1、5 函数的极值与最值,一、极值的定义 二、函数极值的求法 三、最值的求法 四、应用举例,一、函数极值的定义,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .极大值与极小值统称极值。,注意：函数的极值是函数的局部性质.,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),注意:,例如,定理2(第一充分条件)设 在点 处可导数, 且 ，,(不是极值点情形),(是极值点情形),例5,解：,极大值,极小值,例6,解：,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,求极值的步骤:,定理3(第二充分
2、条件),证,例7,解：,注意:,三、最值的求法,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),四、应用举例,例1,解,计算,比较得,( k 为某常数 ),例2. 铁路上 AB 段的距离
3、为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运,为使货物从B 运到工,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小值点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,厂C 的运费最省,从而为最小值点 ,问D点应如何取?,Km ,公路,价之比为3:5 ,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例3,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？
4、,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高。,最大收入为,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,五、小结,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,2.最值与极值的区别:,最值是整体概念而极值是局部概念.,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,实际问题求最值的步骤:,P162 习题3-5 1(1)(2), 3, 4(1), 8, 9;,作业,思考题,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,练 习 题,练习题答案,
