1、 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司互动课堂疏导引导1.棱柱的结构特征棱柱是多面体中最简单的一种，对棱柱的概念应正确理解，准确把握，它有两个本质特征：(1)有两个面(底面 )互相平行，(2)其余各面( 侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱) 都互相平行.因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形.但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱，如图所示的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱.案例 1 下列命题中正确的是( )A.四棱柱是平行六面体 B.直平行六面体是长方体C.六
2、个面都是矩形的六面体是长方体 D.底面是矩形的四棱柱是长方体【探究】 四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体，两个底面是矩形的直平行六面体是长方体.故选 C.【规律总结】 在四棱柱中，有以下关系应掌握好.直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体 底 面 是 矩 形 底 面 是 正 方 形 棱 相 等2.棱锥的结构特征(1)棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：有一个面是多边形； 其余的各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可.因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形.但是要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥，如图此多面体有一面是四边形，其余各面都是三角形，但
3、它不是棱锥.一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体.(2)特殊的棱锥正棱锥如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.判断一棱锥是否是正棱锥必须满足下面两个条件:一是底面是正多边形,二是顶点在底面上的射影必是底面正多边形的中心.这也是掌握正棱锥定义的两个要点.案例 2 请探究一下什么样的平面图形可以折叠成正方体，什么样的平面图形可以折叠成四个面都是全等三角形的三棱锥【探究】 构成正方体的平面图形有很多种，可以用硬纸板先粘一个正方体，再分解举例说明：如图 1、图 2.http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司图 1 图 2这样的图还有很多
4、，同学们可以多做几个，练习空间想象能力如图 3，一个正三角形有三条中位线分开可以折成所求的图形，还有另外几种图 3【规律总结】 学习棱柱、棱锥应该从最简单的情况入手，正方体、正四面体正是最理想的载体，这个问题主要要求把握多面体的基本情况，运用纸张折叠，结合想象，掌握这两类简单几何体的性质与构成3.圆柱、圆锥、圆台、棱台的结构特征定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的几何体叫做棱台.用一个平行于圆锥底面
5、的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分,这样的几何体叫做圆台.疑难疏引 (1)对于棱台,应明确: 棱台的侧棱延长后相交于一点，否则，一定不是棱台；棱台的上、下底面是相似多边形，且相互平行；棱台的侧面是梯形；过棱台的侧棱的截面是梯形(2)圆柱、圆锥、圆台是从平面图形旋转来定义的，由于用来旋转的平面图形的不同，得到三种不同的旋转体.一定要注意它们旋转形成的过程，不能简单地说以直角三角形的一边为轴旋转形成的几何体叫圆锥，也不能说以直角梯形的一腰为轴旋转形成的几何体叫圆台，必须具体指出哪条边为轴才可以.从圆柱、圆锥、圆台的形成过程可以看出，它们的轴一定垂直于底面.并且平行于底面的截面都是圆；它们的轴截面
6、分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形(3)柱、锥、台的关系当圆台的上底逐渐变小，半径趋近于零时，圆台趋向于圆锥；当圆台上底逐渐变大，半径与下底半径相同时，圆台变为圆柱同样的，棱台、棱锥、棱柱也有这样的关系案例 3 将圆台还原成圆锥，圆锥的轴截面图如图，O 2、O 1、O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥顶点，并令 VO2=h，O 2O1=h1，O 1O=h2，则,417521hhhttp:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司h2=2h h1h 2=21.【规律总结】 “还台为锥” 是解决棱台及圆台问题的常用方法.4.球的结构特征疑难疏引 (1)球是一种常见的几何体.球
7、与棱柱、棱锥等多面体不同，它是一种旋转体，是由半圆绕着它的直径旋转来定义的.它只有一个面，即整个球面.从球的概念中，可以知道球面上任何一点到球心(即半圆的圆心 )的距离都等于定长；反过来，凡是到球心的距离等于定长的点都在球面上.我们在初中阶段已经知道“在一个平面内和一定点的距离等于定长的点的集合(点的轨迹)是一个圆”，把这个定理推广到空间，就是“和一定点距离等于定长的点的集合是一个球面”.(2)球和球面是两个不同的概念，球面仅仅指球的表面，而球( 球体)不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间.因此，用一个平面去截一个球，截面是圆面；而用一个平面去截一个球面，截面是圆.(3)球的截面性质球
8、心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 有如下关系：(如上图)2Rr(4)球与其他几何体形成的组合体问题球与其他几何体组成的几何体通常在试题中以相切或相接的形式出现，解决此类问题常常利用截面来表现这两个几何体之间的关系，从而将空间问题转化成平面问题.作适当的截面(如轴截面等 ),对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条对角线，才有利于解题.案例 4 用一个平面截半径为 5 cm 的球，球心到载面距离为 4 cm，求截面圆的面积.【探究】 如图，设 AK 为截面圆的半径，则 OKAK.在 Rt OAK 中，OA=5，O
9、K=4. (cm)34522AKO截面圆的面积为 32=9 cm2.http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司【规律总结】 有关球的计算问题，画出球的大圆截面图即可.案例 5 如图所示，在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和.【探究】 此题的关键在于作截面.一个球在正方体内，一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如右图的截面图.球心O1 和 O2 在 AC 上，过 O1、O 2 分别作 AD、BC 的垂线交于 E、F 两点.则由 AB=1,AC= ,得 AO1= r,CO2= R.33r+R+ (
10、r+R)= . .213rR【规律总结】 解决有关组合体的计算问题,灵活而巧妙地作出截面图是关键.5.简单组合体的结构特征(1)现实生活中，除了柱、锥、台、球等基本几何体外，还有许多几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成，这些几何体叫组合体(2)我们可以把日常生活中的房屋、机械零件、日常用品等分解成简单几何体，并用简单几何体的性质进行分析度量如，求螺母、螺栓的体积、面积等案例 6 (1)连结正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点)，所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体(2)连结上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体？【探究】 连
11、结相应点后,得出图形如图，再作出判断(1)先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1，O 1、O 2、O 3、O 4、O 5、O 6 分别是各表面的中心由点O1、O 2、O 3、O 4、O 5、O 6 组成了一个八面体，而且该八面体共有 6 个顶点，12 条棱该多面体的图形如图中的右图所示(2)六面体(正方体 )【规律总结】 为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的 O1O5、O 6O5、O 5O2、O 5O4 应画成http:/ 或 http:/中鸿智业信息技
12、术有限公司虚线本题中的八面体，事实上是正八面体八个面都是有相同边数的正三角形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间一个四边形 O2O3O4O5 还是正方形，当然其他的如O1O2O6O4 等也是正方形事实上，由正方体的部分顶点可构成多种形状的简单几何体如多面体 ACB1D1 便为四面体，即三棱锥，它是面数最少的空间几何体，而且该四面体也是正四面体；又如多面体 A1ABD 也是四面体，它是一个直角四面体，它也可看作是由正方体截下一个角所得的几何体，且截面是一个锐角三角形案例 7 在图中找出常见的几何体(至少 3 种)
13、，并画出来 .【探究】 从所给图形知，其中包含着圆柱、圆锥、圆台和球，因此只要画出这些简单几何体即可，画图时注意体现立体感，即被挡着的线应画成虚线或不画如图所示：【规律总结】 空间中的图形多种多样，要识别它们需要对基本图形，如柱、锥、台、球有正确的认识，熟记定义，学会用定义进行判断、查找特别是对简单几何体应相当熟悉，把握各自的特征，能从整体中分离出个体活学巧用1.在棱柱中( )A.只有两个面平行 B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形 D.两底面平行,且各侧棱也平行解析：由棱柱的结构特征知 D 正确.答案：D2.请思考如下问题：长方体是柱体吗？哪个面是底面？如果是柱体，是哪类棱柱?长方体
14、有什么特点？正方体呢？解析:长方体是棱柱，是四棱柱,所有面都是矩形，三对对面都可以看作底面，另外四个面看作侧面.正方体更特殊，所有棱都相等，侧面都是全等的正方形.正方体也叫正六面体，它有 6 个面，12 条棱，8 个顶点.3.斜四棱柱侧面最多可有几个面是矩形( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个解析：如图所示.在斜四棱柱 AC中,若 AA不垂直于 AB,则 DD也不垂直于 DC,所以四边形ABBA和四边形 DCCD就不是矩形.http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司答案：C4.下列命题中正确的是( )A.有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱B.有一个侧面是矩形的棱
15、柱是直棱柱C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱解析：两个相邻侧面的公共边是棱柱的侧棱.它分别垂直于矩形的两条相交的边,也就垂直于这两条边所在的底面,根据定义,棱柱是直棱柱.答案：D5.判断图中所示物体是不是锥体,为什么?解析：因为棱锥定义中要求:各侧面有一个公共顶点,但图中侧面 ABC 与 CDE 则没有公共顶点,故该物体不是锥体.6.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有_个( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：在如图所示的长方体 ABCDA1B1C1D1 中，取四棱锥 A1ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.答案：D7.下列命题中正确的是
16、( )A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点解析：如图，面 ABC面 A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱.A、B 都不正确.棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形即必须有一个公共顶点的几何体.如图,每个面都是三角形但形成的几何体不是棱锥.C 不正确.http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到，其各侧棱的延长线必交于一点，故 D 是
17、正确的.答案：D8.下列命题中的真命题是( )A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径解析：以直角梯形垂直于底的腰为轴旋转所得的旋转体是圆台，所以 B 不对；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面而不是圆，所以 C 不对；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以 D 不对.答案：A9.有下列命题：(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；(2)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；(
18、3)在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；(4)圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是( )A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(2)(4)解析：由母线的定义知(2)(4)正确.答案：D10.下列命题中:与定点的距离等于定长的点的集合是球面; 球面上三个不同的点,一定都能确定一个圆;一个平面与球相交 ,其截面是一个圆.其中正确命题的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3解析：命题、都对，命题一个平面与球相交，其截面是一个圆面.答案：C11.有下列说法：球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；球的直径是球面上任意两点间的连线段；用一
19、个平面截一个球，得到的是一个圆；不过球心的截面截得的圆叫做小圆其中正确命题的序号是_。答案：12.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是( )http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司A. B. C. D.解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得，当截面过正方体的体对角线时得，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得，但无论如何都不能截面.答案：C13.已知球的大圆的内接直角三角形的两直角边长分别为 3 和 4，则球的半径为( )A. B.2 C. D.323 25解析：球的大圆的直径就是其内接直角三角形的斜边，而斜边长为 5，得球的大圆半径为，即球的半径
20、.5答案：C14.A、B 为球面上相异两点，则通过 A、B 所作的大圆个数为( )A.1 个 B.无数个C.一个也没有 D.1 个或无数个解析：当 A、B 是球的直径的两个端点，那么过 A、B 的大圆有无数个，否则只有一个，应选 D.答案：D15.图 1 是由图 2 中的哪个平面图旋转得到的( )图 1图 2解析：因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥，因此平面图应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除 B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除 C.答案：A16.根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.答：如图，由梯形 ABCD 的顶点 A 引 AOCD 于 O 点，将直角梯形分为一个直角三角形AOD 和矩形 AOCB，绕 CD 旋转一周形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
