1、计算流体动力学 Computational fluid mechanics,南京工业大学机械与动力工程学院 凌祥,2,第三章 偏微分方程的数学性质对CFD的影响,拟线性偏微分方程的分类 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 不同类型偏微分方程的一般性质 定解问题的适应性,3,基本概念,记号,函数,偏微分方程,拟线性偏微分方程的分类,4,偏微分方程阶数,一阶,二阶,四阶,拟线性偏微分方程的分类,5,偏微分方程线性性质（一阶为例）,拟线性偏微分方程的分类,线性,拟线性,非线性,6,当一个n价偏微分方程的系数依赖于n阶导数时，此方程是非线性的 当系数依赖于m阶导数，而mn时，它就是拟线性的 方程的线
2、性性质极为重要，因为对于线性和拟线性偏微分方程，它们的许多解析性质已被了解，而对于非线性偏微分方程则必须逐个地去研究它。,拟线性偏微分方程的分类,偏微分方程阶数线性性质,7,拟线性偏微分方程的分类,8,拟线性偏微分方程的分类,抛物型椭圆型双曲型,?,如何得出的,9,拟线性偏微分方程的分类,考虑如下拟线性方程组,u和v是未知数，都是x、y的函数。,我们可以把u和v想象成xy平面的连续速度场,10,拟线性偏微分方程的分类,考虑xy平面的任意一点，如图中P点,写出u和v的全微分,系数矩阵,（1）、（2）、（3）、（4）组合成一个方程组：,11,拟线性偏微分方程的分类,用克莱默法则求解方程（5）中的,
3、一般情况下， 在P点值是不变的，与通过P点的方向无关。,特征线,12,拟线性偏微分方程的分类,特征线,展开得,令,方程演化为,这样我们可以积分求得特征曲线y=y(x),13,拟线性偏微分方程的分类,通过P点得斜率：,判别式：,二次曲线是双曲线,二次曲线是抛物线,二次曲线是椭圆,14,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,上一节借助克莱默法则得到偏微分方程分类，本节讲另外一种判别方法特征值法：,先假设上节方程（1）（2）中的 f1、f2为0：,定义列向量：,其中：,15,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,利用 的特征值就可以确定方程组的类型,如果 的特征值均为实数 双曲型 如果 的特征值均为
4、复数 椭圆型,16,二阶波动方程,1 双曲型方程,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,拟线性形式,特征方程,I为单位矩阵,17,1 双曲型方程,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,二阶波动方程,特征方程有两个实根,波动方程因此是双曲型，容易求出两个左特征向量为,18,1 双曲型方程,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,二阶波动方程,对应的特征相容关系为：,沿特征线,沿特征线,19,1 双曲型方程,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,二阶波动方程,引入变量置换：,其中f，g为任意可微函数，因此，波动方程的通解为：,20,1 双曲型方程,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,考虑初值问题，
5、初始条件为：,则波动方程的解为：,这就是DAlembert（达朗贝尔）公式,21,1 双曲型方程,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,根据以上分析，归纳波动方程特点： （也代表双曲型方程的一般性质）,两条特征线和两个特征相容关系。每个特征相容关系在相应的特征线上传播，速度是k (k=1,2) 两条特征线上的特征相容关系综合起来，和原来偏微分方程等价 时间变量具有单向性。适合推进求解,22,热传导方程,2 抛物型方程,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,引入变量,拟线性形式,特征方程,其中A为：,23,2 抛物型方程,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,特征方程的解为一个二重根,即说明热传
6、导方程是抛物型的。,24,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,抛物型方程特点：,抛物型方程独立的特征向量少于特征值数，因此，特征相容关系所包含的信息少于原抛物型偏微分方程信息，不可用特征线方法求解； 特征相容关系的个数少于拟线性方程组未知量的个数，抛物型方程不存在有限的依赖域； 与双曲型方程类似，抛物型方程时间变量也具有单向性，也适合推进求解。,2 抛物型方程,25,3 椭圆型方程,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,拉普拉斯（Lplace）方程,因此，拉普拉斯（Lplace）方程是椭圆方程,26,3 椭圆型方程,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,椭圆型方程特点：,椭圆型方程由于其特征
7、值均为复数，所以特征线、相容关系均无定义； 不存在有限的影响域和依赖域； 不适合推进求解。,27,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,4 举例说明特征值法,考虑可压缩无粘气体二维无旋定常流动。,假设流场源对自由来流的小扰动（比如，以小迎角绕过细长体的流动），并且来流马赫数是亚声速或者超声速（但不是跨声速或者高超声速）的，则连续性方程、动量方程和能量方程可简化为：,u和v是相对来流速度的扰动速度。,Ma是来流 马赫数。,28,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,4 举例说明特征值法,我们的问题是：如何对以上方程分类？,两种方法：特征线法特征值法,29,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,4
8、 举例说明特征值法,A 特征线法,将这两个方程与方程（1）（2）进行比较，用方程（1）（2）的记号：,30,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,4 举例说明特征值法,A 特征线法,因此：,对于超声速（Ma1)的情况，每个点都有两个实特征值，一个斜率为 ，另一个为 。此时方程是双曲型的。反之（Ma1)，方程是椭圆型的。,31,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,4 举例说明特征值法,B 特征值法,将方程改写成：,其中：,其中：,为求K-1，先写出K的代数余子,NEXT,32,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,4 举例说明特征值法,B 特征值法,其转置矩阵还是,推出,33,确定偏微分方程的
9、一般方法（特征值法）,4 举例说明特征值法,B 特征值法,求矩阵N的特征值，令,展开,和特征线法结果完全相同。,34,确定偏微分方程的一般方法（特征值法）,4 举例说明特征值法,C 小结,这里我们要指出：有些方程组，特征值可能既有虚数又有实数。这些情况下，方程组既不是椭圆型的又不是双曲型的，他们表现出双曲型椭圆型的混合特性。,35,不同类型偏微分方程的一般性质,双曲型方程一般性质 抛物型方程一般性质 椭圆型方程一般性质,36,双曲型方程一般性质,用CFD术语讲，由双曲线方程决定的流程可以“推进”求解。,37,流体力学中，下列类型的流动由双曲型偏微分方程决定的：,定常无粘超声速流动 非定常无粘流动,双曲型方程一般性质,38,抛物型方程一般性质,和双曲线方程一样，抛物型方程也适用于“推进”求解。,39,抛物型方程一般性质,流体力学中，下列流动模型的控制方程是抛物线方程：,定常边界层流动 “抛物化”粘性流动 非定常热传导,40,涉及椭圆方程的问题常常被称为“陪审团”问题，因为区域内的解依赖于所有的边界。 必须在整个边界上给定边界条件： 在边界上指定未知函数 u和vDirichlet条件 在边界上指定未知函数的导数，,椭圆型方程一般性质,41,椭圆型方程一般性质,流体力学中，下列流动模型的控制方程是椭圆型方程：,定常亚声速无粘流动 不可压无粘流动,
