1、第七章,导数及其应用,第43讲,导数的概念及运算,导数的定义,本例求导方法简记为：一差、二化、三极限求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值,点评,导数的几何意义,【例2】 (1)已知曲线y1/3x3在P点处的切线方程为12x3y160，求点P的坐标； (2)求过点P(3,8)且与抛物线yx2相切的直线方程,(2)因为点P不在抛物线上，故设抛物线上点A(xA，yA)处的切线方程为yyAf (xA)(xxA)， 即yxA22xA(xxA)，所以y2xAx xA2. 因为点P(3,8)在该直线上， 所以xA2 6xA80，解得xA2或xA4. 所以过点P(3,8)且与抛物线
2、yx2相切的直线方程为4xy40或8xy160.,函数在点(x0，y0)处的导数是函数图象在点(x0，y0)处切线的斜率已知切点求切线方程与已知切线方程求切点坐标是两个不同的问题，前者直接应用导数的几何意义，后者以导数的几何意义为基础，设出切点，写出切线方程，由于两切线是同一条直线，对应的系数相等，从而求出切点这是本题第(1)问的解题思想；第(2)问是相近的问题，当切线过曲线外一点时，处理方法还是寻找切点,点评,【变式练习2】 (1)若曲线yx21上点P处的切线与曲线y2x21也相切，求点P的坐标 (2)求过点P(0,2)且与曲线y2xx3相切的直线方程,(2)设曲线上点A(x0，y0)处的切
3、线方程为 yy0f (x0)(xx0)， 即y(2x0x03)(23 x02)(xx0)， 即y(23 x02)x2 x03 . 因为点P(0,2)在该直线上，所以x03 1，则x01，所以切点的坐标为A(1,1) 所以过点P(0,2)且与曲线y2xx3相切的直线方程为y1(x1)，即xy20.,导数的物理意义,【例3】 质点作直线运动，起点为(0,0)，路程s是时间t的二次函数，且其图象过点(1,6)，(2,16) (1)求质点在t2秒时的瞬时速度； (2)求质点运动的加速度,函数的导数的物理意义：位移函数对时间的导数等于速度，速度函数对时间的导数等于加速度一般设位移是时间的函数ss(t)，
4、则ss(t)v(t)是速度函数，而vv(t)的导数vv(t)a(t)是加速度函数,点评,【变式练习3】,导数的基本应用,【例4】,求曲线的切线的关键是找出切点，要注意区分切线所经过的点是不是切点本题切线经过的点(1，1)不是切点，因此先要假设切点，再求出切线方程，然后由点(1，1)在曲线的切线上，求出a的值,点评,【变式练习4】,1.曲线y2xlnx在点(1,2)处的切线方程是_,xy10,2.抛物线y4x2上到直线y2x4的距离最短的点P的坐标是_.,3.已知f(x)x22xf (1)，则f (0)_.,【解析】因为f (x)2x2f (1)， 令x1得f (1)2，所以f (0)2f (1
5、)4.,4,4.已知函数f(x)2x3ax与g(x)bx2c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式,【解析】因为f(x)与g(x)的图象都过点P(2,0)， 所以a8,4bc0，所以f(x)2x38x. 又g(x)2bx，f (x)6x28， 而f(x)与g(x)在点P处有公共的切线， 所以g(2)f (2)，即2b26228，得b4. 所以c16，所以g(x)4x216. 综上可知，f(x)2x38x，g(x)4x216.,(3)f (x0)是在xx0处的一个局部性质，它是一个确定的极限值 (4)求函数在xx0处导数的方法： 求函数的改变量yf(x0x)
6、f(x0)；,2导数的物理意义如果yf(x)表示位移s对时间t的函数，则其在tt0处的导数的意义是物体在时刻tt0时的瞬时速度vs(t0),3导函数函数yf(x)在区间(a，b)内每一点的导数都存在，则函数yf(x)在(a，b)内可导，其导数也是(a，b)上的函数，称为yf(x)的导函数，记为f (x)函数yf(x)的导函数f (x)在xx0处的函数值f (x0)就是f(x)在x0处的导数，即f (x0)f (x)|xx0(注意并非所有的函数都有它的导函数),4函数f(x)在点x0处有导数，则函数f(x)在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f(x)在点x0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导,
