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类型第六章解线性代数方程组的直接法.ppt

  • 上传人:kpmy5893
  • 文档编号:6845182
  • 上传时间:2019-04-24
  • 格式:PPT
  • 页数:31
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    第六章解线性代数方程组的直接法.ppt
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    1、第六章 解线性代数方程组的直接法,6.1 高斯消去法,本章研究的对象是数值法解n阶线性代数方程组:,用矩阵和向量表示如下:,1、基本思想:把方程组转化为一个等价的三角形方程组,也即消元过程,2、高斯消去法的计算过程:,为符号统一,方程改写如下形式:,用矩阵符号记为:,其中:,用矩阵符号记为:,其中:,如下:,用矩阵符号记为:,其中:,用矩阵符号记为:,其中:,把系数矩阵A(1)化为上三角矩阵A(n)的过程称为消元过程。,消元过程中元素的计算公式可以归纳为:,逆向回代过程的计算公式为:,3、高斯消去法的运算量: (只考虑乘除法),消第一列的n-1个系数,需要作nX(n-1)次,第二列n-2个系数

    2、,要作(n-2)X(n-1)次,总起来,由A(1)到A(n)需要的运算量是:,要做的除法运算量是:,回代需要的乘除法总运算量是:,因此高斯消去法总共需要的乘除法运算量是:,6.2 主元素消去法,1、原因目的:为控制舍入误差而提出来的一种算法,如:,2、例1:,准确解为:x1=10000/9999,x2=9998/9999,现在用高斯消去法去解,得:,从第二个方程解出x2=1,再代入第一个方程得x1=0。与准确值相差甚大,为控制舍入误差,采用另一种消去过程,方程交换一下,变为:,消去第二个方程中的x1得:,从而求得:x2=1,x1=1,与准确值非常接近,解决舍入误差增长的办法:,(1)、增加参加

    3、计算的数字位数,(2)、作除法运算时,选取绝对值比较大的作分母,而这正是主元素消去法的基本思想,3、例2:,首先,在3个方程的系数中选取绝对值最大者作为主元素a11(1):,然后在后两个方程中再选取绝对值最大的元素作为主元素a22(2)得:,3、与高斯消去法的区别:,4、算法6.1列主元Gauss消去法:,(1)、输入系数矩阵A,右端项B,阶n,(2)、对k=1,2,n-1循环,a、按列选主元,保存主元所在行的指标ik,b、若a=0,则系数矩阵奇异,计算停止;否则顺序进行,c、若ik=k,则转向d;否则换行 aik,jakj,j=k+1,nbikbk,d、计算乘子mik=aik/akk,i=k

    4、+1,n,e、消元:aij:=aij-mikakj,i,j=k+1,nbi:=bi-mikbk,i=k+1,n,(3)、回代,6.3 LU分解,当矩阵A的所有顺序主子式都不为0时有:,其中L是单位下三角阵,U是上三角阵:,事实上只要A非奇异,就存在置换矩阵P和Q使:,当A实现了分解,此时有:,令UX=Y,则有:,因L是对角线元素位1的下三角矩阵,因此:,因此问题的关键是如何分解A,下面以四阶方程组为例,设A已分解为LU的乘积,则有:,从第一行开始由矩阵相等则对应元素相等推出U的第一行:,再由第一列算出L的第一列:,依次再求出其他各行各列:,由此不难推出一般公式:,再对k=2,3,n计算:,列主

    5、元LU分解:引进,算法6.2(列主元LU分解),(1)、输入矩阵A和n,(2)、对k=1,2,n,循环,c、交换A的第k行和ik行元素,d、计算U的第k行元素和L的第k列元素,例3用LU分解求解下面方程组:,对第一个方程组,由LY=b可得:,6.4 对称正定矩阵的平方根法和LDLT分解,当A是对称正定矩阵时:,A=LLT,当限定L的对角线元素为正的下三角矩阵时,分解唯一,也可逐行计算:,对j=2,3,n循环,为避免开平方,把矩阵A分解成:,A=LDLT,计算矩阵L和D的公式:,d1=a11,对j=2,3,n循环,当A进行了LD分解后,解方程组AX=b可分3步完成:,例4:利用LDLT分解求解方

    6、程组,解:容易看出系数矩阵对称且所有顺序主子式均大于零,下面计算L和D:,这样就得到:,解LY=b,即得:,计算Z的各分量:,6.5 误差分析,1、向量范数:,(1)、定义6.1:向量X的范数:,(2)、定理6.1:向量X的范数等价定理:,设|和 | 是Rn上任意两种范数,则存在正常数C1,C2,使得对一切X Rn有:,C1 |X| |X| C2 |X|,(3)、定理6.2:向量极限定理:,设X(k)是Rn中向量序列,X是Rn中向量,则,2、矩阵范数:设A是一个nxn阶矩阵,定义:,为矩阵A的范数,由于Rnxn上的矩阵范数可以看作是Rn2上的向量范数,所以:,与3种向量范数对应的3种矩阵范数是:,3、谱半径:设nxn阶矩阵A的特征值为i(i=1,2,n),则称:,矩阵A 的任一特征值i,与其对应的特征向量Xi有关系:,4、定理6.4:设任意nxn阶矩阵A,由它的各次幂组成的序列:I,A1, A2, Ak,收敛于零的充分必要条件是,

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