1、1第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件知识能否忆起一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题二、四种命题及其关系1四种命题命题 表述形式原命题 若 p，则 q逆命题 若 q，则 p否命题 若綈 p，则綈 q逆否命题 若綈 q，则綈 p2四种命题间的逆否关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系三、充分条件与必要条件1如果 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件2如果 pq， qp，则 p 是 q 的
2、充要条件小题能否全取1(教材习题改编)下列命题是真命题的为( )A若 ，则 x y B若 x21，则 x11x 1yC若 x y，则 D若 xb”是“ a2b2”的充分条件；“| a|b|”是“ a2b2”的必要条件；“ ab”是“ a cb c”的充要条件解析：由 23/ 2 2(3) 2知，该命题为假；由 a2b2|a|2|b|2|a|b|知，该命题为真； aba cb c，又 a cb cab，“ ab”是“ a cb c”的充要条件为真命题答案：1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“ pq”“qp”；(2)传递性：若
3、p 是 q 的充分(必要)条件， q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件3注意区分“ p 是 q 的充分不必要条件”与“ p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不同，前者是“ pq”而后者是“ qp”2从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反” 四种命题的关系及真假判断典题导入例 1 下列命题中正确的是( )“若 x2 y20，则 x， y 不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若 m0，则 x2 x m0 有实根”的逆否命题；“若 x3
4、是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题12A BC D自主解答 中否命题为“若 x2 y20，则 x y0” ，正确；中， 14 m，当 m0 时， 0，原命题正确，故其逆否命题正确；中逆命题不正确；中原命题正确故逆否命题正确答案 B由题悟法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题” “否命题” “逆否命题” ；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手以题试法1以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正
5、确命题的序号)“若 log2a0，则函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若 a0，则 ab0”的否命题是“若 a0，则 ab0” ；4命题“若 x， y 都是偶数，则 x y 也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若 a M，则 bM”与命题 “若 b M，则 aM”等价解析：对于，若 log2a0log 21，则 a1，所以函数 f(x)log ax 在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若 x y 是偶数，则 x、 y 都是偶数” ，是假命题，如 134 是偶数，但 3 和 1 均为
6、奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若 a M，则 bM”与命题“若 b M，则 aM”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有.答案：充分必要条件的判定典题导入例 2 (1)(2012福州质检)“ x3.121(2012福建高考)已知向量 a( x1,2)， b(2,1)，则 a b 的充要条件是( )A x B x112C x5 D x0解析：选 D a b2(x1)20，得 x0.2命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A “若一个数是负数，则它的平方不是正数”B “若一个数的平方是正数，则它是负数”C “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D “
7、若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选 B 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数3(2013武汉适应性训练)设 a， bR，则“ a0， b0”是“ ”的( )a b2 abA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 D 由 a0， b0 不能得知 ，如取 a b1 时， ；由 a b2 ab a b2 ab a b2不能得知 a0， b0，如取 a4， b0 时，满足 ，但 b0.综上所述，aba b2 ab“a0， b0”是“ ”的既不充分也不必要条件a b2 ab4已知 p：“ a ”， q：“直线 x y0 与圆 x2( y a)
8、21 相切” ，则 p 是 q 的( )2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 由直线 x y0 与圆 x2( y a)21 相切得，圆心(0， a)到直线x y0 的距离等于圆的半径，即有 1， a .因此， p 是 q 的充分不必要条件|a|2 25(2012广州模拟)命题：“若 x21 或 x1D若 x1 或 x1，则 x21解析：选 D x2y，则 x|y|”的逆命题B命题“ x1，则 x21”的否命题C命题“若 x1，则 x2 x20”的否命题D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题解析：选 A 对于 A，其逆命题是：若 x|y|，则 xy
9、，是真命题，这是因为x|y| y，必有 xy；对于 B，否命题是：若 x1，则 x21，是假命题如x5， x2251；对于 C，其否命题是：若 x1，则 x2 x20，由于 x2 时，x2 x20，所以是假命题；对于 D，若 x20，则 x0 或 x1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题8对于函数 y f(x)， xR， “y| f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“ y f(x)是奇函数”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 若 y f(x)是奇函数，则 f( x) f(x)，| f( x)| f(x)| f(x)|， y| f(x)|
10、的图象关于 y 轴对称，但若 y| f(x)|的图象关于 y 轴对称，如 y f(x) x2，而它不是奇函数9命题“若 x0，则 x20”的否命题是_命题(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若 x0，则 x20” ，它是假命题答案：假10已知集合 A x|ylg(4 x)，集合 B x|x4.答案：(4，)11(2013绍兴模拟)“31”是“ x1，得 x1，又“ x21”是“ x1”，反之不成立，所以 a1，即 a 的最大值为1.答案：113下列命题：若 ac2bc2，则 ab；若 sin sin ，则 ；“实数 a0”是“直线 x2 ay1 和直线 2x2 ay1 平行”的充要条件；若
11、f(x)log 2x，则 f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_解析：对于， ac2bc2， c20， ab 正确；对于，sin 30sin 150/ 30150，所以错误；对于， l1 l2A1B2 A2B1，即 2a4 aa0 且 A1C2/ A2C1，所以正确；显然正确答案：14已知集合 A ， B x|log4(x a)0，解得 x3，故 A x|x3；(12)由 log4(x a)cos 2B”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件9C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C 由大边对大角可知， A0，sin B0，所以 sin Acos 2B.所以 acos 2B，即“
12、 Acos 2B”的充要条件2设 x、 y 是两个实数，命题“ x、 y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是( )A x y2 B x y2C x2 y22 D xy1解析：选 B 命题“ x、 y 中至少有一个数大于 1”等价于“ x1 或 y1”若 x y2，必有 x1 或 y1，否则 x y2；而当 x2， y1 时，2111 或 y1 不能推出 x y2.对于 x y2，当 x1，且 y1 时，满足 x y2，不能推出 x1 或 y1.对于 x2 y22，当 x2，故不能推出 x1 或 y1.对于 xy1，当 x1，不能推出 x1 或 y1，故选 B.3已知不等式| x m
13、|a1，或 x1， 或 x1 且 a 或 a11 且 a5， P x|(x a)(x8)0(1)求 M P x|51，得 ， kZ，而( 4 k ， 2 k ) (kZ)( 4， 2) ( 4 k ， 2 k ) p 是 q 的充分不必要条件3判断命题“若 a0，则 x2 x a0 有实根”的逆否命题的真假解：法一：写出逆否命题进行判断原命题：若 a0，则 x2 x a0 有实根逆否命题：若 x2 x a0 无实根，则 a0，方程 x2 x a0 的判别式 4 a10，方程 x2 x a0 有实根故原命题“若 a0，则 x2 x a0 有实根”为真又因原命题与其逆否命题等价，所以“若 a0，则 x2 x a0 有实根”的逆否命题为真法三：利用充要条件与集合关系判断令 A aR| a0，B aR|方程 x2 x a0 有实根 aR a ，14则 A B.“若 a0，则 x2 x a0 有实根”为真，其逆否命题也为真12
