1、24.1.3弧、弦、圆心角,圆的对称性,轴对称性,复习,圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?,思考,圆是中心对称图形，,它的对称中心是圆心.,将圆绕圆心任意旋转：,圆具有旋转不变性,导入,N,O,把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，,N,O,N,把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，,N,O,N,把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，,N,O,N,把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，,N,O,N,定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合,所以圆具有旋转不变性,把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，,由此可以看出，点N仍落在圆上。,圆心角：我们把顶点在圆心
2、的角叫做圆心角.,O,如图中所示,AOB是一个圆心角。,概念,判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。,议一议,如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？,根据旋转的性质,将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB 的位置时,显然AOBAOB,射线OA与OA重合,OB与OB重合.而同圆的半径相等,OA=OA,OB=OB,从而点A与A重合,B与B重合.,O,A,B,O,A,B,A,B,A,B,探究,同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_， 所对的弦_； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角_，所对的弧_,这样，我
3、们就得到下面的定理：,相等,相等,相等,相等,定理,O,A,B,下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为,根据圆心角、弧、弦的关系定理可知：,想一想,同圆或等圆,如图,AB、CD是O的两条弦。 (1)如果AB=CD,那么， 。 (2)如果AB=CD,那么， 。 (3)如果AOB=COD, 那么 ， 。,试一试,(4)如果AB=CD,OEAB于E,OFCD于F,OE与 OF相等吗？为什么？,试一试,相 等,AB=CD ， AOB=COD.,又AO=CO，BO=DO，,AOB COD.,又OE、OF是AB与CD对应边上的高，, OE = OF.,圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.在同圆或等圆中,相等
4、的圆心角所对的弦的弦心距相等.,两条弦心距,把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1.同时整个圆也被分成了360份.,则每一份这样的弧叫做1的弧.,这样,1的圆心角对着1的弧,1的弧对着1的圆心角.n 的圆心角对着n的弧,n 的弧对着n的圆心角.,性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.,小结,（2） 所对的圆心角和 所对的圆 心角相等,在两个圆中，分别有 , 若 的度数和 相等，则有,（1） 和 相等,判断,结束,试一试,点此继续,知识延伸,例题讲解,证明：,AB=AC, ABC是等 腰三角形,又ACB=60，,ABC是等边三角形, AOBBOCAOC.,例题讲解,(2)AOB、COB、
5、AOC的度数分别为_,例题讲解,(3)若O的半径为r,则等边ABC三角形的边长为_,例题讲解,(4)延长AO，分别交BC于点P，交弧BC于点D,连结BD,CD。试判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。,例2如图,AB是O的直径， ,COD=35, 求AOE的度数,解：,O1和O2是等圆,ADO1O2,正确的是( ) A.AB= CD且ABCD B.AB= CD且ABCD C.AB= CD且AB= CD D.以上都不对,O1,O2,A,B,C,D,例3,如图，已知AD=BC，求证AB=CD.,例4,如图，CD是O的弦,AC=BD,OA、OB分别交CD于E、F. 求证：OEF是等腰三角
6、形.,O,A,C,D,E,F,B,例5,变式：如图:在圆O中，已知AC=BD，试说明：（1）OC=OD（2）AE= BF,如图,已知点O是EPF 的平分线上一点,P点在 圆外，以O为圆心的圆与EPF 的两边分别相交于 A、B和C、D.求证：AB=CD,分析:联想到角平分线的性质,作弦心距OM、ON，,.,P,A,B,E,C,D,F,要证AB=CD ，只需证OM=ON,O,例6,.,如图，P点在圆上，PB=PD吗？P点在圆内，AB=CD吗？,P,B,E,D,F,O,思考,例7、如图，O与ABC三边均相交，在三边上截得的线段DE=FG=HK （1）若A=50，则BOC=_ （2）若A=，则BOC=
7、_,例8、A、B、C、D是O上四点，且 弧AB=2弧CD，则弦AB与弦CD的2倍的关系是（ ） A、AB2CD B、AB=2CD C、AB2CD D、不能确定,例9、如图，M、N分别为O的非直径弦AB、CD的中点，AB=CD，求证：AMN=CNM,例10、如图，已知ABC的三个顶点都在O上，CN为O的直径，CMAB，点F为弧AB的中点，求证： （1）CF平分NCM（2）AM=NB,C,B,M,F,N,例11、如图，A、B、C是O上三个点，连接弧AB和弧AC的中点D、E的弦交弦AB、AC于F、G，求证：AF=AG,A,D,E,B,C,F,G,.O,1相等的圆心角所对的弧相等。（ ）,2.如图，O
8、中，AB=CD,，则,试一试你的能力,3、 如图，在O中，AC=BD， ,求2的度数。,4.如图，在O中，ABAC，B70.求C度数.,5、如图，在三个等圆上各有一条劣弧 弧AB，弧CD，弧EF，如果弧AB+弧CD=弧EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ） A、AB+CD=EF B、AB+CDEF C、AB+CDEF D、不确定,6、如图，在ABC中，ABC=900，C=400,求弧AD的度数。,弧的度数就是该弧所对圆心角的度数。,7、在圆中，若弧AB的度数是900，那么弧AB的长是圆周长的_。,8、若弦AB等于O的半径，则弦所对的圆心角度数是_,9如图，AB是O的直径，BC、CD、DA
9、是O的弦，且BCCDDA， 求弧BD的度数.,10、如图所示，在O中，AC是直径，弦AB=CD，求证：AOD=BOC,11、如图所示，AB、CD是O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE。 求证：B=D,12、如图所示，已知以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，以AB长为半径作圆交AD于点F，交BC于点G，BA的延长线交A于点E。求证：弧EF=弧FG,13、如图所示，已知AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F。求证：AE=BF=CD,14、如图所示，AB是O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD分别交O于点E、F，求证：弧AE=弧BF,15、已知：如图，在O中，弧AB=弧BC=弧CD，OB、OC分别交AC、DB于点M、N，判断OMN的形状并证明,B,C,
