双曲线练习及答案.doc

1、 龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 1 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：64047162双曲线练习及答案1、设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若 ，P21yx12F， 12|:|3:PF则 的面积为 。1212F2、已知过双曲线 的左焦点 的直线，交双曲线的左支于 两点， 为其右焦2143xy1 MN， 2点，则 的值为 。82MN3、设 P 是双曲线 的右支上一点，M、N 分别是圆（x5） 2y 24 和（x5）2xy196 2y 21 上的点，则|PM|PN|的最大值为 。 94、以知 F 是双曲线241xy的左焦点， (1,4)AP是双曲线右支上

2、的动点，则 PFA的最小值为 。95、已知 1、 2为双曲线 C: 2xy的左、右焦点，点 P 在 C 上， 1P 2= 06，则 P 到 x轴的距离为 。 66、已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，若顶点到渐近线的距21(0,)xyab3yx离为 1，则双曲线方程为 。2314xy7、已知圆 以圆 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶2:680CxyC点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 。214xy8、已知双曲线21(0,)xyab的一条渐近线方程是 y= 3,它的一个焦点在抛物线24y的准线上，则双曲线的方程为 。2197xy9、已知双曲线21(0b)xyab ， 的两条渐近线均和

3、圆 C: 2650x相切,且双龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 2 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：64047162曲线的右焦点为圆 C 的圆心, 则该双曲线的方程为 。2154xy10、设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线 的一个焦点，则 m= 。219yxm611、双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 。21xy 1412、若点 O 和点 (,0)F分别是双曲线 21(a0)xy的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 P的取值范围为 。 3, 13、已知三点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0） 。1F2F（1）求以 、 为焦点且过

4、点 P 的椭圆的标准方程；1F（2）设点 P、 、 关于直线 yx 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点2 P1F21F2的双曲线的标准方程。解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为 + ，其半焦距 。2axby)0(6c， ，|221PFa 5612253，故所求椭圆的标准方程为 + ；93645cb 42x19y（2）点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0）关于直线 yx 的对称点分别为：1F2F、 （0，-6） 、 （0，6） ，设所求双曲线的标准方程为 -),(12 21a，21by),(1ba由题意知半焦距 ， ，61c|2211FPa 542121a，52，故

5、所求双曲线的标准方程为 - 。16203211acb 20y16x14、已知两定点 ，满足条件 的点 的轨迹是曲线 ，直12,F1PFPE龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 3 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：64047162线 与曲线 交于 两点，如果 ，且曲线 上存在点 ，使1ykxE,AB63AEC，求 的值和 的面积 。OABmCCS解：由双曲线的定义可知，曲线 是以 为焦点的双曲线的左支，且12,0,F，易知 ，故曲线 的方程为 ，设 ，由2,1cabE10xy12,AxyB题意建立方程组 ，21ykx消去 ，得 ，又已知直线与双曲线左支交于两点 ，有y10

6、,，解得 ，212080kxk21k又 212ABx22114kxx，依题意得 ，22214k2k2631k整理后得 ， 或 但 ， ，42850257k2452故直线 的方程为 ，设 ，由已知 ，AB1xy,cCxyOABmC得 ， ， ，12,cxym1212,cxym0又 ， ，点1245k2121228kykx458,Cm将点 的坐标代入曲线 的方程，得 ，得 ，但当 时，所得的点在双E280641m44m曲线的右支上，不合题意， ， 点的坐标为 ， 到 的距离为C5,2CAB龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 4 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：640471

7、62， 的面积 。2513ABC1632S15、如图，在以点 为圆心， 为直径的半圆 中，O|4ADB， 是半圆弧上一点， ，曲线 是满足DABP30PBC为定值的动点 的轨迹，且曲线 过点 .|MMP（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 的方程；（2）设过点 的直线 l 与曲线 相交于不同的两点 、 .CEF若 的面积不小于 ，求直线 斜率的取值范围.OEF2l（1）解法 1：以 O 为原点， AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0） ，B（2，0） ，D(0,2),P（ ） ，依题意得1,3MA-MB= PA-PB AB4.2132)2( ）（ 曲

8、线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线.设实平轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c，则 c2，2a 2 ，a 2=2,b2=c2-a2=2.曲线 C 的方程为 .12yx解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系，则依题意可得MA- MB =PA-PB AB4.曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为0，b0）.ayx(2则由 解得 a2=b2=2,曲线 C 的方程为4132ba）（ .12yx(2)解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2，代入双曲线 C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0.龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂

9、华Page 5 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：64047162直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F， ，k（- ,-1）（-1，1）0)1(64)(0122kk 31k3（1， ）.3设 E（x，y） ，F(x 2,y2)，则由 式得 x1+x2= ,kxk16,42于是EF 1 )()(yx .134)1 222122 kk而原点 O 到直线 l 的距离 d ，2kS DEF = .13213121222 kkEFd 若OEF 面积不小于 2 ,即 SOEF ，则有 解 得 .2,0213242 kkk综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为 - ，-1(1-,1)

10、(1, ).解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2，代入双曲线 C 的方程并整理，得（1- K2）x 2-4kx-6=0.直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F， ，.k（- ，-1）（-1，1）0)1(64)(0122kk 31k3（1， ）.3设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得 x1-x2= .1324)( 22121 kkx当 E、F 在同一去上时（如图 1 所示） ，S OEF ;212ODODSEOD 当 E、F 在不同支上时（如图 2 所示）. SODE =FE1)(21121xx龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 6 of 13

11、 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：64047162综上得 SOEF 于是由OD2 及 式，得 SOEF =,211xOD .1322k若OEF 面积不小于 2 则 有即 ,OEFS.2,0132242 kkk解 得综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为 - ，-1（-1，1）（1， ）.216、双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于Oxl， F的直线分别交 于 两点已知 成等差数列，且 与 同向1l12l， AB， ABO、 、 BA（1）求双曲线中 的值；ac（2）设 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程B解：（1）设 ， ， ，由勾股定理可得：

12、Omdmd，22()()d得： ， ， ，4tanbAF4tanta23ABAOBFO由倍角公式 ，解得 ,则 2431ba15c（2）过 直线方程为 ,与双曲线方程 联立，F()yxcb21xyab将 ， 代入，化简有 ，ab5c215804，2 21 114()4axxxb将数值代入，有 ,解得 ，2235843b故所求的双曲线方程为 。21369xy17、已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 ，一条渐近线的方程是 0,31F025yx（1）求双曲线 C 的方程；龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 7 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：64047162（2）若以

13、 为斜率的直线 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M，N，且线段 MN 的垂直0kl平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围281k（1）解：设双曲线 的方程为 （ ） 由题设得C2xyab0,ab，解得 ，所以双曲线方程为 295ab245b2145xy（2）解：设直 线 的方程为 （ ） 点 ， 的坐标满足lykm01(,)Mxy2(,)Ny方程组 2145ykxm将式代入 式，得 ，整理得 22()145xkm22(54)840kxm此方程有两个一等实根，于是 ，且 2022()k整理得 2250mk由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足MN0(,)xy， 120245

14、xk0254myxk从而线段 的垂直平分线方程为 214()5kx此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， xy29(,0)5k9,由题设可得 整理得 ， 221981|54kmk2(4)|km0将上式代入式得 ，整理得 ， 2()540|22(5)|5)0k解得 或 50|2k|所以 的取值范围是 55,)(,0)(,)(,)424(龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 8 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：6404716218、设动点 到点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常数P(10)A， ()B， 1d2APB，使得 (0)2sind（1）证明：动点 的轨迹 为双

15、曲线，并求出 的方程；CC（2）过点 作直线双曲线 的右支于 两点，试确定 的范围，使 ，其中点BMN， OMN0A为坐标原点O（3）如图，过点 的直线与双曲线 的右支交于 两点问：是否存在 使 是以2FAB， 1FB点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由解法一：（1）在 中， ，即 ，PAB 222112cosd，即 （常数） ，2214()4sindd124sind点 的轨迹 是以 为焦点，实轴长 的双曲线PC， a方程为： 21xy（2）设 ，1()M， 2()Nxy，当 垂直于 轴时， 的方程为 ， ， 在双曲线上1x()M， (1)N，即 ，因为 ，所

16、以 2 51020512当 不垂直于 轴时，设 的方程为 MNxN(1)ykx由 得： ，21()xyk222()()()0kxkyyPBOA1d21Fyx2OPB龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 9 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：64047162由题意知： ，2(1)0k所以 ， 122()x21()kx于是： 22112()ykxk因为 ，且 在双曲线右支上，所以0OMNA，212 2(1)(1)512300xyk 由知， 5123（3）方法一：在 中，设 ， ， ， 1AFB 1d2AF13Bd24F假设 为等腰直角三角形，则1123421324sindad

17、 由与 得 ，则2a1342(21)daa由得 ， ， ， ，34d2(1)a84()212(01)7，故存在 满足题设条件127方法二：（1）设 为等腰直角三角形，依题设可得1AFB龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 10 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：6404716221212122sin81cos44AFAFBB ，所以 ， 1212sin()AFS 1212BFSA则 由 ，可设 ，1()B 12AFBS 2d则 ， 则 2d1()d1 21()AFBSd由得 2()根据双曲线定义 可得， 12BFa(2)d平方得： 由消去 可解得，2()4()d 12(0

18、1)7，故存在 满足题设条件1719、矩形 的两条对角线相交于点 ， 边所在直线的方程为 ，点ABCD(20)M， AB360xy在 边所在直线上(1)T，（1）求 边所在直线的方程；（2）求矩形 外接圆的方程；（3）若动圆 过点 ，且与矩形 的外接圆外切，求动圆 的圆心的轨迹方程P(20)N， ABCDP解：（1）因为 边所在直线的方程为 ，且 与 垂直，所以直线 的斜AB360xyABAD率为 又因为点 在直线 上，所以 边所在直线的方程为 即(1)T， A13()yx320xy（2）由 解得点 的坐标为 ，因为矩形 两条对角线的交点为6=， (02)， ABCD所以 为矩形 外接圆的圆心

19、又 从而矩(0)M， ABCD22(0)()M形 外接圆的方程为 ABCD2()8xy（3）因为动圆 过点 ，所以 是该圆的半径，又因为动圆 与圆 外切，所以PNPP龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 11 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：64047162，2PMN即 故点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线的左支因PMN， 2为实半轴长 ，半焦距 所以虚半轴长 2a2c2bca从而动圆 的圆心的轨迹方程为 P1()xy20、已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于2xy1F22两点AB，（1）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点

20、的轨迹方程；M11FABO M（2）在 轴上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请xCC说明理由解：由条件知 ， ，设 ， 1(20)， 2()， 1()xy， 2()xy，解法一：（1）设 ，则 则 ， ，Mxy， F， 11()FAy，由 得221()()FBxO， ， ， 1BO即 于是 的中点坐标为 126y， 214xy， 42xy，当 不与 轴垂直时， ，即 ABx1248yx1212()8yx又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得， 21y2x，即 1212122()()xxy212()4()y将 代入上式，化简得 8y 6x当 与 轴垂直时，

21、，求得 ，也满足上述方程ABx12x(80)M，所以点 的轨迹方程是 M(6)4y（2）假设在 轴上存在定点 ，使 为常数xCm， AB当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 AB(2)1ykx代入 有 2xy222(1)4()0kx龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 12 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：64047162则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，12x， 214kx214kx于是 21212()()CABxmk221()(4kkxm2224)1k2 22 2()4(1)1mk因为 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 = CAB 0m1CAB1当 与 轴垂

22、直时，点 的坐标可分别设为 ， ，xAB， (2)， (2)，此时 (12)1， ，故在 轴上存在定点 ，使 为常数x0C，解法二：（1）同解法一的（I）有 124xy，当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ABxAB(2)1kx代入 有 2y222(1)4()0kx则 是上述方程的两个实根，所以 12x， 214kx 21212 24()kykx由得 2k241ky当 时， ，由得， ，将其代入有0y4xky龙文教育 教师一对一 高中教研组 向茂华Page 13 of 13 地址：肇嘉浜路 91 号 电话：64047162整理得 224(4)()1xyxy2(6)4xy当 时，点 的坐标为 ，满足上述方程0kM(0)，当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(80)M，故点 的轨迹方程是 (6)4y（2）假设在 轴上存在定点点 ，使 为常数，x()Cm， AB当 不与 轴垂直时，由（I ）有 ， AB211kx241kx以上同解法一的（1）