1、1三角形的内角和定理（一）泰宁县第二中学 元功平设计理念教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。它需要运用“对话式”的学习方式，采取多种教学策略，使学生在合作、探索、交流中发展能力，实现教者与学者感情上的融洽和情感上的共鸣；给学生体验成功的机会。.教师可以根据学生的提问或者活动中可能出现的某些情况，提供示范、建议和指导，引导学生大胆阐述并讨论他们的观点，让学生说明他们所获得的结论的有效性，并对结论进行评价。学生学习的过程是一个学生亲自参与,丰富、生动的思维活动,经历实践和创新的过程。教学內容义务教育课程标准实验教科书数学 （北师大版）八年级下第 207-211 页教学目标1.知识与技能
2、：掌握三角形内角和定理的证明。初步体会添加辅助线证题，培养学生观察、猜想和论证的能力2.过程与方法 ：经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，给学生渗透化归的数学思想。3.情感态度与价值观：通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，进而激发学生的求知欲和学习的积极主动性。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。学情与教材分析1.“三角形内角和定理的证明”是八年级下初中数学教材继“相交线与平行线”之后的一个学习内容，应用这个定理可以得出三角形外角和，以及三角形内角与外角的关系，多边形内角和。也是学习“解直角三角形”的基础。因此本节课的内容在教材的编排顺序上起着承上启下的作用
3、。根据新的课程标准，将三角形的内角和定理证明作为重点，教学难点是在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线，同时将自主探索、动手操作、协作交流意识的培养作为重点。 在教学过程中循序渐进的设计“猜想” 、“讨论” 、 “验证” 、 “应用”等环节以突破难点。2学生分析：八年级的学生，已具备一定的自主学习和协作交流能力，班级中学2生相互评价、相互提问、信息互享的互动氛围较浓；在学习了相交线与平行线的基础上，本节课的学习便是知识的延续和创新，学生会积极主动的投入实验、讨论、交流、建构。教学准备教师准备多媒体演示两幅,学生每人准备一个硬纸片三角板。教学过程一、引入新课师同学们，我们做这样的实验：将三
4、角形纸片的三个角剪下，随意将它们拼凑在一起，恰好得到一个什么角?生平角。从而大家得出三角形的三个内角和等于 180。让学生自己动手探究,体会数学研究的乐趣.师现在，我们来看两个电脑的动画演示，验证这个结论是不是正确的。1.动画演示一师先将ABC 中的A 通过平移和旋转到如上图所示的位置，再将图中的B 通过平移到上图所示的位置。拖动点 A，改变ABC 的形状，三角形的三个内角和总等于 1802.动画演示二 3师先将三角形纸片(图(1)一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图(2)，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相重合(图(3) (4)。)师由电脑的动画演示可知：A、B
5、、C 拼成的角总是一个平角，由此得到三角形的三个内角之和等于 180。让学生直观感受,调动其研究兴趣我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定正确可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理、证明。这就是我们这节课所要研究的内容。二、定理证明师接下来我们来证明这个命题：三角形的三个内角之和等于 180。这是一个文字命题，证明时需要先做什么呢?生需要先画出图形、根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。有本章前面几节作为基础，学生有能力画图，写已知，求证。师很好!怎样证明呢? 联想前面撕角拼角的方法，学生能想到。 让学生体会转化的数学思想方法，把新知识化为旧知识。生添加辅助线，
6、延长 BC 到点 D，过点 C 作 CEAB，A=ACE，B=ECD，进而将三个内角拼成平角。通过以上分析、研究，让学生讲解依据：根据平行线的性质，利用同位角,内错角把三角形三内角转化为一个平角。使学生亲身参与数学研究的过程，并在过程中体会数学研究的乐趣。 实验法 已知：ABC 求证：A+B+C=180证明：延长 BC 到点 D，过点 C 作 CEABCEABA=ACE(两直线平行，内错角相等)B=ECD(两直线平行，同位角相等)ACE+ECD+BCA=180A+B+BCA=180(等量代换)教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里
7、，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。 4上面我们证明了三角形三个内角和等于 180，这个结论是正确的，我们称它为三角形内角和定理。证明思路是将三角形的三个角集中到点 C 处，拼成一个平角。根据这个思路，你们有没有其它的证法呢? 教师给出规范的证明过程的板书，可以起到示范的作用。也在向学生强调要重视数学的基本功。三、探究讨论四个学生为一组，探索三角形内角和定理的其它证法分析、证明方法。师给同学们一些时间，在独立思考的基础上合作交流积极探索，看哪个组的思路广，证法多。大家比一比，好吗?生(齐声)好! 学生自主探索，教师巡视、诊断，给学生足够的时间师同学们探索好了吗?生(齐声)好了
8、，我们有很多证法。师现在，各组派一名代表说明证明的思路。学生自己得出的猜想和证明会更让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给了学生。1.生 1过点 A 作直线 PQBC，使三个角凑到“A”处。通过分析、研究，让不同做法的学生讲解依据。根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为一个平角。证明：过点 A 作直线 PQBCPQBCB=PAB(两直线平行，内错角相等)C=QAC(两直线平行，内错角相等)PAB+QAC+BAC=180B+C+BAC=180(等量代换)2.生 2在ABC 的一边 BC 上任取一点 D，过点 D点作其它两边的平行线，把三个内角拼成以 D 为顶点的平角。证明：在 BC
9、 上任取一点 D，过点 D 作5DEAB，DFACB=EDC(两直线平行，同位角相等)C=FDB(两直线平行，同位角相等)A=FDE(平行四边形的对角相等)BDF+FDE+EDC=180A+B+C=180(等量代换)师很好!这三位同学是将ABC 的三个角集中到一个顶点处或一条边上的任意一点上。其实，通过添加辅助线，是否可以将ABC 的三个角集中到三角形内部或外部的任意一点上拼成一个平角。3.试一试证明三角形内角和定理时，可以把三角形的三个角“凑”到 BC 边上的一点 P,（如图 647（1） ） ，如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图 647（2） ） “凑”到三角形外一点呢？（如图
10、647（3） ） ，你还能想出其他证法吗？教师对学生猜想适当点拨，作为课外研究课题，可以调动学生的研究兴趣。并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路。 师同学们，你们由 180还可以联想到什么?生 3一对邻补角之和等于 180。生 4两直线平行，同旁内角互补。师好!从这两个角度去思考，能想到其他的证明方法吗?4.生 5过点 A 作 ADBC，有C=2，将三个内角拼成一对同旁内角。证明：过点 A 作射线 AQBCC=QAC(两直线平行，内错角相等)QAC+BAC+B=180(两直线平行，同旁内角互补)BAC+B+C=180(等量代换)5.生 6分别过ABC 各顶点，任作一组平行线6AB CDa
11、bc，将三个内角拼成平行的一对同旁内角。请一位同学上台讲述证明过程师同学们讨论得真棒。我们由 180联想到一平角等于 180，一对邻补角之和等于 180，两直线平行，同旁内角互补。由此，大家提供了这么多的的证明方法，说明你们能学以致用。接下来，我们做练习以巩固三角形内角和定理。 根据以上几种辅助线的作法，选择一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主完成证明过程。目的是培养学生的思维能力和推理能力。进一步搞清作辅助线的思路和合乎逻辑的分析方法，充分让学生表述自己的观点，这个过程对培养学生的能力极为重要，依据不充分时，学生可争论，师生共同小结。6.讨论:用橡皮筋构成 ABC，其中顶点 B
12、、 C 为定点， A 为动点（如图 637） ，放松橡皮筋后，点 A 自动收缩于 BC 上，请同学们考察点 A 变化时所形成的一系列的三角形： A1BC、 A2BC、 A3BC其内角会产生怎样的变化呢？生甲当点 A 离 BC 越来越近时, A 越来越接近 180,而其他两角越来越接近于 0.生乙三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.师很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于 180的？生丙三角形的最大内角不会大于或等于 180.师很好.看实验：当点 A 远离 BC 时， A 越来越趋近于 0,而 AB 与 AC 逐渐趋向平行，这时， B、 C 逐渐接近为互补的同旁内角.即 B+ C1
13、80.请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？生齐声180通过图形变换，培养学生观察、分析、解决问题的能力。四、例题讲解例：ABC 中，C=ABC=2A，BD 是 AC 边上的高，如图，求DBC 的度数。学生自主探索，教师巡视、诊断，让学生上台板演，学生辨析，教师小结。7使学生灵活应用三角形内角和定理。用代数方法解决几何问题（方程思想）是重要的方法。五、练一练1.填空。在ABC 中，A=60，B=50，则C=（ ）C=90，则A+B=（ ）A=50，B=C，则C=（ ）小组测评、互改、对其中出现的问题，教师有针对性地讲解。2.已知：如图,在ABC 中，DEBC，A=60，C=70求证：ADE
14、=50证明： DE BC（已知） AED= C（两直线平行，同位角相等） C=70（已知） AED=70（等量代换） A+ AED+ ADE=180（三角形的内角和定理） ADE=180 A AED（等式的性质） A=60（已知） ADE=1806070=50（等量代换）进一步使学生灵活运用三角形内角和定理小组讨论写法，由四名学生代表本组上台板演，进行对比，学生讨论,教师点评。3.如果ABC 是正三角形,求A4.在ABC 中，若A+B=2C，求C83、4 两题作为课堂小测，小组内部互改，点评订正。六、师生共同小结1.三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于 180 2.三角形内角和定理的证明
15、方法不止一种，视角不同，想法不同，证明的方法也不同，也可以说是一题多解。为了证明的需要，常常添作辅助线。过一点作某条直线的平行线是常用辅助线。此类辅助线的用途是：利用平行线的性质造成角的迁移、相等，设法将三个角合并成一个平角或者形成两条平行线间的同旁内角。3.在解题的过程中，我们往往不是对问题正面直接攻破而是把问题进行变形转化，直到把它化为某个熟悉的或已经解决了的问题，这种解决问题的思想方法就是化归的思想方法。我们证明了一个很有用的三角形内角和定理，证明思想是，运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角。辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习引导学生进行
16、总结和概括，培养学生的归纳概括能力。七、课外作业1.习题 6.6 P210：1、2、3 2.复习本章内容。板书设计1.三角形内角和定理。2.三角形内角和定理的几种证明方法。3.例析4.课堂练习5.师生共同小结6.作业布置教学反思本节课的教学设计经过实际的教学检验，成功之处有：创设问题情境好，两个电脑动画的演示吸引了学生，激起了他们的求知欲望；教师教学民主，使学生敢于发表自己的不同想法；教学效果好。教学设计的不足之处：学生提供的三角形内角和定理的证明方法很多超出教师的考虑范围，学生还有一些证明方法，由于时间所限，无法在课内展示。教师的体会：我感觉本套教材对几何内容的择取更加以人为本，更贴近学生生
17、活现实，处理手法上更新颖，给老师和学生更大的活动空间，增进了学生对数学的理解，激发了他们的创造力。本节课的教学中，学生提供的三角形内角和定理的证明方法多种多样，虽然有一些不足之处，但都是他们自己探索得到的。有一些方法，超出我们的预料，带给我们无数的惊喜，我们感叹孩子们的创造力和想象力，这就是新课程带给我们的收获。9设计思路1.提出疑问：前面的课程学习了三角形三条边的关系，那么三角形的三个内角又存在怎样的关系呢？2.动手实践：引导学生做剪纸实验，并带领学生一起撕下三角形的任意两个角，拼在第三个角的顶点处。观察拼接结果，发现三个角拼在一起刚好是一个平角。 3.得出猜想：三角形的内角和为 180。4
18、.教师用多媒体动画展示三角形内角和为 180 的过程。5.教师指出：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自拼接了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。启发学生运用所学的几何知识去证明这一结论。6.证明猜想，得出定理、 分析命题:让学生结合图形说出已知和求证。已知：ABC 求证：A+B+C=180 教师重点分析证明思路，启发学生根据实验过程添加辅助线，鼓励学生独立思考，寻求证明方法。 学生分组讨论何处能提供 180的结论？如何将三个角相加？如何利用平行线的性质构造同位角、内错角，同旁内角，将角的大小不变，而位置改变，从而将三角形的三个内角集中。各小组展示探究结果，归纳出以
19、下几种证法： 方法过点 C 点，作 CEBA，方法过 A 点，作 PQBC，方法在 BC边上取任一点 D，作 DEAB、DFAC 等。方法过点 A 作射线 AQBC 等。分析定理的内容、作用。三角形的内角和定理是任意三角形都必须满足的条件，我们可以利用它找到三角形中角的关系、进行角度的计算。 巩固练习一 :在ABC 中，A=60，B=50，则C=（ ） C=90，则A+B=（ ） A=50，B=C，则C=（ ） 出示例题，应用例题巩固定理，完成 教材 208 页练习 1、 2 题,布置210 页习题做为作业, 归纳总结：明确知识三角形的内角有怎样的关系？三角形内角和定理的证明，如何添加辅助线是关键。辅助线是怎样添加的？为什么这样添加？最后是教学反思。
