要枚举O(n2)个点对，每个距离的计算时间为O(1)，故总的时间复杂度为O(n2)。,有没有更好的算法呢？,【方法2】分治算法,先按照X坐标排序，把所有点划分成个数尽量相等的两部分，分别求最近点对，设距离分别为dL和dr。,合并：令d=mindL,dr，则跨越两边的点对中，只有下面的竖条中的才有可能更近。,需要检查竖条里的所有点对吗？,由d的意义可知，P2中任何2个S中的点的距离都不小于d。由此而来可以推出矩形R中最多只有6个
25、d/2*2/3*d的矩形(如下图所示)。,（反证法）若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽笼原理易知至少有一个d/2*2/3*d的小矩形中有2个以上S中的点。设U，V是这样2个点，它们位于同一小矩形中，则： (X(U)-X(V)2+(Y(U)-Y(V)2=(d/2)2+(d/2)2=25d2/36 因此，D(U,V)=5d/6d。这与d的意义相矛盾。也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。 由于这种稀疏性质，对于P1中任一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。,总结归纳,分治是一种解题的策略，它的基本思想是：“如果整个问题比较复杂，可以将问题分化，各个击破。” 分治包含“分”和“治
26、”两层含义，如何分，分后如何“治”成为解决问题的关键所在 不是所有的问题都可以采用分治，只有那些能将问题分成与原问题类似的子问题，并且归并后符合原问题的性质的问题，才能进行分治 分治可进行二分，三分等等，具体怎么分，需看问题的性质和分治后的效果。 只有深刻地领会分治的思想，认真分析分治后可能产生的预期效率，才能灵活地运用分治思想解决实际问题。,第六部分 贪心策略,贪心方法的基本思想,贪心是一种解题策略，也是一种解题思想 使用贪心方法需要注意局部最优与全局最优的关系，选择当前状态的局部最优并不一定能推导出问题的全局最优 利用贪心策略解题，需要解决两个问题： 该题是否适合于用贪心策略求解 如何选择
27、贪心标准，以得到问题的最优解,【引例】在一个NM的方格阵中，每一格子赋予一个数（即为权），规定每次移动时只能向上或向右。现试找出一条路径，使其从左下角至右上角所经过的权之和最大。 我们以23的矩阵为例：,若按贪心策略求解，所得路径为：1346； 若按动态规划求解，所得路径为：12106。,贪心法的特点,1.贪心选择性质：算法中每一步选择都是当前看似最佳的选择，这种选择依赖于已做出的选择，但不依赖于未做的选择。 2.最优子结构性质：算法中每一次都取得了最优解(即局部最优解)，要保证最后的结果最优，则必须满足全局最优解包含局部最优解。 但并不是所有具有最优子结构的问题都可以用贪心策略求解。因为贪心
28、往往是盲目的，需要使用更理性的方法动态规划（例如“0-1背包问题”与“部分背包问题”）,【问题1】部分背包问题,给定一个最大载重量为M的卡车和N种食品，有食盐，白糖，大米等。已知第i种食品的最多拥有Wi公斤，其商品价值为Vi元/公斤，编程确定一个装货方案，使得装入卡车中的所有物品总价值最大。,【分析】因为每一个物品都可以分割成单位块，单位块的利益越大，显然总收益越大，所以它局部最优满足全局最优，可以用贪心法解答。方法如下：先将单位块收益按从大到小进行排列，然后用循环从单位块收益最大的取起，直到不能取为止便得到了最优解。,【问题2】0/1背包问题,给定一个最大载重量为M的卡车和N种动物。已知第i
29、种动物的重量为Wi，其最大价值为Vi，设定M，Wi，Vi均为整数，编程确定一个装货方案，使得装入卡车中的所有动物总价值最大。,【分析】按贪心法：每次选价格最大的装载。很明显有反例：设N=3,卡车最大载重量是100,三种动物A、B、C的重量分别是40,50,70,其对应的总价值分别是80、100、150。,贪心策略与其他算法的区别,1.贪心与递推：与递推不同的是，贪心法中推进的每一步不是依据某一固定的递推式，而是当前看似最佳的贪心决策，不断的将问题归纳为更加小的相似的子问题。所以归纳、分析、选择正确合适的贪心策略，是正确解决贪心问题的关键。2.贪心与动态规划：与动态规划不同的是，贪心是鼠目寸光；
30、动态规划是统揽全局。,几个简单的贪心例子,贪心策略,例题1：删数问题,键盘输入一个高精度的正整数n（n=240位）,去掉其中任意s个数字后剩下的数字按照原来的次序将组成一个新的正整数。编程对给定的n和s,寻求一种方案,使得剩下组成的新数最小。 【样例输入】1785434 【样例输出】13,分析,由于正整数n的有效位数最大可达240位，所以可以采用字符串类型来存储n。那么，应如何来确定该删除哪s位呢？是不是只要删掉最大的s个数字就可以了呢？ 为了尽可能地逼近目标，我们选取的贪心策略为：每一步总是选择一个使剩下的数最小的数字删去，即按高位到低位的顺序搜索，若各位数字递增，则删除最后一个数字，否则删
31、除第一个递减区间的首字符。然后回到串首，按上述规则再删除下一个数字。重复以上过程s次，剩下的数字串便是问题的解了。,例题2：排队问题,在一个食堂，有n个人排队买饭，每个人买饭需要的时间为Ti，请你找出一种排列次序，是每个人买饭的时间总和最小。,【思路点拨】由题意可知，本题可以采用的贪心策略为：将n个人排队买饭的时间从小到大排序，再依次累加每人的买饭时间，即可得到最小的总和。由样例可知，排好序后的数据为(1,3,5,7,9,11)，每个人的买饭时间如下：T1=1T2=T1+t2=1+3=4T3=T2+t3=4+5=9T4=T3+t4=9+7=16T5=T4+t5=16+9=25T6=T5+t6=
32、25+11=36总时间T=T1+T2+T3+T4+T5+T6=91,用反证法证明如下： 假设一个不排好序的n个人也能得到最优答案。 比如把(1,3,5,7,9,11)中的3,5对调一下，得到的序列为(1,5,3,7,9,11)。 对调后，3,5前后的1,7,9,11四个人的买饭时间不会有变化，关键的变化是3,5两个人。这时，5这个人的买饭时间为1+5，3这个人的买饭时间变为1+5+3，此时两个人的总买饭时间中，5被累加了2次，而原方案中是3被累加了2次，其他一样。由此，两者相比较，可知有序的序列能得到最优的方案。 对于其他位置的改变可以采用同样的方法证明。用反证法证明时，关键是证明反例不成立，
33、由此推出原方案是最优的。,问题推广：排队打水问题,有n个人排队到r个水龙头去打水，他们装满水桶的时间t1、t2.tn为整数且各不相等，应如何安排他们的打水顺序才能使他们总共花费的时间最少？,例题3：打包,某工厂生产出的产品都要被打包放入正四棱柱的盒子内，所有盒子的高度为h，但地面尺寸不同，可以为 1x1、2x2、3x3、4x4、5x5、6x6。如下图所示。,这些盒子将被放入高度为h，地面尺寸为6x6的箱子中。为了降低运送成本，工厂希望尽量减少箱子的数量。如果有一个好算法，能使箱子的数量降到最低，这将给工厂节省不少的资金。请你编写一个程序。,分析,分析,例题4:射击比赛（CEOI1997）,我们
34、假设射击的目标是一个由R*C(2RC1000)个小方格组成的矩形网格。网格中每一列恰有2个白色的小方格和R-2个黑色的小方格。定义网格的行从顶至底编号为1R，列从左至右编号为1C。 射击者可射击C次。在连续的C次射击中，若每列恰好有一个白色的方格被射中，且不存在无白色方格被射中的行，这样的射击才是正确的。问题是，如果存在正确的射击方法，则要求找到它。,例如考虑如下目标：由上图可以看出，在每列中依次射中的行坐标为2,3,1,4。现在要求你编程计算出是否有正确的射击方法。,根据题设条件，射击的选择有2C种，符合要求的却很少。要解决问题，还需从正确的射击方法的特征入手。,【方法1】网络流算法,我们将
35、表示列的点编号为1到C，表示行的点编号为C+1到C+R，如果一个白色方格处在第i行第j列，那么从点j向点C+i连一条弧，弧的容量为1。再增设一个源点S，从点S往点1到C间各连一条弧，弧的容量为1，又设一个汇点T，从点C+1到点C+R向汇点T连一条弧，弧的容量为1，那么从源点S到汇点T求最大流，求出的最大流量即为最多可以射击到的行数。各条流的路线则描述了具体的射击方案。 显然，如果用网络流求出的最大流量比R小，则问题无解，否则我们可以根据网络流的结果求出该二分图的具体匹配方案。,红色的连线流量为1 蓝色的连线流量为0 选择的射击格即为： (1,3), (2,1), (3,2), (4,4),网络
36、流算法经过优化，时间复杂度可以达到O(C*(n+4C+4R) 上述网络流算法虽然可以通过全部数据，但编程复杂度很高，而且极易出错，一不小心就会因为一个小错误影响整个程序。,【方法二】贪心方法 统计所有行包含的白格数 从还没有射击格的行中选出一个白格数最少的 检查所选的行 （1）若所选行的白格数为0，则输出无解；（2）否则从所选行的白格中任选一个作为射击格，并将与该格同列的另一个白格所处行的白格数减1 返回到第2步，直到所有的行都有射击格。 若还有列没有选射击格，则在该列任选一白格作为射击格即可,上面的贪心方法非常高效：时间复杂度为O(RC)，如果在程序中使用堆优化，时间复杂度将降为O(Rlog
37、2C)。空间复杂度是线性的，而且非常容易实现。现在关键的问题就是如何证明它的正确性？,证明：,用hi表示第i行的白格数。如果最开始的时候： minhi=0：第i行已经没有办法找到可作为射击格的白格，那么问题只能无解。 minhi=1：那么第i行的这一个白格必须要作为射击格，否则将因第i行没有射击格而造成问题无解。 minhi2：那么在这一行任选一个白格,顶多只会造成剩余行中有一行h值为1,再处理那一行，最多也只会再造成剩余行中有一行h值为1，如此往复,将保持h值为1的行数不超过1行，最后最坏的情况也是造成最后一行的h值为1,继续下去所有行就都已选取了射击格了。 因此，如果原问题有解，该贪心方法
38、一定能找到一种正确的方案。由此可以证明，此贪心方法是正确的。确定贪心标准。,贪心的经典应用,（一）、三个区间上的问题1、选择不相交区间问题2、区间选点问题3、区间覆盖问题 （二）、两个调度问题1、流水作业调度问题2、带限期和罚款的单位时间任务调度 （三）Huffman编码 （四）最优合并问题,1、选择不相交区间问题,给定n个开区间(ai, bi)，选择尽量多个区间，使得这些区间两两没有公共点。,【算法实现】首先按照b1=b2=bn的顺序排序，依次考虑各个活动，如果没有和已经选择的活动冲突，就选；否则就不选。,贪心策略：取第一个区间；,【正确性】：如果不选b1，假设第一个选择的是bi，则如果bi
39、和b1不交叉则多选一个b1更划算；如果交叉则把bi换成b1不影响后续选择。,例题5：活动安排,设有n个活动的集合E=1,2,n，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi，且si=sj或fj=si时，活动i与活动j相容。选择出由互相兼容的活动组成的最大集合。,2、区间选点问题,给定n个闭区间ai, bi，在数轴上选尽量少的点，使得每个区间内都至少有一个点（不同区间内含的点可以是同一个）。,【算法】：首先按照b1=b2=bn排序。每次标记当前区间的右端点X，并右移当前区间指针，直到当前区
40、间不包含X，再重复上述操作。,贪心策略：取最后一个。,例题6：种树（NOIP模拟试题）,一条街的一边有几座房子。因为环保原因居民想要在路边种些树。路边的地区被分割成块，并被编号为1n。每个块大小为一个单位尺寸并最多可种一棵树。每个居民想在门前种些树并指定了三个号码b,e,t。这三个数表示该居民想在b和e之间最少种t棵树。当然，b=e,居民必须保证在指定地区不能种多于地区被分割成块数的树，即要求t=e-b+1。允许居民想种树的各自区域可以交叉。出于资金短缺的原因,环保部门请你求出能够满足所有居民的要求,需要种树的最少数量。,样例输入: 9 4 1 4 2 4 6 2 8 9 2 3 5 2 样例
41、输出： 5,3、区间覆盖问题,给n个闭区间ai,bi，选择尽量少的区间覆盖一条指定线段s,t。,本题的突破口仍然是区间包含和排序扫描，不过先要进行一次预处理。每个区间在s,t外的部分都应该预先被切掉，因为它们的存在是毫无意义的。在预处理后，在相互包含的情况下，小区间显然不应该考虑。,把各区间按照a从小到大排序，若a相同，则b从大到小排序（自动处理掉区间包含）。注意：若区间1的起点大于s，则无解（因为其他区间的起点更大，不可能覆盖到s点），否则选择起点在s的最长区间ai,bi后，新的起点应该设置为bi，并且忽略所有区间在bi之前的部分，就像预处理一样。虽然贪心策略比上题复杂，但是仍然只需要一次扫
42、描，如下图，s为当前有效起点（此前部分已被覆盖），则应该选择区间2。,贪心思想：在某个时刻s，找一个满足ai=s的bi的最大值即可。,例题7：区间（SDOI2005）,现给定n个闭区间ai,bi，1=i=n。这些区间的并可以表示为一些不相交的闭区间的并。你的任务就是在这些表示方式中找出包含最少区间的方案。你的输出应该按照区间的升序排列。这里如果说两个区间a, b和c, d是按照升序排列的，那么我们有ab=c=d。 任务：读入这些区间，计算满足给定条件的不相交闭区间，并把这些区间按照升序输出。,练习试题：喷水装置,有一块草坪，长为L，宽为w；在它的中心线上装有n个点状的喷水装置，效果是让以它为中
43、心半径为ri的圆被润湿，选择尽量少的喷水装置把整个草坪全部润湿。,1、流水作业调度问题,样例 5 /作业个数 4 5 8 7 3 /每个作业M1机器上加工时间 6 2 1 4 9 /每个作业M2机器上加工时间,分析,2、带限期和罚款的单位时间任务调度,7 2 4 1 4 6 4 3 60 50 30 20 10 70 40,贪心方法的推广,贪心与其它算法结合 搜索的最优化剪枝（ 生日蛋糕） 优化动态规划（ Peter的快餐店） 贪心方法与解题策略 最优方法不一定是最好方法 想不到最优解法就用较优解法,贪心与其它算法结合,例题11：Peter的快餐店（贪心与动态规划）Peter最近在R市新开了一
44、家快餐店。 该快餐店准备推出一种套餐，每套由A个汉堡、B个薯条和C个饮料组成。为了提高产量，Peter引进了N条生产线。所有生产线都可以生产汉堡、薯条和饮料，由于每条生产线一天能工作的时间是有限的、不同的，而汉堡、薯条和饮料的单位生产时间又不同，Peter需要知道，怎样安排才能是一天中生产的套餐量最大。假设一天中汉堡、薯条和饮料的产量均不超过100个，且生产线总数小于等于10。,分析,本题是一个非常典型的资源分配问题。由于每条生产线的生产是相互独立，不互相影响的，所以此题可以以生产线为阶段用动态规划求解。 状态表示： 用pijk表示前i条生产线生产j个汉堡，k个薯条的情况下最多可生产饮料的个数
45、。 用rijk表示第i条生产线生产j个汉堡，k个薯条的情况下最多可生产饮料的个数。 状态转移方程 :pijk=Maxpi-1j1k1+rij-j1k-k1 (0=j1=j,0=k1=k,且(j-j1)*p1+(k-k1)*p2= 第i条生产线的生产时间) 但这样的算法是非常粗糙的，稍加分析可以发现，此算法的时间复杂度为O(N*1004),当N=10的时候，时间复杂度将达到10*1004=109，这是根本无法承受的。,用贪心方法作预处理 ：,首先计算出一天生产套数的上限值：min100 div A,100 div B,100 div C 接着，用贪心方法计算出这N条生产线可以生产的套数，并与上限比较，大于或等于则输出上限值并退出，否则再调用动态规划。因为贪心方法的代价很低，这里甚至可以使用多次贪心标准不同的贪心方法，取其最大值。 在运行动态规划的过程中，也可以每完成一阶段工作便与上限值进行比较，将贪心思想充分融入到动态规划过程中，这样以来，便可望在动态规划完成前提前结束程序。,算法步骤：,贪心小结:,贪心作为一种解题思路，虽然有时无法证明它的正确性，但在无法找到其他算法的时候，不失为一种好方法。 并且，贪心与其他算法的结合，可以对其他算法起到优化作用。,
