1、3 .3晶格振动量子化与声子,问题的提出：在简谐近似下，晶体中存在3NS个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这3NS个简谐格波共同决定，那么， 晶格振动的系统能量是否可表示成3NS个独立谐振子能量之和？,2,2,一、晶格振动和谐振子,1系统能量的普遍表示 一维单原子链中，平衡时距原点为na的原子，t时刻的绝对位移是q所有可能的N个值的特解的线性叠加：,其中Aq（t）Aqe-it 。按经典力学，系统的总能量为动能和势能之和：,该表示式中有（Un+1Un）的交叉项存在，对建立物理模型和数学处理都带来困难。用坐标变换的方法 消去交叉项。,2坐标变换（变量置换） 设,（351）,式中Qq(
2、t)称为简正坐标，容易证明：,（352）,证明要点： q=q时，显然成立； qq时，为对比级数求和，亦可证。 由式（351），（352）可得,（351）,（353）,3系统能量的重新表示,由式（351）（353）可得系统势能,(3-54),式中2q =,不含交叉项了。,类似地，系统的动能也可写为,于是系统总能量可写成不含交叉的标准式：,(3-56),复习：,经典谐振子能量 ETW m + kx2 , 所以（356）式相当于m=1, k=q2的 以Qq为自变量的谐振子能量。 可见 由N个原子组成的一维晶体，其晶格振动能量可看成N个谐振子的能量之和。,二 、能量量子和声子 （量子力学修正） 把上述
3、经典谐振子的能量用量子力学的结果来表示。量子力学告诉我们，频率为的谐振子，其能量为,n=0,1,2 （357）,这表明谐振子处于不连续的能量状态。当n0时，它处于基态，E0 ,称为零点能。相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量子，称它为声子，正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子一样。,3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，因此式 （357）也是一个频率为的格波的能量。频率为i(q)的格波被激发的程度，用该格波所具有的能量为i (q)的声子数n的多少来表征。,1.声子是玻色子,一个模式可以被多个相同的声子占据，和q相同的声子不可区分，自旋为零。满足玻色统计。除碰撞外，不考虑它们之间的相互作用
4、，则可视为近独立子系，则玻色统计与玻尔兹曼统计一致。,讨论,2.声子是一种准粒子,粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，满足能量守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的准动量。,3.准动量选择定则,准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢Gh,(q)= (q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1q2q3Gh 简写成：q1q2q3Gh,各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，一个格波的平均声子数有多少呢？由于声子间相互作用很弱，除了碰撞外，可不考虑它们之间的相互作用，故可把声子视为近独立子系，这时玻色爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统
5、计是一致的。,三.平均声子数,在确定的温度T下，频率均为的N个格波的平均能量,（这里的N并不是晶体的格波总数）,其中：N频率为的格波总数Nn频率为，能量为En(即声子数为n)的格波数，的声子在同的格波间均可存在，某一的格波具有声子数n的状态，满足一定的几率分布。可理解为声子在格波间可跳跃。,Nn/N：温度为T、频率为、能量为En(即n为某确定值)的格波出现的几率，由玻尔兹曼统计,其中：分母为配分函数gn：能量为En的相格数，即能量En的简并度。设： gn1,因为,与上式比较可得,利用等比级数求和公式、求导、整理可得,KBT2,（358）,（358),其中,意义：频率为的格波温度为T时的平均声子数。当 KBT时， 0.6,定性地讲，此格波已激发，以此为界，温度为T时，只有KBT的格波才能被激发。,（359),
