1、 等差数列及其前 n项和分层训练 A级 基础达标演练(时间：30 分钟 满分：60 分)一、填空题(每小题 5分，共 30分)1(2013重庆卷改编)在等差数列 an中， a22， a34，则 a10_.解析 设公差为 d，则 d a3 a22. a10， an2 n2 a10210218.答案 182(2013辽宁卷改编)在等差数列 an中，已知 a4 a816，则该数列前 11项和S11_.解析 由等差数列性质及已知，得 S11 (a4 a8) 1688.11 a1 a112 112 112答案 883(2013泰州学情调查)在等差数列 an中， a10， S4 S9，则 Sn取最大值时，
2、n_.解析 因为 a10， S4 S9，所以 a5 a6 a7 a8 a90，所以 a70，所以Error!从而当 n6 或 7时 Sn取最大值答案 6 或 74在等 差数列 an中，若 a1 a4 a739， a3 a6 a927，则 S9_.来源:学科网解析 a1 a4 a739， a3 a6 a927，3 a439,3 a627， a413， a69. a6 a42d9134， d2， a5 a4 d13211， S9 9 a599.9 a1 a92答案 995(2013南通调研)设等差数列 an的公差为正数，若 a1 a2 a315， a1a2a380，则a11 a12 a13_.解析
3、 由 15 a1 a2 a33 a2，得 a25.所以Error!又公差 d0，所以Error!所以d3.所以 a11 a12 a133 a123( a111 d)3(233)335105.答案 1056(2013南京模拟)已知数列 an的前 n项和为 Sn2 n2 pn， a711.若 ak ak1 12，则正整数 k的最小值为 _ 来源:Zxxk.Com解析 因为 a7 S7 S627 27 p26 26 p26 p11，所以p15， Sn2 n215 n， an Sn Sn1 4 n17( n2)，当 n1 时也满足于是由ak ak1 8 k3012，得 k 5.又 kN *，所以 k6
4、，即 kmin6.214答案 6二、解答题(每小题 15分，共 30分)7设 a1， d为实数，首项为 a1，公差为 d的等差数列 an的前 n项和为 Sn，满足S5S6150.(1)若 S55，求 S6及 a1；来源:学科网 ZXXK(2)求 d的取值范围解 (1)由题意知 S6 3， a6 S6 S58， 15S5所以Error! 解得 a17，所以 S63， a17.(2)因为 S5S6150，所以(5 a110 d)(6a115 d)150，即2a 9 da110 d210，21故(4 a19 d)2 d28，所以 d28.故 d的取值范围为 d2 或 d2 .2 28已知数列 an满
5、足 an2 an1 2 n1( nN *， n2)，且 a327.来源:学科网(1)求 a1， a2的值；(2)记 bn (an t)(nN *)，问是否存在一个实数 t，使数列 bn是等差数列？若存在，12n求出实数 t；若不存在，请说明理由解 (1)由 a327，得 2a22 3127，所以 a29.又由 2a12 219，得 a12.(2)假设存在实数 t，使得数列 bn是等差数列，则 2bn bn1 bn 1，即 2 (an t) (an1 t) (an1 t)，即12n 12n 1 12n 14an4 an1 an1 t，所以 4an4 2 an2 n1 t1，所以 t1.an 2n
6、 12故存在 t1，使得数列 bn是等差数列分层训练 B级 创新能力提升1(2013南京学期学情)已知数列 an， bn都是等差数列， Sn， Tn分别是它们的前 n项和，且 ，则 _.SnTn 7n 1n 3 a2 a5 a17 a22b8 b10 b12 b16解析 .a2 a5 a17 a22b8 b10 b12 b16 2 a11 a122 b11 b12 a1 a22b1 b22 S22T22 722 122 3 315答案 3152已知数列 an满足递推关系式 an1 2 an2 n1( nN *)，且 为等差数列，则an 2n 的值是_解析 由 an1 2 an2 n1，可得 ，
7、则 an 12n 1 an2n 12 12n 1 an 1 2n 1 an 2n ，当 的值是1 时，数列an 12n 1 an2n 2n 1 12 12n 1 2n 1 12 12n 1是公差为 的等差数列an 12n 12答案 13(2013苏北四市调研)已知数列 an， bn满足 a11， a22， b12，且对任意的正整数 i， j， k， l，当 i j k l时，都有 ai bj ak bl，则 (ai bi)的值是12 0102 010i 1_解析 由题意得 a1 b2 010 a2 b2 009 a3 b2 008 a2 009 b2 a2 010 b1.所以 (ai bi)2
8、 010( a1 b2 010)2 010i 1故 (ai bi) 2 010(a1 b2 010)12 0102 010i 1 12 010 a1 b2 010.下面求 b2 010.令 i1， j n， k2， l n1，即 a1 bn a2 bn1 ，则 bn bn1 a2 a11，所以bn是以 b12 为首项，以 d1 为公差的等差数列，所以 b2 0102(2 0101)2 011.所以 a1 b2 01012 0112 012.答案 2 0124已知 f(x)是定义在 R上不恒为零的函数，对于任意的 x， yR，都有 f(xy) xf(y) yf(x)成立数列 an满足 an f(
9、2n)(nN *)，且 a12.则数列的通项公式an_.解析 由 an1 f(2n1 )2 f(2n)2 nf(2)2 an2 n1 ，得 1，所以 是an 12n 1 an2n an2n首项为 1，公差为 1的等差数列，所以 n， an n2n.an2n答案 n2n5在等差数列 an中，公差 d0，前 n项 和为 Sn， a2a345， a1 a518.(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn (nN *)，是否存在一个非零常数 c，使数列 bn也为等差数列？若存在，Snn c求出 c的值；若不存在，请说明理由解 (1)由题设，知 an是等差数列，且公差 d0，则由Error! 得Err
10、or!解得Error! an4 n3( nN *)(2)由 bn ，Snn c n 1 4n 32n c 2n(n 12)n c c0，可令 c ，得到 bn2 n.来源:学+科+网 Z+X+X+K12 bn1 bn2( n1)2 n2( nN *)，数列 bn是公差为 2的等差数列即存在一个非零常数 c ，使数列 bn也为等差数列126在数列 an中， a11， an1 1 ， bn ，其中 nN *.14an 22an 1(1)求证：数列 bn是等差数列；(2)设 cn( ) bn，试问数列 cn中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存2在，求出这三项；如果不存在，说明理由(1)证明
11、 因为 bn1 bn 22an 1 1 22an 1 2( nN *)，且 b1 2 所以，数列22(1 14an) 1 22an 1 4an2an 1 22an 1 221 1bn以 2为首项，2 为公差的是等差数列(2)解 由(1)得 cn( )bn2 n，2假设 cn中存在三项 cm， cn， cp(其中 m n p， m， n， pN *)成等差数列，则22n2 m2 p，所以 2n1 2 m2 p,2n m1 12 p m.因为 m n p， m， n， pN *，所以 n m1， p mN *，从而 2n m1 为偶数，12 p m为奇数，所以 2n m1 与 12 p m不可能相等，所以数列cn中不存在可以构成等差数列的三项.
