1、第 2 讲 等差数列及其前 n 项和最新考纲1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知 识 梳 理1等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示数学语言表达式：a n1 a nd(nN *)，d 为常数2等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列a n的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana 1(n1)d.若等差数列a n的第
2、m 项为 am，则其第 n 项 an可以表示为 ana m(nm )d.(2)等差数列的前 n 项和公式Sn na 1 d.(其中 nN *，a 1 为首项，d 为公差，a n为第 n 项)na1 an2 nn 123等差数列及前 n 项和的性质(1)若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且 A .a b2(2)若a n为等差数列，当 mnpq，a ma na pa q(m，n，p，qN *)(3)若a n是等差数列，公差为 d，则 ak，a km ，a k2m ，(k，m N *)是公差为md 的等差数列(4)数列 Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，也是等差数列
3、(5)S2n1 (2n1)a n.(6)若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 ；nd2若 n 为奇数，则 S 奇 S 偶 a 中 (中间项)4等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系等差数列 一次函数解析式 anknb(nN *) f(x)kxb(k 0)不同点定义域为 N*，图象是一系列孤立的点( 在直线上 )，k 为公差定义域为 R，图象是一条直线，k 为斜率相同点数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数k0 时，数列 anknb( nN *)图象所表示的点均匀分布在函数 f(x)kxb(k 0)的图象上； k0 时，数列为递增数列，函数为增函数；k 0 时，数列为
4、递减数列，函数为减函数(2)等差数列前 n 项和公式可变形为 Sn n2 n，当 d0 时，它是关于d2 (a1 d2)n 的二次函数，它的图象是抛物线 y x2 x 上横坐标为正整数的均匀分d2 (a1 d2)布的一群孤立的点辨 析 感 悟1对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)(教材习题改编)数列a n为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( )2等差数列的通项公式与前 n 项和(4)数列a n为等差数列的充要条件是对任意 nN *，都有 2an1 a na n2 .
5、()(5)等差数列a n的单调性是由公差 d 决定的()(6)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数()3等差数列性质的活用(7)(2013广东卷改编)在等差数列 an中，已知 a3a 810，则 3a5a 720.()(8)(2013辽宁卷改编)已知关于 d0 的等差数列 an，则数列a n，na n，a n3nd都是递增数列 ()ann感悟提升一点注意 等差数列概念中的“从第 2 项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)等差数列与函数的区别 一是当公差 d0 时，等差数列的通项公式是 n 的一次函数，当公差 d0 时，a n为常数，如(3)；二是公差不为 0 的等差数
6、列的前 n项和公式是 n 的二次函数，且常数项为 0；三是等差数列a n的单调性是由公差d 决定的，如(8)中若 an3n12，则满足已知，但 nan3n 212n 并非递增；若 ann1，则满足已知，但 1 是递减数列；设 ana 1(n1)ann 1nddnm，则 an3nd4dnm 是递增数列.学生用书第 82 页考点一 等差数列的基本量的求解【例 1】 在等差数列a n中，a 11，a 33.(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列a n的前 k 项和 Sk35，求 k 的值解 (1)设等差数列 an的公差为 d，则 ana 1(n1)d.由 a11，a 33，可得 12d3.解得
7、d2.从而，a n1(n1)(2) 32n.(2)由(1)可知 an32n.所以 Sn 2nn 2.n1 3 2n2进而由 Sk 35 可得 2kk 235.即 k22k350，解得 k7 或5.又 kN *，故 k7 为所求规律方法 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【训练 1】 (1)(2013浙江五校联考)已知等差数列a n满足a2a 44，a 3a 5
8、10，则它的前 10 项的和 S10( )A85 B135 C95 D23(2)(2013新课标全国卷 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若Sm1 2，S m0，S m1 3，则 m( )A3 B4 C5 D6解析 (1)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，则Error!解得 Error!S10 10(4) 395.1092(2)法一 S m1 2，S m0，S m1 3，a mS mS m1 2，a m1 S m1 S m3，公差 da m1 a m1，由 Snna 1 dna 1 ，nn 12 nn 12得Error!由得 a1 ，代入可得 m5. 1 m2法二 数列a n
9、为等差数列，且前 n 项和为 Sn，数列 也为等差数列Snn ，即 0，Sm 1m 1 Sm 1m 1 2Smm 2m 1 3m 1解得 m5.经检验为原方程的解故选 C.答案 (1)C (2)C考点二 等差数列的判定与证明【例 2】 (2014梅州调研改编)若数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足an2S nSn1 0(n2) ，a 1 .12(1)求证： 成等差数列；1Sn(2)求数列a n的通项公式审题路线 (1)利用 anS nS n1 (n2) 转化为关于 Sn与 Sn1 的式子同除SnSn1 利用定义证明得出结论(2)由(1)求 再求 Sn再代入条件 an2S nSn1 ，求 a
10、n验证 n1 的情况1Sn得出结论(1)证明 当 n2 时，由 an2S nSn1 0，得 SnS n1 2S nSn1 ，所以 2，1Sn 1Sn 1又 2，故 是首项为 2，公差为 2 的等差数列1S1 1a1 1Sn(2)解 由(1)可得 2n， S n .1Sn 12n当 n2 时，anS nS n1 .12n 12n 1 n 1 n2nn 1 12nn 1当 n1 时，a 1 不适合上式12故 anError!规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明ana n1 d(n2，d 为常数)；二是等差中项法，证明 2an1 a na n2 .若证明一个数列不是
11、等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【训练 2】 已知数列a n满足：a 12，a n1 3a n3 n1 2 n.设 bn .证明：数列b n为等差数列，并求a n的通项公式an 2n3n证明 b n1 b n an 1 2n 13n 1 an 2n3n 3an 3n 1 2n 2n 13n 11，3an 32n3n 1b n为等差数列，又 b1 0.a1 23b nn1，a n(n1)3 n2 n.学生用书第 83 页考点三 等差数列的性质及应用【例 3】 (1)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和， S84a 3，a 72，则 a9( )A6 B4 C 2 D2(2)在等差数列
12、a n中，前 m 项的和为 30，前 2m 项的和为 100，则前 3m 项的和为_解析 (1)S84a 3 4a 3a 3a 6a 3，a 60，d2，a 9a 72d28a1 a8246.(2)记数列a n的前 n 项和为 Sn，由等差数列前 n 项和的性质知Sm，S 2mS m，S 3mS 2m成等差数列，则 2(S2mS m)S m(S 3mS 2m)，又Sm30，S 2m100，S 2mS m1003070，所以 S3mS 2m2(S 2mS m)S m110，所以 S3m110100210.答案 (1)A (2)210规律方法 巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数
13、列且和为定值时，可设中间三项为 ad，a，ad；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为 a d，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元【训练 3】 (1)在等差数列a n中若共有 n 项，且前四项之和为 21，后四项之和为 67，前 n 项和 Sn286，则 n_.(2)已知等差数列a n中，S 39，S 636，则 a7a 8a 9_.解析 (1)依题意知 a1a 2a 3a 421，a na n1 a n2 a n3 67.由等差数列的性质知 a1a na 2a n1 a 3a n2 a 4a n3 ，4(a 1a n)88，a 1 an22.又 Sn ，即 286 ，n
14、26.na1 an2 n222(2)an为等差数列，S3，S 6S 3， S9S 6成等差数列，2(S6S 3)S 3(S 9S 6)a7a 8a 9 S9S 62(S 6 S3) S32(36 9) 945.答案 (1)26 (2)451等差数列的判断方法(1)定义法：a n1 a nd(d 是常数) an是等差数列(2)等差中项法：2a n1 a na n2 (nN *) an是等差数列(3)通项公式：a npnq( p，q 为常数) an是等差数列(4)前 n 项和公式： SnAn 2Bn (A、B 为常数)a n是等差数列2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a
15、1和 d等基本量，通过建立方程(组)获得解 方法优化 4整体代入法( 整体相消法)在数列解题中的应用【典例】 (1)(2012辽宁卷 )在等差数列 an中，已知 a4a 816，则该数列前 11项和 S11( ) A58 B88 C143 D176(2)(2013北京卷)若等比数列 an满足：a 2a 420，a 3a 540，则公比q_；前 n 项和 Sn_.一般解法 (1)设数列a n的公差为 d，则 a4a 816，即 a13da 17d16，即 a185d，所以 S1111a 1 d11(85d)1110255d8855d55d88.(2)由 a2a 4 20，a 3a 540，得Er
16、ror!即Error!解得 q2，a 12，Sn 2 n1 2.a11 qn1 q 21 2n1 2优美解法 (1)由 a1a 11 a4a 816，得S11 88.11a1 a112 11a4 a82 11162(2)由已知，得 q2，a3 a5a2 a4 qa2 a4a2 a4又 a12，所以 Sn 2 n1 2.a11 qn1 q反思感悟 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省了时间，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征【自主体验】在等差数列a n中，已知 Snm，S mn(mn)，则 Smn _.解析 设 an的公差为 d，则由 Snm，S mn，得Error!E
17、rror!得(mn) a1 dnm，m nm n 12mn， a1 d1.m n 12Smn ( m n)a1 dm nm n 12(m n) (mn)(a1 m n 12 d)答案 (mn)对应学生用书 P287基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2013温州二模 )记 Sn为等差数列a n前 n 项和，若 1，则其公差S33 S22d( ) A. B2 C3 D412解析 由 1，得 1，S33 S22 a1 a2 a33 a1 a22即 a1d 1，d2.(a1 d2)答案 B2(2014潍坊期末考试 )在等差数列a n中，a 5a 6a 715，那么a3a 4a 9 等于
18、( )A21 B30 C35 D40解析 由题意得 3a615，a 65.所以 a3a 4a 97a 67535.答案 C3(2013揭阳二模 )在等差数列a n中，首项 a10，公差 d0，若ama 1a 2a 9，则 m 的值为( )A37 B36 C20 D19解析 由 ama 1a 2 a 9，得(m1)d9a 536dm37.答案 A4(2014郑州模拟 )an为等差数列，S n为其前 n 项和，已知 a75，S 721，则 S10( ) A40 B35 C30 D28解析 设公差为 d，则由已知得 S7 ，即 21 ，解得 a11，7a1 a72 7a1 52所以 a7a 16d，
19、所以 d .所以 S1010a 1 d10 40.23 1092 1092 23答案 A5(2013淄博二模 )已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 a13S 1313，则a1( ) A14 B13 C 12 D11解析 在等差数列中，S 13 13，所以 a1a 132，即13a1 a132a12a 1321311.答案 D二、填空题6(2013肇庆二模 )在等差数列a n中，a 1533，a 2566，则 a35_.解析 a 25a 1510d663333，a 35a 2510d663399.答案 997(2014成都模拟 )已知等差数列a n的首项 a11，前三项之和 S39，
20、则a n的通项 an_.解析 由 a11，S 39，得 a1a 2a 39，即 3a13d9，解得d2，a n 1( n1)22n1.答案 2n18(2013浙江五校联考 )若等差数列a n的前 n 项和为 Sn(nN *)，若a2a 352，则 S3S 5_.解析 .S3S5 3a1 a35a1 a5 3a25a3 35 52 32答案 32三、解答题9已知等差数列a n的公差 d1，前 n 项和为 Sn.(1)若 1，a 1， a3 成等比数列，求 a1；(2)若 S5a 1a9，求 a1 的取值范围解 (1)因为数列 an的公差 d1，且 1，a 1，a 3 成等比数列，所以a 1(a
21、12) ，即 a a 120，解得 a11 或 2.21 21(2)因为数列a n的公差 d1，且 S5a 1a9，所以 5a110a 8a 1，即21a 3a 1100，解得5a 12.21故 a1 的取值范围是(5,2)10设数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，a n 2(n1)(nN *)Snn(1)求证：数列a n为等差数列，并求 an与 Sn.(2)是否存在自然数 n，使得 S1 (n1) 22 015？若存在，求S22 S33 Snn出 n 的值；若不存在，请说明理由证明 (1)由 an 2(n1) ，得 Snna n2n(n 1)(nN *)Snn当 n2 时，a nS
22、nS n1 na n(n1)a n1 4(n1)，即 ana n1 4，故数列 an是以 1 为首项， 4 为公差的等差数列于是，a n4n3，S n 2n 2n(nN *)a1 ann2(2)由(1)，得 2n1(n N*)，Snn又 S1 (n1) 21357(2n1)(n1)S22 S33 Snn2n 2(n1) 22n1.令 2n12 015，得 n1 008，即存在满足条件的自然数 n1 008.能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2014咸阳模拟 )已知等差数列a n的前 n 项和为Sn，S 440，S n210，S n4 130，则 n( )A12 B14 C16
23、D18解析 S nS n4 a na n1 a n2 a n3 80，S4a 1a 2a 3a 440，所以 4(a1a n)120，a1a n30，由 Sn 210，得 n14.na1 an2答案 B2等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a113， S3S 11，当 Sn最大时，n 的值是( )A5 B6 C 7 D8解析 法一 由 S3S 11，得 a4a 5a 110，根据等差数列的性质，可得a7a 80，根据首项等于 13 可推知这个数列递减，从而得到 a70，a 80，故n7 时，S n最大法二 由 S3S 11，可得 3a13d11a 155d，把 a113 代入，得 d2
24、，故Sn13nn(n1) n 214n，根据二次函数的性质，知当 n7 时，S n最大法三 根据 a113，S 3S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前 n 项和是关于 n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当 n 7 时，S n取得3 112最大值答案 C二、填空题3(2014九江一模 )正项数列a n满足：a11，a 22,2a a a (nN *，n2)，则 a7_.2n 2n 1 2n 1解析 因为 2a a a (nN *，n2)，2n 2n 1 2n 1所以数列 a 是以 a 1 为首项，以 da a 41
25、3 为公差的等差数列，2n 21 2 21所以 a 13(n1) 3n2，2n所以 an ，n1.3n 2所以 a7 .37 2 19答案 19三、解答题4(2013西安模拟 )已知公差大于零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足a3a4 117，a 2a 522.(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足 bn ，是否存在非零实数 c 使得b n为等差数列？若存Snn c在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由解 (1)设等差数列 an的公差为 d，且 d0，由等差数列的性质，得a2a 5a 3a 422，所以 a3，a 4 是关于 x 的方程 x222x1170 的解，所
26、以 a39，a 413，易知a11，d4，故通项为 an1(n1)44n3.(2)由(1)知 Sn 2n 2n，所以 bn .n1 4n 32 Snn c 2n2 nn c法一 所以 b1 ，b 2 ，b 3 (c0)11 c 62 c 153 c令 2b2b 1b 3，解得 c .12当 c 时， bn 2n，12 2n2 nn 12当 n2 时，b nb n1 2.故当 c 时，数列 bn为等差数列12法二 由 bn ，Snn c n1 4n 32n c 2n(n 12)n cc0，可令 c ，得到 bn 2n.12b n1 b n2(n1) 2n2(nN *)，数列 bn是公差为 2 的等差数列即存在一个非零常数 c ，使数列b n也为等差数列.12学生用书第 84 页
