高数1-8.ppt

1、函数重要的性质 研究工具：函数极限 重要思想：数形结合,1-8 函数的连续性,有很多自然现象具有连续特征，例如气温的变化，生物的连续生长，金属受热膨胀等，反映了量的连续变化现象。 而反映到函数上，它的图形就应该是连绵不断的曲线。即点与点之间紧紧连接，没有缝隙。,如何用数学式子来刻画连绵不断的语言表述呢？ 理解为当自变量变化微小时，函数值的变化也应该很微小。,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,注： 1.连续性定义中的领域没有去心，原因是要求连续点处有定义有极限。即是函数在一点连续，则一点有定义；反之不然。 2.三个定义定义等价。定义1用于抽象函数证明连续性；定义2用于具体函数证明

2、或者判别函数的连续性；定义3用得少,判断函数连续性方法： 1 是否有定义 2 极限是否存在 3 极限是否等于函数值三个条件缺一不可,例1,证,由定义2知,3.左、右连续,定理,分段函数在分段点处需要讨论左右连续性,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续区间上的连续函数,在(a, b)上每一点都连续的函数,叫做(a, b)上,的连续函数,或者说函数在(a, b)上连续.,几何上：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,二、函数的间断点,凡不满足上述三个条件之一，则,必间断：,间断点分类:（画图体

3、会）,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,例4,解,如例4中,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处,函数的定义, 则可使其变为连续点.,例5,解,例6,解,例8,解,注： 1.单调有界必无第二类间断点 2.分式函数可能出现间断点的是分母为零的点,注： 3.分段函数的分段点处可能出现间断点,练习题 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,为,连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,