1、第四章 矩阵分析及矩阵函数,4.1 矩阵分析,4.2 矩阵函数,4.3 线性常系数微分方程,4.4 变系数微分方程组,4.1 矩阵分析,定义4.1.1 令 是 的矩阵序列，假如存在一个 的矩阵A， ，即当 时， 与 无限制的靠近,则称序列收敛到A,记为:,4.1.1基本概念,每一个矩阵 表示成 , 并且.,定理4.1.1 矩阵序列 收敛 于 矩阵A的充分必要条件是 对所有 成立。,关于矩阵序列极限的性质，考虑其中二个。,定理4.1.2 令 和 是 和 矩阵，并且分别收敛到A和B,那么：,推论1 令 是收敛于A的 矩阵序列， 分别是 矩阵，那么,4.1.1.2 矩阵级数,定理4.1.4 若数项级
2、数 收敛，则矩阵级数 收敛。,特别地，对于方阵 ，如果级数 收敛，则矩阵幂级数 收敛.,例4.1.2,定理4.1.5 设幂级数 的收敛半径是 ，则当方阵 的范数 时，矩阵幂级数 收敛。,4.1.2 矩阵的微分和积分,4.1.2.1 函数矩阵及其极限,定义4.1.3 如果矩阵 的每一个元素 都是变量 的函数，则,定义4.1.4 如果对任意 ， 都有 ，则称矩阵 在 时极限为 。,性质1 如果 , 以下性质成立：,（1） 若 都是 矩阵，则,（2） 若 分别是 和 矩阵，则,（3） 设 是常数，则,定义4.1.5 设函数矩阵 中所有元素 在 处连续，则称 在 处连续，如果所有元素 在 内每一点连续
3、,称 在 内连续，如果 在 内连续，并且所有的 在 点右连续，在 点左连续，则称 在 上连续.,4.1.2.2 函数矩阵的微分,定义4.1.6 设函数矩阵 中所有元素 都在 点或某区间内可微，则称矩阵 在 点或某区间内是可微的,若 可微，其导数如下：,同样， 的高阶导数可以定义为,类似于数量函数的导数记法，可以 将上式记成,性质2 设函数矩阵 都可微,(1) 若 为常数，则,（2）若 与 是同型矩阵，则,(3)若 是 矩阵， 是 矩阵，则,特别的，如果 或 是常数矩阵 或 , 就有,4.1.3 函数矩阵的积分,定义4.1.7 如果矩阵 的每个元素 都是区间 上的可积函数，则定义 在 上的积分为
4、,性质3 若 是 上的可积函数矩 阵，则,都是 矩阵 ；,分别是 和 矩阵，并且 与无关.,分别是 和 矩阵，并且 与无关。,4.1.2.4 数量函数关于矩阵的微分,4.2.1 矩阵函数的定义及性质,4.2 矩阵函数,当n阶矩阵 满足 时，把收敛的矩阵幂级数 的和称为矩阵函数，记为 ,即,如下函数:,在整个复平面上都是收敛的.,于是矩阵幂级数,都是绝对收敛的。,因此它们有和并且有,分别称以上三式是矩阵的指数函数， 余弦函数和正弦函数。,定理4.2.1 对于方阵 的函数 容易验证以下性质：,值得注意的是，在微积分中，我们对指数函数有如下性质 , 但矩阵函数的第（3）条性质中指出，这样一条性质必须
5、 有条件保证。否则，一般不成立。,例如，令,易证 互不相等,4.2.2 矩阵函数的计算,4.2.2.1 待定系数法,多项式 可以写成 ，其中 的次数低于 的次数。由于有 ，所以 。,另一方面，我们可以将A的最小多项式(4.2.6)写成(4.2.7) 其中 是A的互异的特征值,推论1 每个复多项式 在任何 的谱上确定。,例 4.2.1 例 4.2.2 例 4.2.3 例 4.2.4,定理4.2.2 设 和 是两个复多项式，两者的次数和系数均可以不同, ，则 的充分必要条件是 和 在A的谱上的值完全相同。,4.2.2.2 利用Jordan标准形计算矩阵函数,实际过程中，可以将无穷级数求和的问题化为
6、多项式求和问题。,假设 矩阵A的最小多项式是,则有,当 时，可降为低于 的幂次，,幂级数定义的矩阵函数问题,计算 的关键：计算 。,下面分A是不同情况进行讨论,(1)A是对角矩阵,设,则,由于分块矩阵的乘积与矩阵乘积类似故对于上述分块矩阵A，有,(3)A为一般矩阵时 的计算方法,则,其中,是 的 重特征根,则,且矩阵A的函数可化为A的Jordan块的函数问题；,下面来具体计算Jordan块 的函数 。,设,则,首先观察,为了计算 ，将 展开成Taylor级数,（4.2.10）,将(4.2.12)写成矩阵形式,（4.2.12）,例 4.2.5 例 4.2.6,4.3.1 线性常系数齐次微分方程的
7、初值问题,关于n个独立的函数 的线性常系数微分方程组可以表示成 下面(4.3.1) 形式。,4.3 线性常系数微分方程,（4.3.1）,系数 是常数，(4.3.1) 满足初值条件,4.3.1.1 一阶线性常系数齐次微分方程的初值问题,下面来考虑(4.3.3)的解,首先，将变量 在 处展 成幂级数形式 ：,其中,由方程(4.3.3)得到,下面我们来证明(4.3.4)确实是(4.3.3)的解,当 时, 式(4.3.4) 是(4.3.3)的解。,（1）(4.3.3)的解是 ，并且这个 解唯一；,（2）解 的秩与 的取值无关。,定理4.3.1 在初值问题(4.3.3)中：,4.3.1.2 齐次方程解的
8、讨论,在工程上要求，对任意的 及初值 初值问题(4.3.5)的解 具有 性质,定义4.3.1 所有特征值都有负实部的矩 阵称为稳定矩阵 。,例4.3.2,推论1 对任意的 和 ，初值问题(4.3.5)的解满足 的充要条件是A是稳定矩阵。,4.3.2 一阶线性常系数非齐次微分方程初 值问题,考虑 ，即一阶常系数非齐次微分方程(4.3.2)的解。,为确定特解 ，用常向量变易法，设 ，其中 是待定向量，将(4.3.8)代入方程(4.3.2) ，得到,于是有,化简后，得,4.3.3 n阶常系数微分方程的解,令,从而有,令,由于初值问题(4.3.11)的解是(4.3.12)解的第一个分量，从而(4.3.
9、11)的解是,其中,(4.3.13)初值问题的解是,因此，求初值问题解的关键在于计算矩阵函数 。,4.3.4 微分方程实例,工程系统中得动态系统的状态是系统的最小一组变量（称为状态变量）. 就是描述状态变量的函数, 如果知道了在 时变量的初值 ,并且还知道 对r 个输入（或控制）变量 , 则在 时系统的状态就完全确定，系统的输出变量可以是某一个状态变量，它们是描述人们希望从系统中获得的响应。,以n个变量为轴组成的空间叫n维状态空间.,系统的状态方程是状态向量 的一阶 微分方程,例4.3.4,k,图4.3.1,图 4.3.2,4.4.1.Wronski行列式与线性无关解,4.1.1.1 函数元矩
10、阵的连续,4.4 变系数微分方程组,4.4.1.2 wronski行列式与线性无关解,定义4.4.1. 设 是定义在区间上的n维向量函数,其中,称为这n个向量函数的Wronski行列式,定理4.4.2 若n个n维向量函数 在区间 上线性相关，则它们的wronski行列式,4.4.2 齐次变系数线性微分方程组的解,定理4.4.3 设n阶实方阵 在 上连续，如果(4.4.10)的n个解在 上线性无关，则它们的Wronski 行列式在 上恒不为0，即关键,推论3 设 是在 上连续的n阶实方阵，是方程(4.4.10)在 上的n个解，如果这n个解线性相关，则其行列式 恒等于0，如果这n个解线性无关，则其
11、行列式 恒不为0。,推论4 在推论3的条件下，若对某个使得 则这n个解线性 无关.,4.4.2.2 状态转移矩阵及其性质,将 时的初始向量分别记为 时， 该问题的解记为 和 ,则可 知初始向量为 ，解为,另一方面， 是n维向量，可以取n个线性无关初始向量为是 的一个标准正交基。,(1) 状态转移矩阵的概念,设：是区间 上n阶连续实方阵， 是n维列向量 。,定理4.4.5 设 和 是n阶实方阵，则 的状态转移矩阵 是矩阵微分方程初值问题的唯一解。,以上两式均视为状态转移矩阵的表征方程。,(2) 状态转移矩阵的性质,定理4.4.6 状态转移矩阵具有以下性质：,（4.4.21）,（4.4.22）,（4.4.23）,定理4.4.7 的基本解矩阵 有下述性质,(1) 在任何 , 是非奇异的；,(2) 设 是 的任意两个基本解矩阵T，则存在非奇异数量矩阵使,(3)利用 的任意一个基本解矩阵 可将状态转移矩阵 表示为,(4) 状态转移矩阵的求法,对 通过Taylor展开式进行一系列处理后，我们可以得到下面的定理：,定理4.4.8 若对任意 有则初值问题(4.4.25)的解为方程组（4.4.10）的状态转移矩阵是,4.4.3 非齐次变系数微分方程的初值问题,例4.4.2,
