1、一、频率的定义与性质,二、概率的定义与性质,三、小结,第三节 频率与概率,1. 定义,一、频率的定义与性质,2. 性质,设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,可见, 在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具有稳定性.即通常所说的统计规律性,例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率, 发现各字母出现的频率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.
2、0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展.,二、概率的定义与性质,1、概率的定义,证明,由概率的可列可加性得,2. 概率
3、的性质,证明,由概率的可列可加性得,证明,证明,证明,证明,由图可得,又由性质 3 得,因此得,推广 三个事件和的情况,n 个事件和的情况,解,例3 某工厂职工可以订阅两种读物报纸和杂志，其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志的概率为0.2, 两种都订阅的概率为0.1. 求,解 事件A , B分别表示“订阅报纸和订阅杂志”,(1),(1) 订阅报纸而不订阅杂志的概率;(2) 至少订阅一种读物的概率;(3) 两种读物都不订阅的概率.,(2),(3),例4 设A , B满足 P ( A ) = 0.8, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得.,- 最小值,- 最大值,最大值在 时取得.,例5、,例6、设 同时发生时，C必然发生，则：,而：,2. 概率的主要性质,三、小结,Born: 25 Apr. 1903 inTambov, Tambovprovince,Russia Died: 20 Oct. 1987 inMoscow, Russia,柯尔莫哥洛夫资料,Andrey Nikolaevich Kolmogorov,
