1、集体风险模型,理赔次数,问题的提出,个体风险模型的缺点 假定单位时间内保单组合理赔的次数是一个随机变量，我们记为N， 表示按次序到来的的理赔，设S表示单位时间内的总理赔额，N表示单位时间内的理赔次数，集体风险模型可以描述为,假定 （1） 是独立同分布的随机变量 （2）N与Xi独立,我们按如下步骤讨论 理赔次数 S的分布 S的近似分布 S的分布数值计算方法,理赔次数的分布,主要内容 1、母函数与矩母函数 2、一张保单的理赔次数分布 3、理赔次数的混合分布 4、理赔次数的复合分布 5、免赔额对理赔次数分布的影响,N的母函数与矩母函数,设N是一个离散随机变量，取值于 0,1,2, 记,其母函数为,矩
2、母函数为,母函数与矩母函数的关系,母(矩母)函数性质 1、若N的母(矩母)函数存在，那么母(矩母)函数与分布函数是相互唯一决定的。 2、由母(矩母)函数可以导出矩的计算：,请问,3、设 NN1+Nn, Ni相互独立，则,二、一张保单的理赔次数分布,1、泊松分布(Poisson) 对于保险公司而言，客户因发生损失而提出理赔的人数类似于等待服务现象，因此对大多数险种来说，个别保单的理赔次数可用泊松分布来表示，即在单位时间内个别保单发生理赔次数N的分布列为：,在单位时间内理赔次数N的分布列为,泊松分布的性质： （1）均值和方差（2）母函数（3）矩母函数（4）可加性,定理1：设 ,是相互独立的泊松随机
3、变量，参数分别为 ，则 服从泊松分布，参数为 。 证明：,故N服从泊松分布，参数为 。,（5）可分解性,假设损失事故可以分为m个不同类型C1,Cm Ei表示第i类事故发生。 pi表示第i类事故发生的概率， Ni表示第i类事故发生的次数， N表示所有事故发生的次数。,定理2：若N服从参数为l的泊松分布，则N1,N2,Nn都是相互独立的，且服从泊松分布，参数分别是lpi，。,证明：给定N=n，Ni|n服从二项分布B(1,pi)，N1,Nn服从多项分布 因此,其中nn1+n2+nn,因此， 的联合分布等于Ni分布的乘积，Ni是相互独立的随机变量。,例1：设N表示损失事故发生的次数，X表示损失额，服从
4、泊松分布，l=10，XU0, 20。问损失额超过5的事故发生次数的概率分布。解：令E表示事件“损失额超过5”所以损失额超过5的次数服从参数为100.75=7.5的泊松分布。,例2：假设某险种的个体保单损失X的分布为又假设个体保单在一年内发生的损失事件的次数N服从泊松分布，l200。Ni表示损失额为i的损失事件的次数。（1） 求 的分布。（2）假设免赔额为1，求个体保单在一年内发生的理赔事件次数的分布。,解：由于 ，且N服从泊松分布，由定理知，Ni相互独立且服从泊松分布。 参数li等于计算得到,（2）留作课堂练习,2、其他常见的理赔次数分布,（1）负二项分布,其中：,负二项分布的性质 （1）当r
5、1，负二项分布退化为几何分布（2）母函数,将 化简得到,（3）均值和方差,（2）二项分布,性质,（1）母函数与矩母函数,（2）均值与方差,请问：如何从观察数据简单区别 负二项分布、二项分布和泊松分布,例3：设有100个40岁的投保人投保生命险，q表示一个投保人明年死亡的概率，问明年死亡人数的分布是什么？,3、(a, b, 0)分布族,上述3种分布都可以用(a, b, 0)分布来表示定义：设随机变量N的分布列满足则称分布族为(a, b, 0)分布族,注：泊松分布，二项分布，负二项分布是（a,b,0)分布族,泊松分布：,负二项分布,因此，,当r1时，负二项分布是几何分布，,二项分布,例4：设N是一
6、随机变量，令 ，如果问N的分布是什么？,解：由 知，N服从二项式分布,练习：设X的分布属于(a,b,0) class，已知,求,三、理赔次数的混合分布,背景： 从保单中随意抽取一份保单，求该保单的理赔次数分布。 同质性：指所有的保单相互独立，且都有相同的风险水平，即各保单的损失额的分布相同，损失次数的分布也相同。 非同质性：保单组合中的每个保单风险水平各不相同。表示其风险水平。,数学模型 设Q是一个随机变量，当Qq时，令 为Q的累积分布，u(q)为q的密度函数，则N的分布列为 或者N的分布称为混合分布。,例5：某司机总体被平均分成两个类型。每个司机发生车祸的次数都服从泊松分布。第一种类型的司机
7、的平均发生车祸的次数服从（0.2，1.8）的均匀分布。第二种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（0.5，2.0）的均匀分布。从这个总体中随机抽取一个司机，求他不发生车祸的概率。,解,混合分布性质 1.母函数或者其中PN(z|q)表示在Qq条件下，N的母函数。 2均值和方差,常见的几种混合泊松分布 1、离散型混合 对于规模较小的保单组合，假设保单组合由n种不同的风险水平构成，泊松参数取值于 , ，设 ， 。当Llk时，保单的损失次数服从参数为lk的泊松分布。则从保单组合中任意抽取一份保单的分布为,例6：假设投保车险的驾驶员可以分为两类，他们出事的次数服从泊松分布，其中好的一类的泊松参数为0.11
8、，坏的一类的泊松参数为0.70，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例为0.94和0.06，则任意一个驾驶员出事的次数分布时多少？,解,2、连续型的混合 对于规模较大的保单组合，可以假设其中的泊松参数服从连续分布。以u(l)表示的密度函数，通常称为结构函数。则从保单组合中随机抽取一份保单的损失次数分布为性质： (1)母函数的表达式,（2）结构函数的唯一性，设P1和P2是两个混合泊松分布的母函数，分别表示为若P1(z)=P2(z)，则u(q)=v(q)。,例7：设Q的母函数为求N的分布。 解：利用母函数公式,定理3：设保单组合中每张保单的理赔次数N服从泊松分布，但参数l是一个随机变量，随每张保单变化而变化。若l服从伽玛分布， ，则N服从负二项分布，参数为 ， 。,证明：,例8：在某汽车险保单组合中，已知每位驾驶员的每年的索赔次数服从泊松分布，但参数随每张保单变化。若服从均值为3，方差为3的伽玛分布。从这个保单组合中随机抽取一名驾驶员，求它在明年的损失次数不超过1的概率。 解：设伽玛分布参数为a和q 。由伽玛分布的均值和方差公式有,知a3，q1。 由定理4.1.3知，N服从负二项分布，参数q1/2, r3， 于是计算得到,
