1、$1-1函数,1,高等数学 简介 Summarized account,一.高等数学与初等数学的区别,初等数学研究的对象主要是常量与固定的图形，初 等数学是关于常量的数学。而高等数学研究的是变 量和变化的图形，高等数学是研究变量的数学。,二.高数课的内容,2.常微分方程,3.向量代数、空间解析几何,1.数学分析,$1-1函数,2,三.学习方法及要求,1.注意知识的系统性、严密性、抽象性及应用的广泛性。,2.掌握几个环节：,听讲：全神贯注，听不懂时暂不讨论；补充的内容尽量作笔记。,复习：结合教材按讲课系统看参考书，定义、定理、 理解记住。,习题：大量做、适量做，点的题目必做。,小结：每章结束，自
2、己应做个小结。,四.考试为全校统考，流水阅卷,$1-1函数,3,第一章 函数与极限,函数-本课程研究的对象。,极限-本课程的基本手段，研究变量的基本方法。,连续有极限的特例，函数的一个常见性质。,$1-1函数,5,一、基本概念(Basic concepts),1.集合(set):,具有某种特定性质的事物的总体.,有限集(finite set),无限集(infinite set),$1-1函数,6,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集(empty set),例如,(equal).,$1-1函数,7,称为开区间(open interv
3、al),称为闭区间(closed interval),$1-1函数,8,有限区间(finite interval),无限区间(infinite interval),区间长度(length of the interval)的定义:,两端点间的距离(distance)(即线段的长度)称 为区间的长度.,$1-1函数,9,3.邻域(neighborhood):,(radius),$1-1函数,10,4.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量(constant),注意：,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, z, s,
4、 t , u ,v, w等表示变量.,常量可看作变量的一个特殊情况，认为在某一过 程中该变量始终取一个数值。,$1-1函数,11,5.绝对值(absolute value):,运算性质(character):,绝对值不等式(inequality):,$1-1函数,12,二、函数概念(concept of function),例 圆内接正多边形的周长,$1-1函数,13,因变量,自变量,(independent variable),(dependent variable),(range).,$1-1函数,14,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则(rule of corr
5、espondence).,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,D:-1,1.,D：(-1,1).,例如，,$1-1函数,15,$1-1函数,16,(1) 符号函数,几个特殊的函数举例,(sign function),$1-1函数,17,(2) 取整函数 y=x, x表示不超过 的最大整数.,$1-1函数,18,(3) 狄利克雷函数,(Dirichlets function),$1-1函数,19,(4) 取最值函数,$1-1函数,20,$1-1函数,21,在自变量的不同变化范围中,对应法则用,不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,(piecewise function),
6、$1-1函数,22,例 Example 1,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.,解solution,$1-1函数,23,$1-1函数,24,例 Example 2,解 solution,故,$1-1函数,25,三、函数的特性 (properties of function),1函数的有界性(boundedness):,(unbounded).,有上界,有下界,$1-1函数,26,注意：函数的有界性与区间有关,f(x)在X上无界即：,例如:,$1-1函数,27,2函数的单调性(monotone):,(monotone increasing ),$1-1
7、函数,28,(monotonically decreasing),$1-1函数,29,3函数的奇偶性(pairity):,偶函数,(odd function).,$1-1函数,30,奇函数,$1-1函数,31,4函数的周期性(periodicity):,通常说周期函数的周期是指其最小正周期.,$1-1函数,32,四、反函数(inverse function),$1-1函数,33,直接函数与反函数的图形关于直线 对称(symmetric).,$1-1函数,34,例 Example 3,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期).,不是单调函数,$1-1函数,35,例4 求,解,当,
8、当-1,由,$1-1函数,36,因此，反函数为,$1-1函数,37,五、小结 Brief summary,基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.,函数的概念,函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.,反函数,$1-1函数,38,思考题 Consideration question,$1-1函数,39,思考题解答 Solution to consideration question,设,则,故,$1-1函数,40,练 习 题 Exercises,$1-1函数,41,$1-1函数,42,练习题答案 Exercises solution,$1-1函数,43,参考书,1.高等数学解题方法与技巧 王景克编中国林业出版社 2.高等数学同步训练 同济大学数学教研室编 3.高等数学学习指导 刘彬主编（难，考研参考） 4.高等数学解题题典 崔荣泉 杨泮池 编,
