1、05级研究生线性系统理论教案,第8章 传递函数矩阵的零极点,8.1 极点和零点 SISO系统：,04级研究生线性系统理论教案,定义：零点当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那些s值。极点当输入u为有限值时，使输出y(s)为的那些s值。 显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值；极点是使G(s)的模为 的那些s值。对MIMO系统，则要复杂得多。,04级研究生线性系统理论教案,一. Rosenbrock对零极点的定义,给定定义：G(s)的极点为M(s)中 的根，i=1,2,rG(s)的零点为M(s)中 的根，i=1,2,r,04级研究生线性系统理论教案,例如所以，零点：s=0处有三个零点；极点
2、：s=-1处有两个零点；s=-2处有三个极点。,04级研究生线性系统理论教案,二. 其它对零极点的定义,1. 不可简约矩阵分式描述G(s)的极点：detD(s)=0的根，或，detA(s)=0的根G(s)的零点：使N(s)或B(s)降秩的s值。该定义等价于Rosenbrock定义。 证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则,04级研究生线性系统理论教案,则,04级研究生线性系统理论教案,而对左不可简约MFD有同样的结论。 2. G(s)严格真时，对应的状态空间描述A,B,C能控，能观则,04级研究生线性系统理论教案,3. 方便计算的定义 （1）G(s)的所有非零子式的最
3、小公分母，就是G(s)的极点多项式，记为p(s)，p(s)=0的根，即为G(s)的极点。 （2）当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分子的首1最大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)，z(s)=0的根，即为G(s)的零点。 注：各阶子式必须化为不可简约形式。例：,04级研究生线性系统理论教案,（1）求极点G(s)的一阶子式即为其各个元素G(s)的二阶子式为（2）求零点上边的2阶子式以p(s)为分母，则有,04级研究生线性系统理论教案,分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。几点讨论： （1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时
4、， 可以不形成对消。例（2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极点。“一致性”,04级研究生线性系统理论教案,（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相同。 （4）若s=是G(s)的零点，则必有但不一定rankG(s= )rankG(s). 如：G(s)的零点为s=-2, rankG(-2)=rankG(s) 因此，不能误把rankG(s)降秩与否作为判断G(s)零点的依据。,04级研究生线性系统理论教案,三. 传递函数矩阵的零极点的性质,1. 关于极点 SISO系统：考虑具有正则传递函数g(s)及不可
5、简约实现A,b,c,d的单变量系统定理：数是g(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态 ，使得系统的零输入响应证明： 必要性：由是g(s)的极点是g(s)的极点 是A的特征值 设v是与相关联的特征向量，即（ I-A）v=0,04级研究生线性系统理论教案,则（sI-A)v=(sI-A)v-(I-A)v=(s- )v系统输出r=cv是不为0的常数？！ A，c能观：由PBH秩判据，等价于sI-A,c满秩，sC 对非零向量v，应有但已有（ I-A）v=0，故cv0 必要性得证。,04级研究生线性系统理论教案,充分性：由 导出是g(s)的极点。定理的意义： 若是g(s)的极点，则能用初始状态在输出
6、端产生模态而不必施加任何输入； 若不是g(s)的极点，则这是不可能的。在输出端产生的唯一途径是在输入端施加,04级研究生线性系统理论教案,对MIMO系统，有相同的结论。 即：考虑具有正则传递矩阵G(s)及不可简约实现A,B,C,D的多变量系统。数是G(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态x0，使得系统输出端的零输入响应为，其中r为非零向量。2. 关于零点证明见书G(s)A,B,C 满足,04级研究生线性系统理论教案,阻塞传输性。 所以，前面定义的零点也叫传输零点。8.2 结构指数 rank G(s)=r,04级研究生线性系统理论教案,定义：则 是G(s)的有限极点和零点的集合。,04级
7、研究生线性系统理论教案,04级研究生线性系统理论教案,几点讨论 （1）不管是零点，还是极点，统一表达成一个对角阵形式。（2）零极点的重数在s=处的极点重数= 中负指数之和取绝对值在s=处的零点重数= 中正指数之和,04级研究生线性系统理论教案,8.3 无穷远处的零极点,一. 无穷远处零极点的定义 SISO系统：s时，若G(s)趋于0，则在处有零点；若G(s)趋于，则在处有极点（非真时） MIMO系统：在G(s)中，以 代入，化成H()有理分式矩阵，对应的Smith-Mcmillan标准形为则：只需确定无穷远处零极点的个数。,04级研究生线性系统理论教案,例：无穷远处的极点：=0，2个 无穷远处的零点： =0，1个,
