1、第 1 页 共 4 页高中化学竞赛辅导专题讲座三维化学近年来，无论是高考，还是全国竞赛，涉及空间结构的试题日趋增多，成为目前的热点之一。本文将从最简单的五种空间正多面体开始，与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。第一节 正方体与正四面体在小学里，我们就已经系统地学习了正方体，正方体（立方体或正六面体）有六个完全相同的正方形面，八个顶点和十二条棱，每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。正四面体是我们在高中立体几何中学习的，它有四个完全相同的正三角形面，四个顶点和六条棱。那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢？请先让我们看下面一个例题吧：【例题 1】常见有机分子甲烷的结构是正四面
2、体型的，请计算分子中碳氢键的键角（用反三角函数表示）【分析】在化学中不少分子是正四面体型的，如 CH4、CCl 4、NH 4 、 SO42 它们的键角都是 10928，那么这个值是否能计算出来呢？如果从数学的角度来看，这是一个并不太难的立体几何题，首先我们把它抽象成一个立体几何图形（如图 1-1 所示） ，取CD 中点 E，截取面 ABE（如图 1-2 所示） ，过A、B 做 AF BE，BG AE，AF 交 BG 于 O，那么 AOB 就是所求的键角。我们只要找出AO（=BO）与 AB 的关系，再用余弦定理，就能圆满地解决例题 1。当然找出 AO 和 AB 的关系还是有一定难度的。先把该题放
3、下，来看一题初中化学竞赛题：【例题 2】CH 4 分子在空间呈四面体形状，1 个 C 原子与 4 个 H 原子各共用一对电子对形成 4 条共价键，如图 1-3 所示为一个正方体，已画出 1 个 C 原子(在正方体中心) 、 1 个 H 原子( 在正方体顶点 )和 1 条共价键( 实线表示)，请画出另 3 个 H 原子的合适位置和 3 条共价键，任意两条共价键夹角的余弦值为 【分析】由于碳原子在正方体中心，一个氢原子在顶点，因为碳氢键是等长的，那么另三个氢原子也应在正方体的顶点上，正方体余下的七个顶点可分成三类，三个为棱的对侧，三个为面对角线的对侧，一个为体对角线的对侧。显然三个在面对角线对侧上
4、的顶点为另三个氢原子的位置。【解答】答案如图 1-4 所示。【小结】从例题 2 中我们发现：在正四面体中八个顶点中不相邻的四个顶点（不共棱）可构成一个正四面图 1-1 图 1-2图 1-3图 1-4第 2 页 共 4 页体，正四面体的棱长即为正方体的棱长的 倍，它们的中心是互相重合的。2【分析】回到例题 1，将正四面体 ABCD 放入正方体中考虑，设正方体的边长为 1，则 AB 为面对角线长，即 ，AO 为体对角线长的一半，即/2，由余弦定理得 cos(AO 2BO 2AB 2)/2AOBO1/33【解答】甲烷的键角应为 arccos1/3【练习 1】已知正四面体的棱长为 ，计算它的体积。【讨
5、论】利用我们上面讲的思想方法，构造一个正方体，那么正四面体就相当于正方体削去四个正三棱锥（侧面为等腰直角三角形） ，V 正四面体a 34(1/6)a 3。若四面体相对棱的棱长分别相等，为 a、b、c ，求其体积。我们也只需构造一个长方体，问题就迎刃而解了。【练习 2】平面直角坐标系上有三个点（a 1，b 1） 、 （a 2，b 2） 、 （a 3，b 3）求这三个点围成的三角形的面积。【讨论】通过上面的构造思想，你能构造何种图形来解决呢？是矩形吧！怎样表达面积呢？你认为下面的表达式是否写得有道理？S （maxa 1，a 2，a 3mina 1，a 2，a 3）（maxb 1，b 2，b 3mi
6、nb 1，b 2，b 3） （ b3321a）3【练习 3】在正四面体中体心到顶点的距离是到底面距离的几倍，能否用物理知识去理解与解释这一问题呢？【讨论】利用物理中力的正交分解来解决这一问题，在平面正三角形中，从中心向顶点构造三个大小相等，夹角为 120 的力 F1、F 2、F 3。设 F1 在 x轴正向，F 2、 F3 进行正交分解在 x、y 轴上，在 x 轴上的每一个分力与 F1 相比就相当于中心到底面与到顶点距离之比，而两个分力之和正好与 F1 抵消，即大小相等。显然中心到顶点距离应为到底边距离的2 倍。在空间，构造四个力 Fi（i1，2，3，4） ，F 1 在x 轴正向（作用点与坐标原
7、点重合） ，F 2、F 3、F 4 分解在与 x 轴与 yz 面上，yz 面上三个力正好构成正三角形，而在 x 轴（负向）上有三个分力，其之和与 F1 抵消，想想本题答案应为 3 吗？当然这个问题用体积知识也是易解决的。 Si C图 1-5第 3 页 共 4 页让我们再回到正题，从上面的例题 1，2 中，我们了解了正四面体与正方体的关系，虽然这是一个很浅显易懂的结论，但我们还是应该深刻理解和灵活应用，帮助我们解决一些复杂的问题。先请再来看一个例题吧：【例题 3】SiC 是原子晶体，其结构类似金刚石，为 C、Si 两原子依次相间排列的正四面体型空间网状结构。如图 1-5 所示为两个中心重合，各面
8、分别平行的大小两个正方体，其中心为一 Si 原子，试在小正方体的顶点上画出与该 Si 最近的 C 的位置，在大正方体的棱上画出与该 Si 最近的 Si 的位置。两大小正方体的边长之比为_；SiCSi 的键角为_(用反三角函数表示) ；若 SiC 键长为 a cm，则大正方体边长为_cm； SiC 晶体的密度为_g/cm 3。 （N A 为阿佛加德罗常数，相对原子质量 C.12 Si.28） 【分析】正方体中心已给出了一个 Si 原子，那么与 Si 相邻的四个 C 原子则在小正方体不相邻的四个顶点上，那么在大正方体上应画几个 Si 原子呢？我们知道每个碳原子也应连四个硅原子，而其中一个必为中心的
9、硅原子，另外还剩下 4312 个硅原子，这 12 个点应落在大正方体上。那么这 12 个又在大正方体的何处呢？前文介绍正方体时曾说正方体有 12 条棱，是否每一条棱上各有一个碳原子？利用对称性原则，这 12 个硅原子就应落在各棱的中点。让我们来验证一下假设吧。过大正方体的各棱中心作截面，将大正方体分割成八个小正方体，各棱中点、各面心、顶点、中心构成分割后正方体的顶点。原来中心的硅原子就在分割后八个正方体的顶点上了，由于与一个碳原子相邻的四个硅原子是构成一个正四面体的。利用例 2 的结论，分割后的正方体上另三个硅原子的位置恰为原来大正方体的棱心（好好想一想） 。那么碳原子又在分割后的正方体的哪里
10、呢，毫无疑问，在中心。那么是否每个分割后的正方体的中心都有碳原子呢？这是不可能的，因为只有四个碳原子，它们应该占据在不相邻的四个正方体的中心。碳原子占据四个硅原子构成的最小正四面体空隙的几率为 1/2，那么反过来碳原子占据碳原子四面体空隙的几率又是多少呢？也 1/2 吧，因为在空间，碳硅两原子是完全等价的，全部互换它们的位置，晶体是无变化的。我们可以把大正方体看成 SiC 晶体的一个基本重复单位，那么小正方体（或分割后的小正方体）能否看成一个基本重复单位呢？这是不行的，因为有的小正方体中心是有原子的，而有些是没有的。大小两个正方体的边长应是 2:1 吧，至于键角也就不必再说了。最后还有一个密度
11、问题，我们将留在第二节中去分析讨论。【解答】如图 1-6 所示（碳原子在小正方体不相邻的四个顶点上，硅原图 1-6第 4 页 共 4 页子在大正方体的十二条棱的中点上） 2:1 arcos (1/3) 4 /3 315 /2NAa3【练习 4】金刚石晶体是正四面体型的空间网状结构，课本上的金刚石结构图我们很难理解各原子的空间关系，请用我们刚学的知识将金刚石结构模型化。【练习 5】在例题 3 中，如果在正方体中心不画出 Si 原子，而在小正方体和大正方体上依旧是分别画上 C 原子和 Si 原子，应该怎么画呢？【讨论】还是根据例题 3 的分析，在例题 3 中，将大正方体分割成小正方体后，我们所取的
12、四个点在大正方体上是棱心和体心，那么我们是否可以取另外四个点呢？它们在大正方体中又在何位置呢？与原来的位置（棱心体心）有什么关系呢？【练习参考答案】1 ；3a )()(6 22222 bacbc2该表达式是正确的；33 倍4只需将例题 3 中将 Si 原子变成 C 原子，就是我们所需的金刚石结构模型，大正方体就是金刚石的晶胞（下文再详述） 。5可以取另外四个点，C 原子的位置无变化，Si 原子在大正方体的面心和顶点上（这不就是山锌矿的晶胞吗？下文再详述） ；与原来的位置正好相差了半个单位，即只需将原来的大正方体用一水平面分成两等份，将下面部分平移到上面一部分的上面接上即可。本文不着重探讨其中涉及纯理论的内容，大家可参考相应的竞赛书籍和大学教材。
