1、第 1 页 共 5 页y o xb ca dy NG o xI F BI E导体棒问题的归类例析导体棒问题不纯属电磁学问题，它常涉及到力学和热学。往往一道试题包含多个知识点的综合应用，处理这类问题必须熟练掌握相关的知识和规律，还要求有较高的分析能力、逻辑推断能力，以及综合运用知识解决问题的能力等。导体棒问题既是高中物理教学的重要内容，又是高考的重点和热点问题。同学们在复习过程中若能进行归类总结，再演绎推广，驾驭知识的能力将会提升到一个新的层次，现采撷几例，进行归类剖析和拓展，引导同学们熟练处理此类问题，直达高考。一、通电导体棒在磁场中运动通电导体棒在磁场中，只要导体棒与磁场不平行，磁场对导体棒
2、就有安培力的作用，其安培力的方向可以用左手定则来判断，大小可运用公式 F=BILsin 来计算，若导体棒所在处的磁感应强度不是恒定的，一般将其分成若干小段，先求每段所受的力再求它们的矢量和。由于安培力具有力的共性，可以在空间和时间上进行积累，可以使物体产生加速度，可以和其它力相平衡，因此通电导体棒问题常常和其它知识进行联合考察，此类问题概括起来一般分为平衡和运动两大类。1、 平衡问题通电导体棒在磁场中平衡时，它所受的合外力必为零，我们可依此作为解题的突破口。例 1：如图所示在倾角为 300 的光滑斜面上垂直放置一根长为 L，质量为 m，的通电直导体棒，棒内电流方向垂直纸面向外，电流大小为 I，
3、以水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向建立直角坐标系，若所加磁场限定在 xoy 平面内，试确定以下三种情况下磁场的磁感应强度 B。若要求所加的匀强磁场对导体棒的安培力方向水平向左，使导体棒在斜面上保持静止。若使导体棒在斜面上静止，求磁感应强度 B 的最小值。试确定能使导体棒在斜面上保持静止的匀强磁场的所有可能方向。解析：欲使通电导体棒受安培力水平向左，且棒在重力、安培力和斜面的支持力作用下平衡。即：，故磁场方向竖直向上，大小为mgBIL03tan ILmg3磁感应强度 B 最小时，安培力和重力的一个分力相平衡，满足 mgsin300=B1IL，故磁场方向垂直斜面向上，大小为 IL
4、mg21棒在重力、安培力和支持力作用下平衡，而重力 G 和弹力 N 的方向如图所示，欲使导体棒在斜面上保持静止，所施磁场力的方向应在图中两虚线所夹区域才能使其所受合外力为零，即 B 与 x 轴正方间的夹角为 000 方向与 xRVLBmI02安 RVLBa02sLBmaR/120轴相反；当 时，F0 方向与 x 轴相同；当 时，F=0sVLBaR/120 sm/12拓展： 近 期 科 学 中 文 版 的 文 章 介 绍 了 一 种 新 技 术 航 天 飞 缆 ， 航 天 飞 缆 是 用 柔 性 缆 索 将 两 个 物 体 连 接 起来 在 太 空 飞 行 的 系 统。飞缆系统在太空飞行中能为自
5、身提供电能和拖曳力，它还能清理“ 太 空 垃 圾 ”等 。 从 1967年至 1999年 的 17次 试 验 中 ， 飞 缆 系 统 试 验 已 获 得 部 分 成 功 。 该系统的工作原理可用物理学的基本定律来解释。下 图 为 飞 缆 系 统 的 简 化 模 型 示 意 图 ， 图 中 两 个 物 体 P、 Q的 质 量 分 别 为 mp、 mQ， 柔 性 金 属 缆 索长 为 l， 外 有 绝 缘 层 ， 系 统 在 近 地 轨 道 作 圆 周 运 动 ， 运 动 过 程 中 Q距 地 面 高 为 h。 设 缆 索 总 保 持 指 向地 心 ， P的 速 度 为 p。 已 知 地 球 半
6、径 为 R， 地 面 的 重 力 加 速 度 为g。 飞 缆 系 统 在 地 磁 场 中 运 动 ， 地 磁 场 在 缆 索 所 在 处 的 磁 感 应 强 度 大 小 为 B， 方 向 垂 直 于 纸 面向 外 。 设 缆 索 中 无 电 流 ， 问 缆 索 P、 Q哪 端 电 势 高 ?此 问 中 可 认 为 缆 索 各 处 的速度均近似等于 p，求P、Q两端的电势差？ 设 缆 索 的 电 阻 为 R1， 如 果 缆 索 两 端 物 体 P、 Q通 过 周 围 的 电 离 层 放 电 形 成 电 流 ， 相应的电第 3 页 共 5 页V0 t阻为R 2，求缆索所受的安培力多大？ 求缆索对
7、Q 的拉力 FQ？简解： 飞 缆 系 统 在 地 磁 场 中 运 动 切割磁感应线时产生的电动势 EBlv 0，由右手定则可知 P 点电势高，于是P、Q 两点电势差为 UPQBlv P 又 缆索通 过 周 围 的 电 离 层 放 电 形 成 电 流 ，依闭合电路欧姆定律得 安培力大小为2121RBlvRpI，且它所受安培力的方向与缆索垂直与其速度方向相反。21RvlBApIF 设 Q 的速度设为 vQ，由 P、Q 绕地做圆周运动角速度相同得 ，又 Q 受地球引力和缆索拉力 FQ 作用hRlvQp提供其圆周运动的向心力，故满足 ，联立黄金代换式 解得hRvQhRMmFG22)( 2RMGg22)
8、()(lhRvgpmF2、 导体棒的渐变运动导体棒在切割磁感线运动时，由于有能量的转化，其运动速度可能会发生相应的变化，致使其切割时产生的感应电动势也随之而变，此时由于安培力发生变化使物体处于一种渐变运动状态。例 4：如图所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为 L，磁感应强度为 B 的匀强磁场与框架平面垂直，一质量为 m 阻值为 r 的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接一个定值电阻 R，不计导轨电阻，试分析松手后金属棒在磁场中的运动情况？解析：松手后，金属棒在重力的作用下开始做自由落体运动，而物体一旦运动起来，棒就有切割磁感应线的速度，于是在 U 型框架中将形成逆时针方向
9、的感应电流，此时导体棒又成了一段通电直导线，必然受到一个竖直向上的安培力作用，因此导体棒将在重力和安培力的共同作用下在竖直面内做变加速运动。设经 t 时间导体棒达到速度 V，此时导体棒的加速度为 a，则由法拉第电磁感应定律得 E=BLV，依闭合电路欧姆定律得 ，于是导体棒所受的安培力为 F=BIL，依牛顿第二定律可得 mg-BIL=ma 联立诸式可得 。rREI mVLBga2观察 a 随 V 变化的关系式不难发现：导体棒做的是一种加速度逐渐减小的加度运动，当速度为 0 时，棒的加速度达最大值 g，当棒的加速度为 0 时，棒有最大速度 ，整个运动过程中导体棒的 V-t 曲线如右图所示。2LBm
10、gV拓展： 如图所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为 L，磁感应强度为 B 的匀强磁场与框架平面垂直，一质量为 m 的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接一个电容为 C 的电容器，开始时不带电，现将金属棒从离地高为 h 处无初速释放，求棒落地的时间 t 是多少？简解：棒在磁场中下落时，必然要切割磁感应线产生一定的感应电动势，又由于电容器可以容纳电荷，因此在回路中就要形成一个充电电流，使棒受到一个竖直向上的安培力的作用。设在时间 t 内，棒的速度增加了 V ，棒的平均加速度为 a，则 E=BLV，Q=CE，依电流强度的定义可得 ，于是导体棒所受的安培力为 F=BiL=B2L
11、2Ca，由牛顿第CBLaittQ二定律可得 mg-F=ma，整理上述各式得 ，由 a 的表达式不难发现棒的下落过程是一种CLBmg2匀加速直线运动，于是 ghat)(223、双导体棒的切割运动对于双导体棒运动的问题，通常是两棒与导轨构成一个闭合回路，当其中的一棒在外力作用下获得一定速度时必然在磁场中切割磁感线在该闭合电路中形成一定的感应电流，另一根导体棒在磁场中通电时就在安培力的作用下开始运动，一旦运动起来也将切割磁感线产生一定的感应电动势，对原来电流的变化起阻碍作用。解决此类问题时通常将两棒视为一个整体，于是相互作用的安培力是系统的内力，这个变力将不影响整体的动量守恒；因此解题的突破口就是巧
12、妙选择系统，运用动量守恒（冲量定理）和功能关系来进行求解。第 4 页 共 5 页b d BV0O A 2RC B例 5：两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为 l，导轨上面横放着两根导体棒ab 和 cd，构成矩形回路，如图所示，两根导体棒的质量皆为 m，电阻皆为 R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为 B，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时棒 cd 静止，棒 ab 有指向棒 cd 的初速度 0，若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热量是多少。（2）当 ab 棒的速度变为初速度的 时，cd 棒的加
13、速度是多少？43解析：（1）选择两棒作为研究对象，从初始至两棒达到速度相同的过程中，系统不受外力，总动量守恒 mV02 mV，而且系统损失的动能全部用于生热，依能的转化和守恒律得该过程中产生的总热量 ，21021mQ即 2041mVQ（2）设 ab 速度 0 时，cd 棒的速度为 ，则由动量守恒可知 m0m 0m43 43此时回路中的感应电动势为 Bl（ 0 ）感应电流为 ，此时 cd 棒所受的安培力 FIbl 于是 cd 棒的加43 RI2速度为 联立可得mFamRvlBa02拓展： 图中 a1b1c1d1 和 a2b2c2d2 为在同一竖直面内的金属导轨，处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中
14、，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面) 向里。导轨的 a1b1 段与 a2b2 段是竖直的，距离为l1；c 1d1 段与 c2d2 段也是竖直的，距离为 l2。x 1y1 与 x2y2 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为 m1 和 m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为 R。F 为作用于金属杆 x1y1 上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。简解：设杆向上运动的速度为 v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的
15、感应电动势的大小为 ，回路中的电流 且电流沿顺时针方向。两金属vlBE)(12REI杆都要受到安培力作用，作用于杆 的安培力为 方向向上，作用于杆 的安培力 方向向1yxIf1 2yxIBlf2下。当杆匀速运动时由牛顿第二定律得 ，解得 和 ，于是022fgmF)(12lBgmFIRVlgmF21)(重力的功率的大小为 ，电阻上的热功率为 Q=I2R。联立解得 和gvmP)(21 Pl)(12。RQlBgmF2)(124、导体棒转动切割导体棒在磁场中转动切割磁感线时，由于各点切割的线速度不同，不能直接用 E=BLVsin 来计算，然导体棒绕定轴转动时依 V=r 可知各点的线速度随半径按线性规律
16、变化，因此通常用中点的线速度来替代，即 或2LV2BAV例 6：如图所示，半径为 L 粗细均匀的金属圆环，其阻值为 R 处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，另有一长度为L，电阻为 的金属棒 OA 可绕 O 轴在磁场中以角速度 逆时针匀速转动，转动过程中金4R属棒的 A 端与金属圆环接触良好，一阻值为 的定值电阻分别与杆的 O 端和金属圆环边2R缘 C 连接，求电路中总电流的变化范围？Fa1b1c1d1x1 y1a2b2 c2d2x2 y2第 5 页 共 5 页M C NBRP A QM C D NBRP A Q解析：导体棒 OA 在磁场中匀速转动切割磁感线，产生的感应电动势 通过金属圆环对外电
17、阻供电，2LBE且电流在外电路中顺时针循环。当棒转到 C 点时，金属圆环被短路，外电阻最小 ，此时加路中的电流最大；当棒转到 CO 的线长线上时，2minR金属圆环被一分为二，外电阻最大 ，此时外电路中的电流最小，依全电路欧姆定律42maxR可得电路中总电流的变化范围是 。BLRBLI32拓展： 金属导轨 MN 和 PQ 平行，间距为 L，导轨左端接有一定值电阻 R，整个装置处在方向垂直于纸面向上的匀强磁场 B 中，另有一长为 2L 的金属 AC 垂直于导轨，A 端始终与 PQ 导轨接触，棒以 A 为轴紧靠着 MN 导轨沿顺时针方向转动 900，若除 R 以外的其余电阻均不计，试求此过程中通过
18、电阻 R 的电量是多少？简解：导体棒在磁场中绕点 A 沿顺时针方向转动 900 的过程中，其有效切割长度 l 在不断的变化，将产生一个变化的电流对电阻 R 供电。由法拉第电磁感应定律得电动势为 E=BlV，在闭路形成的电流为 。当导线转到图中的 D 点时将使电路断开，虽切割磁感应线但不对 R 供REI电。设棒由 AC 转到 AB 所用的时间为 t 通过 R 的电量为 Q ，则有一般关系式 ，代入解得RBlVtQRBLQ23导体棒问题虽然纷繁复杂，但我们只要能把课本的主干知识融会贯通，重点概念和重点规律理解透彻，乱熟于心，平时多留意勤思考，切实掌握住此类问题的求解方法，恰当地选择研究对象，寻找其在变化过程中所遵循的规律，梳理解题思路，建立合适的物理方程，就一定能找到破解之道。
