1、第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。 （理想模型）二 平动 ：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。受力：内力 和外力fiFi对每一个质元：满足牛顿运动定律 + =Mi iifa对刚体而言： ( + )= Mi iif+ = Mi iFf显然 =0 = Mi I= Mif
2、iia故： =Ma即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。= , =dtt对匀速、匀变速转动可参阅 P210 表 4-2角量与线量的关系： v=R at=Ran= R2转轴 转动平面o参考方向更一般的形式：角速度矢量的定义：= ， =dt显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。例：一飞轮在时间 t 内转过角度 = -c ,式中 abc 都是常量。求它的角bat34加速度。解： 飞轮上某点的角位置可用
3、 表示为 = -c ,将此式对 t 求导数，t34即得飞轮角速度的表达式为 -c ）a+3b -4c(dtba3t4t23角加速度是角速度对 t 导数，因此得= = ( a+3b -4c )=6bt-12ctt23t2由此可见，飞轮作的是变加速转动。3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设 在转动平面内，F=MrF是矢量，对绕固定轴转动， 只有两种可能的方向，用正负即可表M示，按代数求和（对多个力） 。若 不在转动平面内，则要进行分解。F二 转动定律首先考虑任一质元 i，质量为 Mi,所受内力 和外力fiFi则 + =Mi iFfa按自然坐标系分解：cos cos =Mi in=Mi iif
4、i ri2irFoFiriMifiisin sin =Mi it=MiFiifiari第二式 得risin sin =Miiifiii2对整个刚体sin sin = （ Mi ）Firifiriri2sin =0内力距相互抵消fiisin = （ Mi ）ii i2令 J= （ Mi ）称为刚体的转动惯量r2而 = sin 总（合）外力距MzFii故 =J = J 刚体的转动定律zdt（与牛顿第二定律比较）三 转动惯量的计算1 质点组 J= （ Mi ）ri22 质量连续分布 J= =dmr2布分线 布分面 布分体dlsdr22J 是物体在转动中惯性大小的量度，决定于刚体各部分质量对给定转轴的
5、分布情况。例：求质量为 m 长 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1） 转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2） 转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3） 转轴通过棒上距中心为 h 的一点并和棒垂直。 解：（1） = (如图) J0dmr2= = o x 2llxl21l(2) = = (如图) JAldx02lm231dx 2l0 xx（3） = =JBhlldx2hlm21 +h dx +h2l 2lxO x总结：J 与以下几点有关：（1） 与刚体总质量有关；（2） 与质量分布有关；（3） 与转动轴的位置有关。四 回转半径的概念：J= （ Mi ） M= Miri2写成 J=M 称为刚体的回转
6、半径GG注意：求回转半径时，一般地不能把物体的质量看作集中在它的重心（质心）上。dx2l2l五 平行轴定理质心轴：通过质心的轴。求物体对于与质心轴平行的另一轴的转动惯量。此定理说明了同一物体对于上述两轴的不同转动惯量关系。z zd ri(质量元)i Mic o y xiix dyii设物体质量 M,质心为 c 点，取两组直角坐标系 oxyz、 ，z 轴通过质心oc，是质心轴， 轴平行于 z 轴，相距为 d，物体对 z 轴的转动惯量为 = （ ）= （ ）JzMir2yxii2i物体对 轴的转动惯量为= = ( + )= + z i2i2iMix2)(2dyi= ( + 2d + )ixyiid
7、= （ ）2d iii2iy2i= 2d MJzi2因为 z 轴为质心轴，即 = / =0yci i所以 = + M 平行轴定理z d2此定理叙述如下：物体对于任一轴 的转动惯量，等于物体对平行于 轴的质心轴 z转动z z惯量，加上物体质量与两轴间距离平方的乘积。例：固定在一起的两个同轴均匀柱体可绕其光滑的水平对称轴 O 转动，设大小圆柱体的半径分别为 R 和 r，质量分别为 M 和 m。绕在两柱体上的细绳分别与物体 和 相连， 和 则挂在圆柱体的两侧。 （如图）设m1212R=0.20m,r=0.10m,m=4,M=10, = =2,且开始时 、 离地面均为求：1212（1） 柱体转动时的角
8、加速度 （2） 两侧细绳的张力 、T12（3） 、 中哪一个先着地？经多长时间？ 12RO M m r OT1 T2 g g1 2hT1 T2a1g m1 a2gm2解：对于第一个物体由牛顿第二定律可知 g =1T1a对于第二个物体由牛顿第二定律可知 g=22对于刚体由刚体转动第二定律可知 R r= J1J= )(22rMm又由牛顿第三定律可知 = , =T1 由角量和线量关系可知 =R ， = ra2h= t21综合上式，代入已知值，可解得=6.13, =17.2, =20.8, 先着地，时间为 t=1.81 (SI)T12m13-3 定轴转动的角动能定理一 转动动能设刚体定轴转动时的角速度
9、为 ,划分微元，对第 i 个微元221rmEiiki所以 转动动能 (与物体的平动动能相Ji比较)二 力矩的功dddsd MrFrFAiiiii sncosco所以 0Mii为刚体所受的合外力距i所以 ds 00)(MdAii Fi注意：因刚体不变形，内力及内力 rid距的功永远为零。 三 定轴转动的角动能定理由转动定律： dJtdJtJMz 所以 dA角动能定212121理（J 不变的情况下）四 刚体的重力势能hmhmEciiip ggg刚体的质心ic高度例：一根质量为 m、长为 l 的均匀细棒 OA（如图） ，可绕通过其一端的光滑轴 O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒
10、摆到竖直位置时其中心点 C 和端点 A 的速度。O C A解：先对细棒 OA 所受的力作一分析：重力 G，作用在棒的中心点 C，方向垂直向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支撑力 N 垂直于棒和轴的接触面且通过 O 点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。在棒的下摆过程中，对转轴 O 而言，支撑力 N 通过 O 点，所以支撑力 N的力矩等于零，重力 G 的力矩则是变力矩，大小等于 ，棒转过一极cos21mg小的角位移 时，重力距所作的微功是ddlmgdAcos21在棒从水平位置下摆到竖直位置的过程中，重力距所作的总功mgldlgdA21cos20应该指出：重力矩的功就是重力的功
11、，也可用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角速度 ，下摆到竖直位置是的角速度为 ，按力矩的功0和转动动能增量的关系式得212Jmgl由此得 Jl3因 ，代入上式得lmJ231lg3所以细棒在竖直位置时，端点和中心点的速度分别为llAgllC3213-4 质点的角动量与角动量守恒定律 一 质点的角动量（动量矩）定义： prL大小： msinprL方向：右手螺旋注意：角动量不仅与参考系有关，也与中心点的选择有关。特例：圆周运动的质点： O mprLr大小： mrp2二 角动量定理与角动量守恒定律因为 rL所以 MFrmdtprtpdt )(即 tLM注： 是对 O 点的合力矩， 是质点对 O
12、点的角动量，也可以是质点系dtLM的角动量。写成 角动量定理Ldtt 12当 时（条件） ， 可得 ， 即 =恒量角动量守恒定00t律3-5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律一 定轴转动刚体的角动量定理1 刚体的角动量设刚体绕定轴转动，考虑某一微元 )()()( rrmrmLiiiiiiiii 因为 所以 =0ri因此 角动量 （与JLiiii22比较） P2 角动量定理及角动量守恒定律 )(JdLtMz所以 角动量定理0000 JLttz （ 叫力矩的冲量矩）dttz0若 （条件） ，则 恒量刚体角动量守z JL恒定律例：如图，有一均匀细棒，质量为 M，长为 2l。小球质量为 m,以
13、速度 u 垂直落到棒的端点，O 为转轴。设两物体作完全弹性碰撞，求：碰后小球回跳速度及棒的角速度？ fuO f解法一：对小球利用动量定理(按顺时针为正方向)mufdt对细棒应用角动量定理即 0JtlMt Jdtlf因为 ，所以 =ftl又因为 所以 u=-dt ml即 u= mlJ由弹性碰撞得 22211u其中 lMJ22311)(联合解得 mulmu)3(6解法二：碰撞时间极短，冲量矩很大，重力可忽略不计将小球和细棒看成一个系统，则此系统角动量守恒Jlmul再结合以上式即可得结果。例： 质量为 M、长为 的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴 O 无摩擦地l转动。它原来静止在平衡位置上，现有
14、一质量为 m 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞。相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度 处。30这碰撞设为弹性碰撞，试计算小球初速 的值。0相撞时，小球受到多大的冲量？O解：设碰后小球速度为 ，棒转速为 ，（1） 因为弹性碰撞，所以22201Jm l又因为系统合外力矩为 0，所以角动量守恒 M 30Jl0 0碰后机械能守恒，所以 m)cos1(213MgJ ffl23由得 代入得lg)21(3lmM12)(60（2）方法一： 所以 glmMlJ)231(260 故 3)21(021 glMmtfd方法二： 利用牛顿第三定律来做 lJtdJtdlttMff21 212121 因为 =
15、-f所以 =- =- =tfd21t21lJ3)21(glM3-6 刚体的自由度 刚体的平面平行运动在刚体定轴转动中，只要一个方程（转动定律）就能解决问题。对一般运动较复杂，需要几个方程联立起来才能求解。究竟需几个独立的方程呢？自由度。1 自由度决定这个系统在空间的位置所需要的独立参量的数目。例：一个质点可在三维空间自由运动，则它的位置需用三个独立的坐标来决定，该质点就有三个自由度 x、y、z。 （如飞机）一个质点在一个平面或曲面上运动，则该质点有二个自由度 x、y。 （如轮船）一个质点在一条直线或曲线上运动，则该质点有一个自由度 x。 （如火车）对于刚体来说，平动和转动都有，一个自由刚体在三
16、维空间的位置可决定如下：指出刚体上某点的位置，需用三个独立的坐标来决定 x、y、z， （平动自由度） 用两个独立坐标确定转轴的位置 、 ， （转动自由度）用一个参量来表示刚体绕转轴的转动 。 （转动自由度）总结：自由刚体共有 6 个自由度：3 个转动自由度、3 个平动自由度，但是当刚体转动受限时，刚体也可以只有一个自由度（如门的转动）或两个自由度（如摇头电风扇的转动） 。物体有几个自由度，它的运动定律就可归结为几个独立的方程式。一般质点系统，由于质点数目 N 很大，如果每个质点都能自由运动，则 N 个质点将有 3N 个自由度，即 3N 个独立的方程，比刚体的 6 个方程复杂得多。2 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动的定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定的距离，或者说刚体中各点都平行与某一平面而运动。转平 RcARC c地面 速度： 边缘上任一点 A 的速度为 转平 Rc JMC 刚体的动能： 221JECkm即刚体的全部动能等于质心运动的平动动能与刚体对质心的转动动能的和。
